Chuyên đề Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm I. Kiến thức cơ bản 1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x)) ( ) C =0 (C là hằng số) ( ) x =1 ( ) n x =n.x n-1 (n N, n 2) ( ) n U =n.U n-1 . U x 1 =- 2 1 x (x 0) U 1 =- 2 U U )( x = x2 1 (x>0) ( ) U = U U 2 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)). ( ) VU = VU ( ) UV = VUVU + ).( Uk = Uk . (k là hằng số) V U = 2 V VUVU V 1 = - 2 1 V 3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)]. 'g x = u f ' . x U II. Kỹ năng cơ bản - Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số. - Tính đợc đạo hàm hàm số hợp. III. Một số ví dụ A.Ví dụ tự luận VD1. Tính đạo hàm của các hàm số 1/ y=2x 5 -3x 4 +x 3 - 2 1 x 2 +1 2/ y= 2 1 x 4 - 3 4 x 3 + 4 1 x 2 +3x-2 3/ y=2x 2 (x-3) 4/ y= 1 2 + + m mx với m là tham số khác -1 Gi¶i 1/ Ta cã: 'y = 10x 4 -12x 3 +3x 2 –x 2/ Ta cã: 'y = 2x 3 - 4x 2 + 2 1 x+3 3/ Ta cã: y= 2x 3 - 6x 2 ⇒ 'y = 6x 2 -12x 4/ Ta cã: y= 1 + m m x+ 1 2 + m Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn 'y = 1 + m m VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 1/ y= 1 1 + x 3/ y= 14 13 2 − ++ x xx 2/ y= 1 2 + − x x 4/ y=(3x-2)(x 2 +1) Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = - 2 )1( )'1( + + x x = - 2 )1( 1 + x ∀ x ≠ -1 2/ Ta cã: 'y = 2 )1( )'1).(2()1)'.(2( + +−−+− x xxxx = 2 )1( )2()1( + −−+ x xx = 2 )1( 3 + x ∀ x ≠ -1 3/ Ta cã: 'y = 2 22 )14( )'14)(13()14()'13( − −++−−++ x xxxxxx = 2 2 )14( 4).13()14)(16( − ++−−+ x xxxx = 2 2 )14( 5612 − −− x xx ∀ x ≠ 4 1 4/ Ta cã: 'y = )'23( − x (x 2 +1) - (3x-2) )'1( 2 + x = 3(x 2 +1)-(3x-2).2x = 3x 2 +3- 6x 2 +4x = -3x 2 +4x+3 VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/ y= x 2 1 x + 2/ y= x (x 2 - x +1) 3/ y= x x − + 1 1 Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = )( ′ x . 2 1 x + +x ( ) ′ + 2 1 x = 2 1 x + + 2 2 1 x x + = 2 2 1 21 x x + + 2/ Ta cã: 'y = )( ′ x (x 2 - x +1) + x )1( 2 ′ +− xx = x x 2 1x 2 +− + x (2x- x2 1 ) = x xx 2 1 2 +− + 2x x - 2 1 ∀ x > 0 3/ Ta cã: 'y = ( ) x xxxx − ′ −+−− ′ + 1 1)1(1)1( = x x x x − − + +− 1 12 1 1 = xx xx −− ++− 1)1(2 1)1(2 = xx x −− +− 1)1(2 3 ∀ x <1 VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè 1/ y= (2x+3) 10 2/ y= (x 2 +3x-2) 20 3/ y= 22 2 ax x + (a lµ h»ng sè) Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = 10(2x+3) 9 . )'32( + x = 20(2x+3) 9 2/ Ta cã: 'y = 20(x 2 +3x-2) 19 . )23( 2 ′ −+ xx = 20(x 2 +3x-2) 19 .(2x+3) 3/ Ta cã: 'y = 22 222222 )()'( ax axxaxx + ′ +−+ = 22 22 3 22 2 ax ax x axx + + −+ = 322 23 )( 2 ax xax + − VD5. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x 3 -3x+7 1/ T¹i ®iÓm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Gi¶i: Ta cã: 'y = 3x 2 -3 1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = 'y (1) = 0 Phơng trình tiếp tuyến cần viết là: y = 5. 2/ Gọi tiếp điểm là M(x 0 ;y 0 ) y 0 = x 0 3 -3x 0 +7 Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6 'y (x 0 ) = 6 3x 0 2 -3 = 6 x 0 = 3 Với x 0 = 3 y 0 =7. Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6 3 Với x 0 =- 3 y 0 =7 Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 3 VD6. Cho hàm số y= 1 1 2 + ++ x xx Giải bất phơng trình khi 'y 0 Giải: Ta có: + 'y = 2)1( )'1)(1()1()'1( 22 + ++++++ x xxxxxx = 2 2 )1( )1()1)(12( + ++++ x xxxx = 2 2 )1( 2 + + x xx x -1 Do đó: 'y 0 2 2 )1( 2 + + x xx 0 ⇔    ≥+ −≠ 02 1 2 xx x ⇔    ≥ −≤ 0 2 x x B. VÝ dô tr¾c nghiÖm Chän nh÷ng ph¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau: VD7. Cho hµm sè y= 12 1 + x , khi ®ã )2('y b»ng A. 5 1 B. 5 1 − C. 25 1 D. 25 1 − VD8: Cho hµm sè y= x2 , khi ®ã )4('y b»ng A. 2 2 B. 22 1 C. 2 2 D. 4 2 VD9. Cho hµm sè y=(x+1) 5 , khi ®ã )2(' − y b»ng A.-5 B.5 C.-1 D.1 VD10. Cho hµm sè y=2x- x , khi ®ã )1('y b»ng A. 2 1 B. 2 3 C. 1 D. Kh«ng tån t¹i VD11. Cho hµm sè y= 2 1 − + x x , khi ®ã )1(' − y b»ng A.0 B.