Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trìn[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Thầy Giáo: Vũ Hoàng Sơn I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp x D (*) Dạng : Phương trình A B A B A B Lưu ý: Điều kiện (*) chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp A hay B B Dạng 2: Phương trình A B A B Dạng 3: Phương trình A +) A B C B (chuyển dạng 2) A B AB C +) A B C A B 3 A.B A B C và ta sử dụng phép : A B C ta phương trình : A B 3 A.B.C C b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x x x x Giải: Đk x Bình phương vế không âm phương trình ta được: x 33x 1 x x 2 x 1 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa mãn 3x x x x x x x 12 x x Nhận xét : Nếu phương trình : f x g x h x k x Mà có : f x h x g x k x , thì ta biến đổi phương trình dạng : f x h x k x g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình sau : x3 x x2 x x x3 Giải: Điều kiện : x 1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển nào? Ta có nhận xét : (2) x3 x x x x , từ nhận xét này ta có lời giải sau : x3 x3 x x2 x x x3 x 1 x3 Bình phương vế ta được: x2 x x2 2x x3 x Thử lại : x 3, x l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x g x h x k x Mà có : f x .h x k x .g x thì ta biến đổi f x h x k x g x Lop10.com (2) Bài 1: Giải phương trình: x2 x b) x x c) x x e) x x f) a) g) h) 3 x 2 x 1 x 2x 3x x x i) ( x 3) 10 x x x 12 Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 phương trình luôn đưa dạng tích x x0 A x ta có thể giải phương trình A x chứng minh A x vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm phương trình để ta có thể đánh gía A x vô nghiệm b) Ví dụ x x x x x 1 x x Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : x x x x 2 x v x x x x Ta có thể trục thức vế : 2 x x x x x 1 3x x x 3x Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm phương trình x 12 x x 5 x 12 x x x Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm phương trình , phương trình có thể phân tích dạng x A x , để thực điều đó ta phải nhóm , tách sau : x2 x 12 x x x 12 x2 x x2 x2 x 1 x 3 x 2 x 5 3 x 12 x2 Dễ dàng chứng minh : x 12 Bài Giải phương trình : x x x2 x2 0, x x3 Giải :Đk x Nhận thấy x=3 là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình x x x x 31 x 3x x x3 x2 x x3 Ta chứng minh : x 1 x 2 x3 1 x3 x 1 1 2 x 3x x3 Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp Lop10.com (3) Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C , mà : A B C dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau : A B C A B A C C A B , đĩ ta có hệ: A B A B b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x x x x x Giải: Ta thấy : x x x x x x 4 không phải là nghiệm Xét x 4 Trục thức ta có : 2x 2x x 2x x 2 x 2x2 x 2x2 x x x x x x 2 Vậy ta có hệ: 2x x x 2 x x x x x x Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x x x x 3x Ta thấy : 2 x x 1 x x 1 x x , không thỏa mãn điều kiện trên Bài Giải phương trình : Ta có thể chia hai vế cho x và đặt t thì bài toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : x x x 3 x x 3x3 3x 2 x 11x 21 3 x (OLYMPIC 30/4-2007) 10 x x (HSG Toàn Quốc 2002) x x 3x x x x x 2 x 16 x 18 x x 2 x 5 x x 2 x 10 x x 15 x x x2 x 2x 3 Phương trình biến đổi tích Sử dụng đẳng thức u v uv u 1v 1 au bv ab vu u b v a Giải: pt x 1 1 x x x 3x x x 1 x 1 Bài Giải phương trình : Bi Giải phương trình : x Giải: + x , không phải là nghiệm x2 x x2 x Lop10.com (4) + x , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x x 1 x x 2x x 2x x2 4x x x 1 1 x 4x Bài Giải phương trình : x 4 x x3 pt x 2x Giải: Đk: x Chia hai vế cho x : x x 1 x x x3 x3 x3 Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak B k 3x x Bài Giải phương trình : Giải: 3x 3 10 10 x Đk: x đó pt đ cho tương đương : x x x x 3 3 Bài Giải phương trình sau : x x x Giải: Đk: x 3 phương trình tương đương : x x x 3x 9x x 5 97 x 3 x 18 Bài Giải phương trình sau : 3 x x x 3 x x Giải : pttt x 3x x 1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng