Đang tải... (xem toàn văn)
Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I Phương pháp dự đoán quy nạp:
Trong số trường hợp gặp tốn tính tổng hữu hạn
n n
S = +a a + + a (1)
Bằng cách ta biết kết (dự đoán, toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp chứng minh
Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +… + (2n -1)
Thử trực tiếp ta thấy : S1 =
S2 = + =22
S3 = 1+ 3+ = = 32
… … … Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1; 2; ta thấy kết
Giả sử với n = k (k 1) ta có Sk = k (2)
Ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) (3)
Thật cộng vế (2) với 2k +1 ta có 1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)
Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức S
k+1 = ( k +1)
Theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh Vậy Sn = 1+3 + + … + ( 2n -1) = n2
(2)( )
( )( )
( )
( ) ( )
2 2
2
3 3
2
5 5 2
n n 1)1 n
2
n n 2n
2)1 n
6 n n
3)1 n
2
4)1 n n n 2n 2n
12 + + + + + =
+ +
+ + + =
+
+ + + =
+ + + = + + −
II Phương pháp khử liên tiếp:
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta biểu diễn a ,i 1, 2,3 , ni = , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác, xác hơn, giả sử:
1
2
n n n
a b b
a b b
b a
b + = −
= −
= −
Khi ta có ngay:
( ) ( ) ( )
n 2 n n
1 n
s b b b b b b
b b
+ +
= − + − + + −
= −
Ví dụ 2: Tính tổng:
1 1
S
10.11 11.12 12.13 99.100
= + + + +
Ta có: 1 , 1 , , 1
10.11=10 −11 11.12 =11 12− 99.100 =99 −100 Do đó:
1 1 1 1
S
10 11 11 12 99 100 10 100 100
= − + − + + − = − =
(3)( ) ( )
n
1 1
S n
1.2 2.3 n n
1 n
1
n n
= + + +
+
= − =
+ +
Ví dụ 3: Tính tổng
( )( )
n
1 1
S
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n n
= + + + +
+ +
Ta có
( ) ( )( )
n
1 1 1 1 1
S
2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n n n
= − + − + + −
+ + +
( ) ( )( )
n
1 1 1 1
S
2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n n n
= − + − + + −
+ + +
( )( ) ( ( )( ) )
n
n n
1 1
S
2 1.2 n n n n
+
= − =
+ + + +
Ví dụ 4: Tính tổng
( )
n
S = +1! 2.2! 3.3! n.n!$$ n! 1.2.3 n+ + + =
Ta có:
( )
1! 2! 1! 2.2! 3! 2! 3.3! 4! 3!
n.n! n n!
= − = − = −
= + −
Vậy
( )
( ) ( )
n
S 2! 1! 3! 2! 4! 3! n ! n!
n ! 1! n !
= − + − + − + + + −
= + − = + −
(4)( ) ( ) ( )
n 2
3 2n
S
1.2 2.3 n n
+
= + + +
+
Ta có:
( ) 2 ( )2
2i 1
;i 1;2;3; ;n
i i 1
i i
+ = − =
+ +
Do
( )
n 2 2
1 1 1
S
2 n n 1
= − + − + + −
+
( )2 (( )2)
n n
1
n n
+
= − =
+ +
III Phương pháp giải phương trình với ẩn tổng cần tính: Ví dụ 6: Tính tổng
S 2= + + + +2 2100 (4) Ta viết lại S sau:
( )
( )
( )
2 99
2 99 100 100
100
S 2 2
S 2 2 2
S S
= + + + + +
= + + + + + + −
= + −
(5)
Từ (5) suy 101 101 S 2S
S
= + −
= −
Ví dụ 7: Tính tổng
Sn = + +1 p p2+p3+ p+ n(p1)
(5)( )
( )
( )
( )
2 n
n
2 n n n
n
n n n
n
n n
n n
n n
S p p p p
S p p p p p p
S p S p
S p.S p
S p p
p
S
p
− −
+ + +
= + + + + +
= + + + + + + −
= + −
= + −
− = −
−
=
−
Ví dụ 8: Tính tổng
( ) ( )
2 n
n
S = +1 2p 3p+ + + n p , p+ 1
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 n
n
2 3 n n n n n
2 n n n
2 n n n
n
n
n n
p.S p 2p 3p n p
2p p 3p p 4p p n p p n p p n p
2p 3p 4p n p p p p p n p
1 2p 3p 4p n p p p p n p
P
p.S S n P (VD7)
P
+
+ +
+ +
+
= + + + + +
= − + − + − + + + − + + − + +
= + + + + + − + + + + +
= + + + + + + − + + + + + +
−
= − + +
−
Lại có ( ) ( )
n n
n
p
p S n p
P +
+ −
− = + −
−
( )
( )
n n
n
n p p
S
p P 1
+ +
+ −
= −