[r]
(1)1.Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình phương trình bậc n ẩn phụ:
1.1 Một số dạng phương trình thường gặp:
Dạng 1: a f(x)b.n f(x)c0 (1) Đặt t = n f(x)
(1) trở thành: atn + bt + c = 0
Tìm t -> tìm x
VD1: Giải phương trình: x2 +2x +12 =
4
6
x
x s
Đặt t = 2 4 x
x (Điều kiện cần t 0)
Phương trình trở thành: t2 – 12t + 20 = 0
<=> [ 10
t
t Tìm x
Tập nghiệm: S = {-8; -2; 0; 6} VD2: Giải phương trình: 3x – = 51 2x
Đặt t = 51 2x
Phương trình trở thành: 3t2 + 2t +5 = 0
<=> t = -1
Tìm x
Dạng 2: (f(x) + g(x)) + ( f(x) g(x)) 2 f(x).g(x) + = Đặt t = f(x) g(x)
t2 = f(x) + g(x) 2 f(x).g(x)
Phương trình trở thành: t2 + t + = 0
VD3: Giải phương trình:
3 2 x- x3 = 5x + 12 6 x x2 - 30 =
ĐK: -3x2
Đặt t = 2 x- x3 t2 = 30 – 5x – 12
6 x x
Phương trình trở thành: t = -t2
<=> [
t
t Tìm x
Dạng 3: n f(x) + 2n f(x).g(x) + n g(x) = ; n = 1,2,3,…
Cách 1: Chia vế cho n g(x) , ta phương trình:
t2 + t + = 0
Cách 2: Đặt 2n f(x) = t2n g(x) (f(x), g(x) 0)…
Ta phương trình: n g(x)( t2 + t + ) =
VD1: Giải phương trình:
x2 - 3x +1 =
1
2
x x
(2)Cách 1: <=>2 1 2 x x x x - 1 x 2 x x
x - = Do x2 + x+ >0 x
Đặt t =
1 x 2 x x x
Phương trình trở thành: 2t2 – t – = 0
=>t => Tìm x Cách 2: Đặt x2- x
= t x2 x 1
Ta có x2 x
(2t2 – t – 1) =
VD2: Giải phương trình:
3 1
x + 33 3
x = 46 2 3
x
x
ĐK: [ x x
Dễ thấy x = khơng phải nghiệm phương trình +) Với x > Phương trình
3 x x
-
3 x x
+3 = Đặt t =
3 x x
(Đk cần t0)
Ta có t2 – 4t +3 = 0
+) Với x -1 Phương trình
3 ) ( x
x + 6 ) ( x x
+3 = 0
Đặt t =
3 ) ( x x
Ta có:
t2 +4t +3 =0 Tìm t
Tìm x.
1.2 Một vài ví dụ khác: VD1: Giải phương trình:
9x2 – 8x +1 = 2 2x 1
Đặt t = 2x (t 0)
Phương trình trở thành: 9t4 +2t2 – 8t –3 = 0 t = 1
Tìm x.
VD2: Giải phương trình: x + x
x =
Đặt t =
4
x (t 0) Tìm t
Tìm x.
(3)2x 3x + 3x = x + 16
Đặt t = 3x (t 0) x =
3
2
t
Phương trình bậc ẩn t Tìm x
VD4: Giải phương trình: x +
1
2
x x
= 1235
Điều kiện có nghiệm x > Đặt t = 1x
Phương trình trở thành: 1t + 1
1 t
= 12
35 12(t + 1 t2
) = 35t 1 t2
Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình phương trình dối với ẩn phụ, ẩn phụ ban đầu coi tham số:
VD1: Giải phương trình:
(1+x) x +1 = 2x
Đặt t = x (t 0)
Phương trình trở thành:
t2 – (1+x)t + x = 0 [ 1
t
x
t Tìm x
VD2: Giải phương trình:
2x2 +2 – (3x - 1) x2 = 0
Đặt t = x2 (t 0)
Phương trình trở thành: t2 – (3x - 1)t + 2x2 – x = 0 [ 2 1
x t
x
t Tìm x
Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình tích: VD1: Giải phương trình:
8 2
x
x - x = x –
ĐK: x
Phương trình 2(x 2)2 x = x – + x
Đặt
x u
x v
Ta có: 2u2 v2
= u + v [ 02
u
v
u [
2 2
x x
VD2: Giải phương trình:
(4)Đặt
2
x u
x v
Ta có: u2 +3v - = uv ( u – )( u + – v ) =
[
3
u
v
u
Tìm x VD3: 1
x + 2
x = 2 1
x
Đặt
3
x u
x v
Ta có: u + v = u3 v3
uv(u+v) = Tìm x
VD4: Giải phương trình:
(x+1) x1 - (x + 2) 1 x + 1 x2 -2 =
ĐK: -1 x
Đặt:
1
x u
x
v (u 0, v 0 ) u2 + v2 =
Ta có: u3 – (u+1)v + uv - = 0 (u2 + v)(u - v - 1) = Tìm x.
Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình: VD1: Giải phương trình:
x +
4 x = + 3x 4 x2
ĐK: -2 x
Đặt y = 4 x2
Ta có hệ phương trình:
2 2
y x
xy y
x Tìm x,y
Tổng quát dạng:
1.1 F(x, n a xn
) = (n = 2,3,…)
Đặt y = n a xn
Hệ phương trình đối xứng loại I x, y
1.2 F(n f(x),n g(x)) = , f(x) + g(x) = k,
Với F(u,v) = F(v,u)
Đặt n
n
x f u
x g v
) (
) (
=> Hệ phương trình đối xứng loại I u,v VD2: Giải phương trình:
x2 – = 16 2x1 x2 – = 8 8x4
(5)Ta có hệ phương trình: { 4 8 2
8 4
2 y
x
x y
Tìm x,y
Tổng quát: Phương trình dạng: 2.1 xn = an ax b
+b
=> Đặt y = n axb
=> hệ phương trình đối xứng loại II x, y 2.2 n ax b
= c(dx + e)n + x +
Trong
ac d
bc e
Đặt n ax b
= dy +e Ta có hệ phương trình
x e dx c e dy
b ax e
dy
n n
) ( ) (
c dx e ac d x dy bc
bc acx e
dy c
n n
) (
) (
) (
d(x-y).f(x,y)=0 Tìm x,y …
VD3: Giải phương trình:
x2 +6x – 14 = 98 35x 6x2
Đặt x2 +6x – 14 = t (t 0) 98 – 35x – 6x2 = x – 6t +14
Ta có hệ phương trình:
14
14
2
x t x
t x t
Tìm t, x.
Tổng quát phương trình dạng:
ax2 + bx + c = px qx r
2 (ap 0)
Trong đó:
p = -b q =
a b2
1
r = c(1ab) Đặt t = ax2 + bx + c , t 0
Ta có hệ phương trình:
ax2 + bx + c = t
at2 + bt +c = x Tìm t, x.
VD4: Giải phương trình:
3 2
(6)Đặt
2
1
x u
x v
Ta có hệ phương trình: u + v = u3 – v2 = -3
Tìm u, v Tìm x
Tổng quát: Phương trình dạng:
n f(x)
+ m g(x) + =
Trong : af(x) + bg(x) = c Đặt
n
m
x f u
x g v
) (
) (
Ta có hệ phương trình:
0
u v
c bv aun m
Tìm u, v Tìm x
VD5: Giải phương trình:
2
2
x
x +
x
x = 4x – 3
ĐK:
0
2
x x
x x
Đặt
2
x x u
x x v
Ta có hệ phương trình: u +v = v2 – u2
(u + v)(u – v +1) =
Tìm u, v Tìm x
Tổng quát:
) (x
f g(x) = (f(x) g(x))
VD6:
1 2
x +
x
x = 2
x
x + x x2
ĐK: Đặt:
u = 2
x
v = x x
w = 2 x x
t = x x2
(7) u v w t t w v u
2
2
uu vv ww tt
u+v =
uv wt
Tìm x
Tổng quát phương trình dạng: )
(x
f - g(x) = h(x) - k(x) Trong : f(x) – g(x) = (h(x) – k(x))
Phương trinh lượng giác hóa:
VD1: Giải phương trình
2
1
1 x = x(1+2 1 x2 )
ĐK: x 1
Đặt x = sint , t ] , [
Phương trình trở thành:
t cos
1 = sint(1+ 2cost) Tìm t
Tìm x
VD2: Giải phương trình:
x x
1
+ xx
1
+ 4x = ĐK: -1 x
Đặt x = cos2t , t ] , [
Phương trình trở thành:
t t
2 cos
2 cos
+ 11 coscos22tt
+ 4cos2t =
Tìm t Tìm x
Tổng quát: Phương trình chứa a x2
Đặt x = asint , t ] , [
Hoặc x = acost , t[0,]
Phương trình chứa a x2
Đặt x = a tant , t )
2 , (
Hoặc x = a cott , t(0,) Phương trình chứa aa xx
aa xx
(8)