-1 C.- 2 1 D.- 3 1 VD12. Cho hµm sè y=2x 3 -3x 2 +3, khi ®ã ph¬ng tr×nh 'y =0 cã nghiÖm A. x=0 vµ x=1 B. x=0 vµ x=-1 C. x=1 vµ x=3 D. x=-1 vµ x=3 VD13. Cho hµm sè y= ( ) 2 32 1 + x . §¹o hµm 'y b»ng A. ( ) 4 32 4 + − x B. ( ) 3 32 1 + − x C. ( ) 3 32 2 + − x D. ( ) 3 32 4 + − x VD14. Cho hµm sè y= 12 4 + + x x , ®¹o hµm 'y b»ng A. ( ) 2 12 7 + x B. ( ) 2 12 7 + − x C. ( ) 2 12 5 + x D. ( ) 2 12 5 + − x VD15. Cho hµm sè y= x x 1 2 + , khi ®ã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 'y >0 lµ A. S =(- 1; −∞ ] ∪ [1;+ ∞ ) C. S =(- );1()1; +∞∪−∞ B. S =(- )0; ∞ ) ∪ [1;+ ∞ ) D. S = ( );0()1; +∞∪−∞− VD16. Cho hµm sè y= 14 3 + − x x , khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh 0' < y cã tËp nghiÖm lµ: A. S =( +∞ − ; 4 1 ) B. S =[ +∞ − ; 4 1 ) C. S =[3;+ ∞ ) D. S φ ≠ §¸p ¸n: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16 C D A B D A D B C D IV. Bµi tËp. A. Bµi tËp tù luËn. Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: 1/ y=x 3 -2x 2 +x- x +1 7/ y= xx −++ 43 2/ y= 32 1 − + x x 8/ y= ( ) 7 2 3 − x 3/ y= 2 22 2 + ++ x xx 9/ y=(x-2) 1 2 + x 4/ y= x x − + 1 1 10/ y= ( ) 42 2 2 2 ++− xx 5/ y= 432 2 ++ xx 11/ y= ( ) 11 2 +++ xxx 6/ y= 2 9 x x − 12/ y= 12 3 2 + ++ x xx H íng dÉn: 1/ x xxy 2 1 143' 2 += , 0 > x 7/ xx y + = 4 1 32 1 ' với- 3<x<4 2/ ( ) 2 32 5 ' = x y 2 3 x 8/ 62 )3(14' = xxy 3/ ( ) 2 2 2 24 ' + ++ = x xx y 2 x 9/ 1 122 ' 2 2 + + = x xx y 4/ Ta có: y=1- x 1 2 , x 0 10/ 4 )2(4' 2 2 + += x x xxy ( ) 2 1 1 ' xx y = 0 > x 12/ 3)12(2 11 ' 22 +++ = xxx y 5/ 4322 34 ' 2 ++ + = xx x y 6/ ( ) 3 2 2 9 29 ' x x y = với -3< x <3 Bài 2. Cho hàm số: y= 123 3 1 23 + mxxx tìm m để 1/ 'y là bình phơng của một nhị thức 2/ 0' y Rx 3/ 'y <0 x (0;1) 4/ 'y >0 x >0 H ớng dẫn: Ta có: =+= mxxy 26 2 g(x). 1/ Ta phải có: =0 029 = m m= 2 9 2/ Ta phải có: 0 9-2m 0 m 2 9 3/ Ta phải có: < < 0)1( 0)0( g g <+ < 025 02 m m m<0 4/ Ta phải có: + Hoặc <0 m > 2 9 + Hoặc < > > 0 2 0)0( 0 S g Hệ vô nghiệm Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x 3 -3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y= x 3 1 H ớng dẫn: + Ta có y = 3x 2 -6x + Gọi (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, y 0 =x 0 3 -3x 0 2 Ta phải có: 3x 0 2 -6x 0 =-3 x 0 =1 =>y 0 =-2 => phơng trình tiếp tuyến là: y=-3x+1 Bài 4. Cho đờng cong (c)): y= 3 1 + x x . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1 H ớng dẫn: + Ta có y = 2 )3( 4 x + Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1 + Gọi (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm, y 0 = 3 1 0 0 + x x Ta phải có: = = < = >= 5 1 1 )3( 4 0 0 2 0 x x x + Ta có 2 tiếp tuyến là y = -x và y = -x+8 + Từ đó suy ra kết quả B. Bài tập trắc nghiệm Chọn phơng án đúng trong các bài tập sau: Bài 4. Cho hàm số y = x2 1 , )1(y bằng A. 2 1 B. 2 1 C. 1 D. - 1 Bài 5. Cho biết hàm số y = 1 12 + x x , )1( y bằng A. 4 3 B. 4 3 C. 2 1 D. 2 1 Bài 6. Cho hàm số y = 1 + x , )2(y bằng Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x) 6 , )0(y bằng A. 1 B. -1 C. 18 D. - 18 Bài 8. Cho hàm số y = 12 2 + x , Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình 0 y là: A. S =IR B. S =[0; ) + C. S =(0; ) + D. S = Bài 9. Cho hàm số f(x)= x 2 +3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phơng trình )()( xgxf có tập nghiệm là: A. S = B. S = ); 2 1 ( + C. S = ); 2 1 [ + D. S = A. 3 B. - 3 C. 32 1 D. - 32 1 . tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số. - Tính đợc đạo hàm hàm số hợp. III. Một số ví dụ A.Ví dụ tự luận VD1. Tính đạo hàm của các hàm số 1/ y=2x 5 -3x 4 +x. V 3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)]. 'g x = u f ' . x U II. Kỹ năng cơ bản - Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm