[r]
(1)CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1 Quy tắc tính đạo hàm
1.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số
• = ' ' '
1 n n
(u u u )' u u u • (k.u(x))' k.u'(x) =
•(uvw)' u' vw uv' w uvw' = + + •(u (x))' nun = n 1− (x).u'(x)
• = −
'
2
u(x) u'(x)v(x) v'(x)u(x) v(x) v (x) •
= −
c c.u'(x) '
u(x) u (x)
1.2 Đạo hàm hàm số hợp
Cho hàm số y f(u(x)) f(u) v= = ớiu u(x)= Khi đóy'x=y' u' u x
2 Bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp
Đạo hàm Hàm hợp
=
(c)'
=
(x)' = −1
(x )' x
( )x '=
2 x
( )n = −
n n
1 x '
n x
=
(sin x)' cos x
= −
(cos x)' sin x
=
2
1 (tan x)'
cos x
= −
2
1 (cot x)'
sin x
( )u '= u−1.u'
( )u '= u'
2 u
( )n = −
n n
u' u '
n u
=
(sin u)' u'.cos u
= −
(cos u)' u'sin u
( ) =
2
u' tan u '
cos u
( ) = −
2
u' cot u '
sin u
Vấn đề1 Tính đạo hàm bằng cơng thức
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm
Các ví dụ
Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau:
(2)3 = − +
4
x
y x
4 4 = − + +
4
y 2x x
5 = +
−
2x y
x 6
− +
= +
2
x 2x y
x
Lời giải
1. Ta có: y'= −( x3+3x 1+ )'=3x2−6x +
2. Ta có: y'= −( x3+3x 1+ )'= −3x2+3
3. Ta có: = − + = −
'
2
x
y' x x 2x
4
4. Ta có: = − + + = − +
'
4 3
y' 2x x 8x 3x
5. Ta có: = + − − − + = −
− −
(2x 1)'(x 3) (x 3)'(2x 1) y'
(x 3) (x 3)
6. Ta có: = − + + − − + +
+
2
2
(x 2x 2)'(x 1) (x 2x 2)(x 1)' y'
(x 1)
( )
− + − − + + −
= =
+ +
2
2
(2x 2)(x 1) (x 2x 2) x 2x
(x 1) x 1
Nhận xét: Với hàm số = +
+
ax b y
cx d ta có:
− =
+
ad bc y'
(cx d)
Ví dụ Giải bất phương trình f '(x) bi ết:
1 f(x) x x = − 2 f(x) x x= − 2+12
3 f(x)= x2− + +x x2+ +x 4 f(x)=4x2+ −1 x
Lời giải
1 TXĐ: D= − 2;
Ta có: = − − = −
− −
2
2
2
x 2x f '(x) x
4 x x
Do đó: f '(x) 0 −4 2x2 −0 2 x
2 TXĐ: D=
Ta có: = − = + −
+ +
2
2
2x x 12 2x f '(x)
(3)Suy ra: f '(x) 0 x2+122x (1)
• Với x 0 (1) ln
• Với x 0
+
2
x
(1) x
x 12 4x
Vậy bất phương trình f '(x) có nghi ệm x
3 TXĐ: D=
Ta có: = − + +
− + + +
2
2x 2x
f '(x)
2 x x x x
Suy f '(x) 0= −(1 2x) x2+ + = +x (1 2x) x2− +x
( )
− +
− + + = + − +
2
2
(1 2x)(1 2x)
1 3
(1 2x) x 2x x
2 4
−
=
− = +
2
1
x
x
2
(1 2x) (1 2x)
4 TXĐ: D= +0; )
Ta có: = −
+
2
4
x
f '(x)
2 x (x 1)
4 2+ 2+
f '(x) x x (x 1) x (x 1)
