Chủ đề: Các quy tắc tính đạo hàm

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN IV: O HM Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IIV Đạo hàm chủ đề 2 Các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản I. Kiến thức cơ bản 1. Bảng tóm tắt Giả sử các hàm số u, v, w có đạo hàm, khi đó : bảng qui tắc tính đạo hàm (u+v-w)'=u'+v'-w' (au)'=a.u' (a là hằng số) (uv)'= u'v+ uv' ' v u = 2 v 'uvv'u bảng các đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả (1) (x )'=. x -1 ' x 1 =- 2 x 1 ( x )'= x2 1 (C)'=0 (C là hằng số) (u )'=.u'.u -1 2 ' u 'u u 1 = ( u )'= u2 'u (ku)'=k.u' (2) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= xcos 1 2 =1+tg 2 x (cotgx)'=- xsin 1 2 =-(1+cotg 2 x) (sinu)'=u'.cosu (cosu)'=-u'.sinu (tgu)'= ucos 'u 2 =u'.(1+tg 2 u) (cotgu)'=- usin 'u 2 =-u'(1+cotg 2 u) (3) (ln|x|)'= x 1 (log a |x|)'= alnx 1 (ln|u|)'= u 'u (log a |u|)'= alnu 'u (4) (e x )'= e x (e u )'= u'.e u 2 Chủ đề 2: Các qui tắc tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản (a x )'= a x .lna (a u )'= u'.a u .lna 2. các bài toán cơ bản Bài toán 1. Tính đạo hàm của hàm số y= )]x(v[log )x(u . phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Thực hiện phép đổi cơ số, ta đợc: y= )]x(uln[ )]x(vln[ . Bớc 2 : Lấy đạo hàm. Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y=log (2x+1) (x 2 +1). Giải. Ta có: y=log (2x+1) (x 2 +1)= )1x2ln( )1xln( 2 + + . y'= ' 2 )1x2ln( )1xln( + + = 2 22 )]1x2[ln( )]'1x2).[ln(1xln()1x2ln()]'.1x[ln( + ++++ = 2 2 2 )]1x2[ln( )1xln(. 1x2 2 )1x2ln(. 1x x2 + + + + + = 22 22 )]1x2)[ln(1x2)(1x( )1xln()1x(2)1x2ln()1x2(x2 +++ ++++ . Bài toán 2. Tính đạo hàm của hàm số y=|f(x)|. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Viết lại hàm số dới dạng: y= )x(f 2 . Bớc 2 : Lấy đạo hàm. Bớc 3 : Kết luận về đạo hàm của hàm số với f(x)0 Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= |xsin| 1 . Giải. Ta có: y= |xsin| 1 = xsin 1 2 3 Phần IIV Đạo hàm y'=( xsin 1 2 )'=- xsin )'xsin( 2 2 =- xsin.xsin2 xcosxsin2 22 =- xsin gxcot 2 =- |xcos| tgx . Bài toán 3. Tính đạo hàm của hàm số y=u(x) v(x) . phơng pháp chung Nếu u, v là hàm số có đạo hàm theo x là u' và v' và với u>0 thì đạo hàm của hàm số y=u v đợc tính theo phơng pháp Lepnit và I.Becnuli. Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Lấy loga cơ số e hai vế của hàm số, ta đợc: lny=ln[u(x) v(x) ] lny=v(x).ln[u(x)] Bớc 2 : Lấy đạo hàm theo x cả hai vế ta đợc: y 'y = v'(x).ln[u(x)]+ u 'u .v(x), y'=y{v'(x).ln[u(x)]+ u 'u .v(x)}= u(x) v(x) .{v'(x).ln[u(x)]+ u 'u .v(x)} Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y=(x 2 +1) sinx . Giải. Ta có: lny=sinx.ln(x 2 +1). Lấy đạo hàm theo x cả hai vế ta đợc: y 'y =cosxln(x 2 +1)+ 1x )'1x( 2 2 + + sinx= cosx.ln(x 2 +1)+ 1x xsin.x2 2 + . y'=y[cosx.ln(x 2 +1)+ 1x xsin.x2 2 + ]=(x 2 +1) sinx .[cosx.ln(x 2 +1)+ 1x xsin.x2 2 + ]. Chú ý. Phơng pháp Lepnit và I.Becnuli còn đợc gợi ý cho việc tính đạo hàm của f(x) khi f(x) có dạng tích. Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y=sin 2 x.(x+1) 2000 .