Chuyen de giai phuong trinh

[r]

(1)

1.Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình phương trình bậc n ẩn phụ:

1.1 Một số dạng phương trình thường gặp:

Dạng 1: a f(x)b.n f(x)c0 (1) Đặt t = n f(x)

(1) trở thành: atn + bt + c = 0

Tìm t -> tìm x

VD1: Giải phương trình: x2 +2x +12 =

4

6

  x

x s

Đặt t = 2 4   x

x (Điều kiện cần t  0)

Phương trình trở thành: t2 – 12t + 20 = 0

<=> [ 10

  t

t  Tìm x

Tập nghiệm: S = {-8; -2; 0; 6} VD2: Giải phương trình: 3x – = 51 2x



Đặt t = 51 2x

Phương trình trở thành: 3t2 + 2t +5 = 0

<=> t = -1

 Tìm x

Dạng 2: (f(x) + g(x)) + ( f(x)  g(x))  2 f(x).g(x) + = Đặt t = f(x)  g(x)

 t2 = f(x) + g(x)  2 f(x).g(x)

 Phương trình trở thành:  t2 +  t +  = 0

VD3: Giải phương trình:

3 2 x- x3 = 5x + 12 6 x x2 - 30 =

ĐK: -3x2

Đặt t = 2 x- x3  t2 = 30 – 5x – 12

6 x x

Phương trình trở thành: t = -t2

<=> [

  t

t Tìm x

Dạng 3:  n f(x) +  2n f(x).g(x) +  n g(x) = ; n = 1,2,3,…

Cách 1: Chia vế cho n g(x) , ta phương trình:

 t2 +  t +  = 0

Cách 2: Đặt 2n f(x) = t2n g(x) (f(x), g(x) 0)…

Ta phương trình: n g(x)( t2 +  t + ) =

x2 - 3x +1 =

1

2

 x x

(2)

Cách 1: <=>2 1 2     x x x x - 1 x 2     x x

x - = Do x2 + x+ >0 x

Đặt t =

1 x 2     x x x

Phương trình trở thành: 2t2 – t – = 0

=>t => Tìm x Cách 2: Đặt x2- x

 = t x2  x 1

Ta có x2 x



 (2t2 – t – 1) =

3 1



x + 33 3 

x = 46 2 3

  x

x

ĐK: [    x x

Dễ thấy x = khơng phải nghiệm phương trình +) Với x > Phương trình 

3   x x

-

3   x x

+3 = Đặt t =

3   x x

(Đk cần t0)

Ta có t2 – 4t +3 = 0

+) Với x  -1 Phương trình 

3 ) (    x

x + 6 ) ( x x  

 +3 = 0

Đặt t =

3 ) ( x x  

 Ta có:

t2 +4t +3 =0  Tìm t

 Tìm x.

1.2 Một vài ví dụ khác: VD1: Giải phương trình:

9x2 – 8x +1 = 2 2x 1

Đặt t = 2x (t  0)

Phương trình trở thành: 9t4 +2t2 – 8t –3 = 0  t = 1

 Tìm x.

VD2: Giải phương trình: x +    x

x =

Đặt t =

4



x (t  0)  Tìm t

 Tìm x.

(3)

2x 3x + 3x = x + 16

Đặt t = 3x (t  0)  x =

3

2 

t

Phương trình bậc ẩn t  Tìm x

VD4: Giải phương trình: x +

1

2 

x x

= 1235

Điều kiện có nghiệm x > Đặt t = 1x

Phương trình trở thành: 1t + 1

1 t

 = 12

35  12(t + 1 t2

 ) = 35t 1 t2

Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình phương trình dối với ẩn phụ, ẩn phụ ban đầu coi tham số:

(1+x) x +1 = 2x

Đặt t = x (t  0)

Phương trình trở thành:

t2 – (1+x)t + x = 0  [ 1

 t

x

t  Tìm x

2x2 +2 – (3x - 1) x2 = 0

Đặt t = x2 (t  0)

Phương trình trở thành: t2 – (3x - 1)t + 2x2 – x = 0  [ 2 1

 x t

x

t  Tìm x

Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình tích: VD1: Giải phương trình:

8 2

  x

x - x = x –

ĐK: x 

Phương trình  2(x 2)2 x = x – + x

Đặt   

 x u

x v

Ta có: 2u2 v2

 = u + v  [ 02

  u

v

u  [

2 2

   x x

(4)

Đặt 

2 

 

x u

x v

Ta có: u2 +3v - = uv  ( u – )( u + – v ) =

 [

3

   u

v

u 

Tìm x VD3: 1



x + 2 

x = 2 1 

x

Đặt 

3

 

x u

x v

Ta có: u + v = u3 v3



 uv(u+v) =  Tìm x

(x+1) x1 - (x + 2) 1 x + 1 x2 -2 =

ĐK: -1  x 

Đặt: 

1

 

 

x u

x

v (u 0, v 0 )  u2 + v2 =

Ta có: u3 – (u+1)v + uv - = 0  (u2 + v)(u - v - 1) =  Tìm x.

Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình: VD1: Giải phương trình:

x +

4 x = + 3x 4 x2

ĐK: -2  x 

Đặt y = 4 x2

 Ta có hệ phương trình:

 2 2 

  

y x

xy y

x  Tìm x,y

Tổng quát dạng:

1.1 F(x, n a xn

 ) = (n = 2,3,…)

Đặt y = n a xn 

Hệ phương trình đối xứng loại I x, y

1.2 F(n f(x),n g(x)) = , f(x) + g(x) = k,

Với F(u,v) = F(v,u)

Đặt  n

n

x f u

x g v

) (

 

=> Hệ phương trình đối xứng loại I u,v VD2: Giải phương trình:

x2 – = 16 2x1  x2 – = 8 8x4

(5)

Ta có hệ phương trình: { 4 8 2

8 4

2 y

x

x y

 

 Tìm x,y

Tổng quát: Phương trình dạng: 2.1 xn = an ax b

 +b

=> Đặt y = n axb

=> hệ phương trình đối xứng loại II x, y 2.2 n ax b

 = c(dx + e)n +  x +

Trong

 



 

ac d

bc e

Đặt n ax b

 = dy +e Ta có hệ phương trình

     

  

x e dx c e dy

b ax e

dy

n n

) ( ) (



c dx e ac d x dy bc

bc acx e

dy c

n n

    

  

) (

 d(x-y).f(x,y)=0  Tìm x,y …

x2 +6x – 14 = 98 35x 6x2  

Đặt x2 +6x – 14 = t (t  0)  98 – 35x – 6x2 = x – 6t +14

Ta có hệ phương trình:

 14

14

2

 



 



x t x

t x t

 Tìm t, x.

Tổng quát phương trình dạng:

ax2 + bx + c = px qx r

 

2 (ap  0)

Trong đó:

p = -b q =

a b2

1

r =  c(1ab) Đặt t = ax2 + bx + c , t  0

ax2 + bx + c = t

at2 + bt +c = x  Tìm t, x.

3 2



(6)

Đặt

 2

1

 

 

x u

x v

Ta có hệ phương trình: u + v = u3 – v2 = -3

 Tìm u, v  Tìm x

Tổng quát: Phương trình dạng:

n f(x)

 + m g(x) + =

Trong : af(x) + bg(x) = c Đặt

 n

m

x f u

x g v

) (

 

   0

 

 

u v

c bv aun m

2

  x

x +

 x

x = 4x – 3

ĐK:



0

2

  

  

x x

Đặt



2

  

  

x x u

x x v

Ta có hệ phương trình: u +v = v2 – u2

 (u + v)(u – v +1) =

Tổng quát:

) (x

f  g(x) = (f(x) g(x))

VD6:

1 2



x +

  x

x = 2

  x

x + x  x2

ĐK: Đặt:

u = 2

 x

v =   x x

w = 2   x x

t = x  x2

(7)

 u v w t t w v u

  

   2

2

  uu vv ww tt

  

 

 u+v =

  uv wt



  Tìm x

Tổng quát phương trình dạng: )

(x

f - g(x) = h(x) - k(x) Trong : f(x) – g(x) =  (h(x) – k(x))

Phương trinh lượng giác hóa:

VD1: Giải phương trình

2

1

1  x = x(1+2 1 x2 )

ĐK: x 1

Đặt x = sint , t ] , [   

Phương trình trở thành:

t cos

1 = sint(1+ 2cost)  Tìm t

 Tìm x

x x

 

1

+ xx

 

1

+ 4x = ĐK: -1  x 

Đặt x = cos2t , t ] , [ 

 Phương trình trở thành:

t t

2 cos

 

+ 11 coscos22tt

 

+ 4cos2t =

 Tìm t  Tìm x

Tổng quát: Phương trình chứa a x2



Đặt x = asint , t ] , [   

Hoặc x = acost , t[0,]

Phương trình chứa a x2

Đặt x = a tant , t )

2 , (   

Hoặc x = a cott , t(0,) Phương trình chứa aa xx

 

aa xx

 

(8)