x2x2+1 bất phương trình vơ nghiệm Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau:
1 y= 2x2+3x 1+ 2 y=5 2x2+ +1 3x 2+
3 y= 2sin (2x 1) cos x2 − + 4 y tan(sin 3x)= + cot (1 2x ) 32 − +
5 y=3sin(tan x) cos(cot x)+
Lời giải
1 Ta có: = + + = +
+ + + +
2
2
(2x 3x 1)' 4x y'
2 2x 3x 2x 3x
2. Ta có = + + +
+ + +
2
5
1
y' ( 2x 3x 2)'
(4)= +
+
+ + +
5
1 2x
( 3)
2x ( 2x 3x 2)
3. Ta có:
− − − +
= =
− + − +
2
2
1
2sin(4x 2) sin x (2sin (2x 1) cos x)' x y'
2 2sin (2x 1) cos x 2sin (2x 1) cos x = − −
− +
2
4 x sin(4x 2) sin x 2x sin (2x 1) x cos x
4. Ta có: = + + − +
− +
2
2 2
2
[cot (1 2x ) 3]' y' [1 tan (sin 3x)](sin 3x)'
2 cot (1 2x )
= + + + − −
− +
2 3
2
2
6x [1 cot (1 2x )]cot(1 2x ) 3[1 tan (sin 3x)]sin 6x
cot (1 2x )
5. Ta có: = +
+
[sin(tan x) cos(cot x)]' y'
3 [sin(tan x) cos(cot x)] = + + +
+
2
2
(1 tan x)cos(tan x) (1 cot x)sin(cot x) [sin(tan x) cos(cot x)]
Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau :
1 = − +
+
2
x 3x x f(x)
2x x 2
=
=
2
x cos x
f(x) 2x
0 x
Lời giải
1 Với x 1 f(x) x= 2−3x 1+ f '(x) 2x = − Với x 1 f(x) 2x 2= + f '(x) 2=
Với x ta có: = ( )
+ +
→ →
= 2− + = −
x x
lim f(x) lim x 3x 1 f(1) hàm số không liên
tục x 1, suy hàm s= ốkhơng có đạo hàm x = Vậy = −
2x x f '(x)
2 x
2 Với x 0 f(x) x cos= f '(x) 2xcos= −1cos
2x 2x 2x
Với x=0 ta có:
→ →
− = = =
x x
f(x) f(0)
lim lim xcos f '(0)
(5)Vậy
−
=
=
1
2x cos x f '(x) 2x
0 x
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau
1 y x= 4−3x2+2x 1− 2 = − + + −
3
x
y 2x x
3
3 = +
+
2x y
x
− + =
−
2
x x y
x
5 = +
+
ax b y , ac
cx d
+ +
=
+
2
ax bx c
y , aa'
a' x b'
Bài Tính đạo hàm hàm số sau
1 y=x x2+1 2 =
+
3 y
(2x 5) 3
− +
= −
2
2 2x x y
x
4 y= 3x 2tan x+ 5 y sin (3x 1)= + 6.y (x 1) x= + 2+ +x 1
Bài 3.Tính đạo hàm hàm số sau
1 y=(x7+x)2 2 y=(x2+1 3x)( − 2) = −
2
2x y
x
4 y=x2(2x 5x 3+ )( − ) 5 = +
3
5 y 4x
x
= + +
y (x 2) (x 3)
7 y= x3−3x2+2 8 y x= 2+x x 1+ = −
2
x y
a x
10 y=
x x 11
+ =
−
1 x y
1 x 12 =
2
y sin 3x
13 y= tan x cot 2x2 + 14 y=3x3+cos (2x4 −)
3
15 y=2 sin x( 2+2) 16 y cos sin x= 2( ) 17 y= x sin x
18 = − +
3
cos x
y cot x
3
3sin x 19
=
=
3
x sin x
f(x) x
0 x
Bài 4. Tính ( )( )
f '
' Biết : =
2
(6)Bài Chứng minh hàm sốsau có đạo hàm khơng phụ thuộc x
1 y sin x cos x 3sin xcos x = + + 2
2.
= − + + + − + + −
2 2 2 2
y cos x cos x cos x cos x sin x
3 3
Bài Tìm m để hàm số
1 y (m 1)x= − 3−3(m 2)x+ 2−6(m 2)x có + + y' 0, x
2 = − + − +
3
mx
y mx (3m 1)x
3 có y' 0, x
Bài 7.Tính đạo hàm hàm số sau
1
=
=
2
x sin x
f(x) x
0 x
2
+ +
=
− +
2
x x x f(x)
x x
Bài 8. Tìm a, b để hàm sốsau có đạo hàm
1
− +
=
− + +
2
x x x f(x)
x ax b x
2
+ +
= +
+ +
2
2
x x
x f(x) x 1
x ax b x
Bài 9.Tính đạo hàm hàm số sau
1 y (x= 3+2x)3 y (x= 2−1)(3x3+2x)
3 = +
2
2 y x
3x
= + +
y 2sin 2x tan 3x xcos 4x
5 y=sin 2x− x
x cos 3x = + + +
3
y x sin 2x x x
7 y= sin x x2 + 3+1 y= x2+ +1 2x 1−
9 y x tan 2x= +x 1+
cot x 10
= − +
3
y sin 2x
Bài 10 Giải bất phương trình :
1 f '(x) 0 với f(x) 2x= 3−3x2+1
(7)3 2xf '(x) f(x) v− ới f(x)= +x x2+1
4 f '(x) v ới f(x) x= + x −
Vấn đề Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Từđịnh nghĩa đạo hàm
→
− =
−
0
x x0 0
f(x) f(x ) f '(x ) lim
x x ,ta thấy sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn hàm số Cụ thể
• Để tính →
=
−
x x0 0
g(x) A lim
x x , biết g(x ) =
Ta viếtg(x) f(x) f(x )= − 0 Khi f(x) có đạo hàm x : 0
→
−
= =
− 0
x x0 0
f(x) f(x )
A lim f '(x )
x x
• Để tính:
→
=
x x0
F(x) B lim
G(x), biết F(x ) G(x ) = = Ta viết F(x) f(x) f(x ) và= − 0 G(x) g(x) g(x ) = − 0
Nếu hai hàm số f(x),g(x) có đạo hàm x x = 0 g'(x ) thì: 0
→
− −
= =
− −
0
0
x x0 0 0
0
f(x) f(x )
x x f '(x ) B lim
g(x) g(x ) g '(x ) x x
Các ví dụ
Ví dụ Tính giới hạn sau :
1
→
− −
=
x
1 x A lim
x 2 →
− − −
=
−
3 x
2x 3x B lim
x
3
→
+ −
= n
x
1 3x C lim
x 4 →
+ − −
=
+
3
2 x
1 x 2x D lim
x x
Lời giải
1 Đặt = − = −
−
3
2
1 f(x) x f '(x)
3 (1 x)
f(0) 1=
→
−
= = = −
−
x
f(x) f(0) A lim f '(0)
x
(8) = −
−
−
3
2
f '(x)
2 3x (2x 1)
f(1) =
→ → →
− −
= =
+ − + −
x x x
1 f(x) f(0) f(x) f(0)
B lim lim lim
x x x x = = − = −
1
.f '(1)
2
3 Đặt
→
−
=n + = = =
x
f(x) f(0) f(x) 3x C lim f '(0)
x n
4 Đặt f(x)=31 x+ −41 2x− = +
+ 2 −
3
2x
f '(x)
3 (1 x ) (1 2x)
→ →
−
= = =
+
x x
1 f(x) f(0) D lim lim f '(0)
x x
Ví dụ Tính giới hạn sau : →
+ − +
=
−
3
2
x
1 2x 3x A lim
1 cos x
Lời giải
Ta có:
→ →
+ − +
= =
3
2
2
x x
2
1 2x 3x
f(x) x
A lim lim
x x
2 sin sin
2
x x
Mà
→ →
= =
2
2
x x
x x
2 sin sin
1
2
lim lim
x
2
x
2
Đặt
→ →
+ − +
= 2 = =
x t
1 2t 3t
t x lim f(x) lim
t
Vậy A 0=
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm giới hạn sau
1
→
+ − −
=
x
(1 3x) (1 4x) A lim
x 2. →
+ + + −
=
x
(1 x)(1 2x)(1 3x) B lim
x
3.