(tgx) 2 . Giải. Ta có lny=ln[sin 2 x.(x+1) 2000 (tgx) 2 ]=ln(sin 2 x)+ln(x+1) 2000 +ln(tgx) 2 =2ln|sinx|+2000ln |x+1|+2ln|arctgx| Lấy đạo hàm theo x cả hai vế ta đợc: y 'y = xsin xcos2 + 1x 2000 + + tgx.xcos 2 2 4 Chủ đề 2: Các qui tắc tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản y' = y[ xsin xcos2 + 1x 2000 + + x2sin 4 ] = sin 2 x.(x+1) 2000 .(tgx) 2 .[ xsin xcos2 + 1x 2000 + + x2sin 4 ]. II.các bài toán chọn lọc Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số: a (Đề 3). y= 1xxx 2 ++ b y= xxx bài giải a. Ta có: y'=( 1xxx 2 ++ )'= 1xxx2 1 2 ++ (x+ 1xx 2 + )' = 1xxx2 1 2 ++ (1+ 1xx2 1x2 2 + )= 1xx.1xxx4 1x21xx2 22 2 +++ ++ . b. Ta có: y= xxx = 2 1 x . 4 1 x . 8 7 x = 8 7 x . Do đó: y'= 8 7 . 8 1 x . Chú ý. Một số bài toán cần rút gọn f(x) sau đó mới tính đạo hàm. Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số: a. y= xcos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +++ với x(0, 2 ). b. y= xsin )xsin1)( 2 x 4 (tg + . bài giải a. Ta có: y= xcos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +++ = 2 x cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ++ = 2 x cos 2 1 2 1 2 1 2 1 ++ = 4 x cos 2 1 2 1 2 + = 4 x cos 2 1 2 1 + = 8 x cos 2 =cos 8 x . 5 PhÇn IIV §¹o hµm Do ®ã: y'=( cos 8 x )'=- 8 1 sin 8 x . b. Ta cã: y = xsin )xsin1)( 2 x 4 (tg +− π = xsin ) 2 x sin 2 x )(cos 2 x 4 (tg 2 +− π = xsin ) 2 x 4 (cos) 2 x 4 (tg2 2 − π − π = xsin ) 2 x 4 cos() 2 x 4 sin(2 − π − π = xsin )x 2 sin( − π = xsin xcos =cotgx. Do ®ã: y'=(cotgx)'=- xsin 1 2 . Bµi 3: TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: a y=ln(x+ 22 ax + ) víi a>0. b y=ln|x+ 22 ax − | víi a>0. c (§Ò 40). y=ln 12xx 12xx 2 2 ++ +− . bµi gi¶i a. Ta cã: y'=[ln(x+ 22 ax + )]'= 22 22 axx )'axx( ++ ++ = 22 22 axx ax2 x2 1 ++ + + = )axx(ax xax 2222 22 +++ ++ = 22 ax 1 + . b. Ta cã: y' =[ln(x+ 22 ax − )]'= 22 22 axx )'axx( −+ −+ = 22 22 axx ax2 x2 1 −+ − + = 22 ax 1 − . c. Ta cã: y'=(ln 12xx 12xx 2 2 ++ +− )'= 12xx 12xx 1 2 2 ++ +− ( 12xx 12xx 2 2 ++ +− )' 6 Chñ ®Ò 2: C¸c qui t¾c tÝnh ®¹o hµm - §¹o hµm c¸c hµm sè s¬ cÊp c¬ b¶n = 12xx 12xx 2 2 +− ++ . 22 22 )12xx( )12xx)(2x2()12xx)(2x2( ++ +−+−++− = )12xx)(12xx( )1x(22 22 2 +++− − = 1x )1x(22 4 2 + − . Bµi 4 (HVNH Khèi D 98): TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: y=log 2x (3x+1). bµi gi¶i Ta cã: y= log 2x (3x+1)= )x2ln( )1x3ln( + ⇒ y' = ' )x2ln( )1x3ln(       + = 2 )]x2[ln( )]'x2).[ln(1x3ln()x2ln()]'.1x3[ln( +−+ = 2 )]x2[ln( )1x3ln(. x2 2 )x2ln(. 1x3 3 +− + = 2 )]x2)[ln(1x3(x )1x3ln()1x3()x2ln(x3 + ++− . Bµi 5: TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: y=(x 2 +1) cosx . bµi gi¶i Ta cã: lny=cosx.ln(x 2 +1) LÊy ®¹o hµm theo x c¶ hai vÕ ta ®îc: y 'y = (cosx)'.ln(x 2 +1)+ [ln(x 2 +1)]'.cosx=-sinx.ln(x 2 +1)+ 1x xcos.x2 2 + , ⇒ y'=y[-sinx.ln(x 2 +1)+ 1x xcos.x2 2 + ]=(x 2 +1) cosx [ -sinx.ln(x 2 +1)+ 1x xcos.x2 2 + ]. Bµi 6: TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè: y= |xcos| 1 . bµi gi¶i Ta cã: 7 Phần IIV Đạo hàm y= |xcos| 1 = xcos 1 2 y'=( xcos 1 2 )'=- xcos )'xcos( 2 