→
+ −
=
+ −
n m x
1 ax
C lim (m,n ;a.b 0)
1 bx 4. →
− − =
−
2 x
2x x D lim
x
(9)1
→
− − =
− −
3
2 x
2x 1 A lim
1 x
2
→
+ − +
=
x
2x x B lim
sin x
3
→
+ − +
=
−
3 4
x
26x 80x C lim
x 4 →
− + − + +
=
+ − −
3
x
4 2x x 2x x E lim
2 x x
Vấn đề3 Đạo hàm cấp cao vi phân
Phương pháp:
Vi phân của hàm số
• Tích f '(x ) x 0 gọi vi phân hàm số y f(x) t= ại điểm x (0 ứng với số gia x) kí hiệu df(x ) f '(x ) x 0 = 0
• Nếu hàm số f có đạo hàm f' tích f '(x) x gọi vi phân hàm số
=
y f(x) , kí hiệu là: df(x) f '(x) x=
Đặc biệt: dx= = x' x x nên ta viết df(x) f '(x)dx =
Đạo hàm cấp n
• Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f' Nếu f' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '' , tức là: f '' (f ')' =
• Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n (v− ới n ,n 2 )
− (n 1)
f Nếu f(n 1)− có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f(n), tức là:
−
=
(n) (n 1)
f (f )'
Các ví dụ
Ví dụ Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: = +
−
3x y
x
Lời giải
Ta có: = −
−
7 y'
(x 2) ,
=
−
7.2 y''
(x 2) ,
− =
−
7.2.3 y'''
(x 2) Bằng quy nạp ta chứng minh: = − +
−
n (n)
n
( 1) 7.n! y
(x 2) (2)
• Với n ta th= (2)
• Giả sử(2) với n=k , tức là: = − +
−
k (k)
k
( 1) 7.k! y
(x 2) Ta có: + = − + = − − + +
− −
'
k k
(k 1)
k k
( 1) 7.k! ( 1) 7.k!.(k 1) y
(10)
+ +
− +
=
−
k k
( 1) 7.(k 1)! (x 2)
Nên (2) với số tự nhiên n
Ví dụ Cho đa thức f(x) x= 3−5x2+1 Viết f(x) dạng lũy thừa
−
x
Lời giải
Ta có: = − + − + − +
(3) ''
3
f (2) f (2) f '(2)
f(x) (x 2) (x 2) (x 2) f(2)
3! 2! 1!
Mà f '(x) 3x= 2−10x,f ''(x) 6x 10,f '''(x) = − = Nên f(x) (x 2)= − 3+ −(x 2)2−8(x 2) 11 − −
Ví dụ Tìm vi phân của hàm số:
1 y x= 4−2x + 2 y (x= 3+2)(x 1) +
3 = − +
+
2
2x 6x y
2x 4 y sin 3xcos 5x =
5 y= 4x2 +tan x
Lời giải
1 Ta có dy (x= 4−2x 1)'dx (4x+ = 3−2)dx
2 Ta có y x= 4+x3+2x 1+ dy (4x= 3+3x2+2)dx
3 Ta có = − + − − + = + −
+ +
2
2
(4x 6)(2x 4) 2(2x 6x 5) 4x 16x 34 y'
(2x 4) (2x 4)
Suy = + −
+
2
2
4x 16x 34
dy dx
(2x 4)
4 Ta có y=1sin 8x−1sin 2xdy=(4cos8x cos 2x dx− )
2
5 Ta có: = + + = + +
+ +
2
2
8x tan x 8x tan x
y' dy dx
2 4x tan x 4x tan x
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y sin 2x =
1. Tính y'' 2 Tính y'''( ) ,
(4)
y ( )
4 3. Tính
(n)
y
(11)1 = + +
2x y
x = +
y ,a
ax b
+ =
− +
2
2x y
x 5x
4 y cos 2x = 5 y= 2x + 6 = +
− +
2
2x y
x 3x
Bài Cho đa thức bậc n :f(x) a x= n n+an 1− xn 1− + + a x a1 + 0
1. Tính f(k)(x), k n
2. Chứng minh =
(k) k
f (0) a
k! với k 0,n =
Bài 4. Tìm vi phân hàm số sau
1 y x= 3+2x2 y= 3x 2+ y sin 2x sin x= +
4 y tan 2x= y=3x 1+ y (3x 1)= + 10
Bài Chứng minh đẳng thức sau
1 y y'' xy' y v2 − − = ới y= x −
2 xy'' 2y' 4xy 2sin 2x v− + + = ới y=x sin 2x
Bài Tính đạo hàm cấp n hàm số sau
1 =
+ +
2
x y
x 5x 2 y cos 2x=
Bài
1 Cho đa thức P(x) bậc có nghiệm phân biệt x ,x ,x Ch1 2 3 ứng minh
rằng: + + =
1
1 1
0 P'(x ) P'(x ) P'(x )
2.Cho hàm số f : → thỏa : f(x) f(y)− (x y V− )2 ới x, y
=
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/