2 =- xcos.xcos2 xcosxsin2 22 = xcos tgx 2 = |xcos| tgx . Bài 7 Tính đạo hàm của hàm số g(x)= ln | x ax1 | 2 ++ , với x0, a>0 bài giải Ta xét hai trờng hợp: Với x>0, ta đợc: g(x)=ln x ax1 2 ++ . Suy ra: g'(x)= x ax1 x ax1 2 ' 2 ++ ++ = x ax1 x )ax1(x. ax x 2 2 2 2 ++ ++ + =- axx a 2 + . Với x<0, ta đợc: g(x)=ln ++ x ax1 2 . Suy ra: g'(x)= x ax1 x ax1 2 ' 2 ++ ++ = x ax1 x )ax1(x. ax x 2 2 2 2 ++ ++ + =- axx a 2 + . Tóm lại với x0 ta luôn có: g'(x)= - axx a 2 + . III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. CMR: a. ' dcx bax + + = 2 )dcx( bcad + . b. ' 2 edx cbxax + ++ = 2 2 )edx( )cdbe(aex2adx + +++ . c. ' 11 2 1 2 cxbxa cbxax ++ ++ = 2 11 2 1 1111 2 11 )cxbxa( cbbcx)caac(2x)baab( ++ ++ Bài tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: 8 Chủ đề 2: Các qui tắc tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản a. y=3sin 2 x-2sin 3 x. b. y=cosx.sin 2 x. c. y=cosx.cos 2 x . d. y= xcosxsin xcosxsin + . e. y=sin 4 2 x . f. y= (1+cotgx) 2 . g. y=cos3x.sinx. h. y= xsin2 xsin1 + i. y=cotg 3 (2x+45 0 ). j. y= 22 )x2sin1( 1 + . Bài tập 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: a. y= xtg2 2 + . b. y= 2 x cos1 2 + . c. y= 2 2 2 x tg1 2 x tg . Bài tập 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: a. y=(x 2 -2x+3)e x . b. y= x e 1 - x e . c. y= xx xx ee ee + . d. y=x 2 .ln 1x 2 + . e. y=(1+lnx)lnx f. y= x xln . g. y=(sinx-cosx)e x . h. y= 3 x e 1 . i. y=2 x +3 x . j. y= xln1 + k. y=ln(x 2 +1). l. y=ln(x+ 1x 2 + ). m. y= 1xln 1xln + . Bài tập 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: n. y=ln x1 x1 + . o. y=ln xcos xsin1 + . p. y= |xsin| 1 . q. y=ln|sinx|. r. y=ln|tgx|- xsin2 1 2 s. y=ln 2 ax cos 2 ax sin + . t. y=ln 2x 4x . u. y= |tgx| 1 . v. y=ln x 11x 2 + . w. y=ln|tg 2 x |- xsin xcos 2 . x. y=ln 2 ax cos 2 ax sin + . Bài tập 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: a. y=log sinx (cosx+1). b. y= )xcosx(sinlog xcos 2 + . c. y=log (sinx+cosx) [sin 3 x(1+cotgx)+cos 3 x(1+tgx). 9 PhÇn IIV §¹o hµm d. y=log x+1 (cos 3 x.cos3x- sin 3 x.sin3x). e. y=log tg3x [tg(x- 3 π )+tgx+tg(x+ 3 π )]. f. y=log sin4x (cos3x.sin 3 x+ sin3x.cos 3 x). g. y=log cos3x [cosxcos( 3 π -x) cos( 3 π +x)]. h. y=log cotgx (tgx+2tg2x+4tg4x+8tg8x). i. y= )11x(log 2 )2xx( 2 ++ ++ j. y= )1e(log x ]1)1x[ln( 2 + ++ Bµi tËp 7. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: a. y=(sinx) cosx . b. y=(cosx) sinx . c. y= xcos xcos1 xcos1       + − . d. y= xcos xcos1 xcos1       + − . e. y=(cos3x.cos 3 x+ sin3x.sin 3 x) x . f. y=[sinxsin( 3 π -x) sin( 3 π +x)] sinx . g. y= x x1 x1       + − . h. y= x x1 x         + . i. y= x e 2 21x       ++ j. y=x 2x + x4 )x2( x + x8 )x4( )x2( x 10 . IIV Đạo hàm chủ đề 2 Các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản I. Kiến thức cơ bản 1. Bảng tóm tắt Giả sử các hàm số u, v, w có đạo hàm, . cbbcx)caac(2x)baab( ++ ++ Bài tập 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng xác định: 8 Chủ đề 2: Các qui tắc tính đạo hàm - Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản a.