ta có thể giải phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Nói chung phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f x thường là phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: x Nhận xét x x2 x x2 x x x x 1 x x thì phương trình có dạng: t t t Thay vào tìm x Bài Giải phương trình: x x x Đặt t Giải Lop10.com (5) Điều kiện: x t2 Thay vào ta có phương trình sau: t 10t 25 2 (t 5) t t 22t 8t 27 16 (t 2t 7)(t 2t 11) Đặt t x 5(t 0) thì x Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 1 2; t3,4 Do t nên nhận các gái trị t1 1 2, t3 Từ đó tìm các nghiệm phương trình l: x vaø x Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế phương trình với điều kiện x x Ta được: x ( x 3) ( x 1) , từ đó ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản là ta đặt : y x và đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Bài Giải phương trình sau: x Điều kiện: x Đặt y x 1 x 1( y 0) thì phương trình trở thnh: y y y 10 y y 20 ( với y 5) 21 1 17 (loại), y 2 11 17 Từ đó ta tìm các giá trị x ( y y 4)( y y 5) y Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : x 2004 Giải: đk x x 1 1 x Đặt y x pttt 1 y y y 1002 y x Bài Giải phương trình sau : x x x 3x x Giải: Điều kiện: 1 x Chia hai vế cho x ta nhận được: x x Đặt t x 1 3 x x , ta giải x Bài Giải phương trình : x x4 x2 2x Giải: x không phải là nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: x Đặt t= x 1 x x x 1 , Ta có : t t t x x Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Lop10.com (6) 15 x x x 15 x 11 x x 11 31 ( x 5)(2 x) x x n (1 x) n x n (1 x) (1 x)(2 x) x x x (2004 x )(1 x ) x 17 x x 17 x ( x x 2)( x x 18) 168 x 3x x x 3x x x2 x2 Nhận xét : cách đặt ẩn phụ trên chúng ta giải lớp bài đơn giản, đôi phương trình t lại quá khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u uv v (1) cách u u Xét v phương trình trở thành : v v v thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A x bB x c A x .B x u v mu nv Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) các biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng này a) Phương trình dạng : a A x bB x c A x .B x P x A x .B x Q x aA x bB x Như phương trình Q x P x có thể giải phương pháp trên Xuất phát từ đẳng thức : x x 1x x 1 x x x x 1 x x x 1x x 1 x4 x2 2x x2 2x x 2 x x 12 x x 1 Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: x 2 x x Để có phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at bt c giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : x x Giải: Đặt u x 1, v x x u 2v Phương trình trở thành : u v 5uv u v Bài Giải phương trình : x x x x2 2 Tìm được: x 37 Bài 3: giải phương trình sau : x x x Giải: Lop10.com (7) Đk: x x 1x x 1 Nhận xt : Ta viết x 1 x x Đồng thức ta được: x 1 x x x 1x x 1 v 9u Đặt u x , v x x , ta được: 3u 2v uv v u Ta : x Bài Giải phương trình : x x x 6x Giải: Nhận xét : Đặt y x ta hãy biến pt trên phương trình bậc x và y : x y x x y x x xy y x 2 y Pt có nghiệm : x 2, x 22 b).Phương trình dạng : u v mu nv Phương trình cho dạng này thường khó “phát “ dạng trên , nhưg ta bình phương hai vế thì đưa dạng trên Bài giải phương trình : x x Giải: x4 x2 u x Ta đặt : đó phương trình trở thành : u 3v u v 2 v x Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk x x x x 3x x 1 Bình phương vế ta có : x x 2 x 1 x x x 2 x 1 x x 2 x 1 1 u v u x x 2 Ta có thể đặt : đó ta có hệ : uv u v v x 1 v u 1 1 Do u , v u v x2 2x 2 x 1 2 Bài giải phương trình : Giải: x 14 x x x 20 x Đk x Chuyển vế bình phương ta được: x x x x 20 x 1 Nhận xét : không tồn số , để : x x x x 20 x 1 ta không thể đặt u x x 20 v x Nhưng may mắn ta có : x x 20 x 1 x x x 1 x x x Lop10.com (8) Ta viết lại phương trình: x x x ( x x 5)( x 4) Đến đây bài toán giải Các em hãy tự sáng tạo cho mình phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ phương trình tích x 1 1 x x x x 2 x 1 x , Khai triển và rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ đó chúng ta tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải thể qua các ví dụ sau Bài Giải phương trình : x x x x Giải: t t x , ta có : t 2 x t x t x Bài Giải phương trình : x 1 x x x Giải: Đặt : t Khi đó phương trình trở thnh : x 1t x x x 1t x x 3, t Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có chẵn : t x x x 1t x 1 t x 1t x 1 t x Từ phương trình đơn giản : 1 x 1 x x x , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x x x x Giải: Nhận xét : đặt t x , pttt: x x 2t t x (1) Ta rút x t thay vào thì pt: 3t x t x Nhưng không có may mắn để giải phương trình theo t x bình phương Muốn đạt mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 48 x không có dạng 1 x , 1 x 2 Cụ thể sau : x 1 x 1 x thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x x x 16 Giải Bình phương vế phương trình: 2 x 16 x 16 2 x x 16 4 x 9 2 x Ta đặt : t x Ta được: x 16t 32 x Ta phải tách x 2 8 làm cho t có dạng chính phương Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự thì đạt mục đích Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo phương trình vô tỉ mà giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ các ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức a b c a b3 c a b b c c a , Ta có Lop10.com (9) a b3 c a b c a b a c b c Từ nhận xét này ta có thể tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x x2 x x2 8x 3x x x x Bài Giải phương trình : x x x x x x x u x u v u w 2 u uv vw wu Giải : v x , ta có : 3 v uv vw wu u v v w , giải hệ ta được: 5 w2 uv vw wu v w u w w x 30 239 u x 60 120 Bài Giải phương trình sau : x a b Giải Ta đặt : c d x 3x x x x x 2x2 a b c d x 3x , đó ta có : 2 2 a b c d 2x2 2x x 2 x2 x Bài Giải các phương trình sau 1) 4x2 5x x2 x 9x 2) x x 1 x 1 x x x x 1 x Đặt ẩn phụ đưa hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường Đặt u x , v x và tìm mối quan hệ x và x từ đó tìm hệ theo u,v Bài Giải phương trình: x 25 x3 x 25 x3 30 Đặt y 35 x3 x3 y 35 xy ( x y ) 30 , giải hệ này ta tìm 3 x y 35 ( x; y ) (2;3) (3; 2) Tức là nghiệm phương trình là x {2;3} Bài Giải phương trình: 1 x x Điều kiện: x x u Đặt 0u 1,0 v x v Khi đó phương trình chuyển hệ phương trình sau: u v Ta đưa hệ phương trình sau: u v u v v v Lop10.com (10) Giải phương trình thứ 2: (v 1) v , từ đó tìm v thay vào tìm nghiệm phương trình 2 2 Bài Giải phương trình sau: x Điều kiện: x Đặt a x 1 x 1, b x 1(a 0, b 0) thì ta đưa hệ phương trình sau: a b (a b)(a b 1) a b a b b a 11 17 Vậy x x x x x 2x 2x Bài Giải phương trình: 5 x 5 x Giải Điều kiện: 5 x Đặt u x , v y u , v 10 (u v) 10 2uv u v 10 Khi đó ta hệ phương trình: 4 2 8 2(u z ) (u v) 1 u v uv 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy tìm nguồn gốc bài toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II x 12 y (1) Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản y x (2) Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt y f x cho (2) luôn đúng , y x , đó ta có phương trình : x 1 ( x 1) x x x2 Vậy để giải phương trình : x x x ta đặt lại trên và đưa hệ x 2 ay b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : , ta xây dựng phương trình dạng sau y ax b a ax b b : đặt y ax b , đó ta có phương trình : x Tương tự cho bậc cao : x n a n ax b b Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : x p n a ' x b ' v đặt n y n ax b để đưa hệ , chú ý dấu ??? Việc chọn ; thông thường chúng ta cần viết dạng : x p n a ' x b ' là chọn n Bài Điều kiện: x Giải phương trình: x x 2 x 1 Lop10.com 10 (11) Ta có phương trình viết lại là: ( x 1) 2 x x x 2( y 1) Đặt y x thì ta đưa hệ sau: y y 2( x 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x y )( x y ) Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x Bài Giải phương trình: x x x Giải Điều kiện x Ta biến đổi phương trình sau: x 12 x x (2 x 3) x 11 (2 x 3) y Đặt y x ta hệ phương trình sau: (2 y 3) x ( x y )( x y 1) Với x y x x x Với x y y x x Kết luận: Nghiệm phương trình là {1 2; 3} Các em hãy xây dựng sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng (2 x 3) y x Ta xt hệ sau : (1) đây không phải là hệ đối xứng loại chúng ta giải hệ (2 y 3) x , và từ hệ này chúng ta xây dưng bài toán phương trình sau : Bài Giải phương trình: x 13 x x 13 33 Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm phương trình trước : x x 4 13 x thì chúng ta không thu hệ phương trình mà chúng ta có thể giải Đặt y Để thu hệ (1) ta đặt : y x , chọn , cho hệ chúng ta có thể giải , (đối xứng gần đối xứng ) y 2 x y 2 y x (1) (*) Ta có hệ : x 13 x y (2) x 13 x y Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn chúng ta là có nghiệm x y 2 2 Nên ta phải có : , ta chọn 2; 13 Ta có lời giải sau : 3 x (2 y 3), ( y ) 2 (2 x 3) y x Ta có hệ phương trình sau: ( x y )(2 x y 5) (2 y 3) x 15 97 Với x y x Điều kiện: x , Đặt Lop10.com 11 (12) Với x y x 11 73 15 97 11 73 ; 8 Kết luận: tập nghiệm phương trình là: Chú ý : đã làm quen, chúng ta có thể tìm ; cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình sau: (2 x 3) x x đó đặt x 2 y , đặt y x thì chúng ta không thu hệ mong muốn , ta thấy dấu cùng dấu với dấu trước Một cách tổng quát f ( x) A.x B y m f ( y ) A '.x m ' (1) để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, (2) Xét hệ: Nếu từ (2) tìm hàm ngược y g x thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm và hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải các phương trình sau 1) x 13 x x x x3 x 15 30 x x 2004 30060 x 5) 6) x x 36 x 53 25 4) 2) x 13 x x 3) 81x x x x2 Giải (3): Phương trình : 27 81x 27 x 54 x 36 x 54 27 81x 3 x 46 Ta đặt : y 81x Các em hãy xây dựng phương trình dạng này ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : Từ đánh giá bình phương : A2 B , ta xây dựng phương trình dạng A2 B Từ phương trình 5x x x x ta khai triển có phương trình : x 12 x x x x Dùng bất đẳng thức A m dấu ỏ (1) và (2) cùng dạt B m Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: x0 thì x0 là nghiệm phương trình A B Ta có : x x Dấu và x và Vậy ta có phương trình: 2008 x 2008 x x 1 , dấu và x=0 x 1 1 x x 1 Lop10.com 12 (13) A f x A f x đó : A B B f ( x) B f x Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng : Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá 2 x x9 x 1 Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk x 2 Ta có : 2 x 2 x 1 x x x x x 1 Dấu 2 x 1 1 x x 1 Bài Giải phương trình : 13 x x x x 16 Giải: Đk: 1 x Biến đổi pt ta có : x 13 x x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 13 13 x 3 x 256 13 27 13 13x 3x 40 16 10 x 2 2 2 x2 x 16 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16 10 x 64 Dấu x 2 10 x 16 10 x x Bài giải phương trình: x x x 40 x 3` Ta chứng minh : 4 x x 13 và x x x 40 x 3 x 3 x 13 Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau 2x 2x 2x 2x x 1 x x 1 x 16 x x x x 3` x x 40 4 x 2x 2x x 64 x x x 28 1 x2 x x x 2x4 4 x4 x4 Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x1 ; y1 , v x2 ; y2 đó ta có uv u v x1 x2 y1 y2 2 x12 y12 x22 y22 Dấu xẩy và hai véc tơ u , v cùng hướng Lop10.com x1 y1 k , chú ý tỉ số phải dương x2 y2 13 (14) u.v u v cos u v , dấu xẩy và cos u v 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác Nếu tam giác ABC là tam giác , thì với điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có MA MB MC OA OB OC với O là tâm đường tròn Dấu xẩy và M O Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC cùng góc 1200 Bài tập 1x 1) 2x2 2x 2x2 2) x x x 10 x 50 2x2 1x Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau x3 1 x x x x3 x x x 2x2 x x 30 2007 30 x 2007 30 2007 12 x 2x 2 x x 16 x 1 x 1 x 3 x x 2x x 3x x x x x x 3 x 3 x x2 3 1 x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 3x 4 x 1 x 3x3 3x 2 x 11x 21 3 x x x 3x x x x x x x x3 x x 3x x x 2 x x 3x 2x2 x x 12 x 36 x2 x 2x 3 ( x x 2)( x x 18) 168 x 2 x 5 x x 2 x 10 x x 16 x 18 x x 3x 3x x2 x 3x 12 x x x x (2004 x )(1 x ) 2008 x x 2007 x 10 x x 2 2 x 16 4 x 16 2 x x 16 2x x3 x3 x x 1 1 1 x x x x x 14 x x x 20 x x x3 x 15 30 x x 2004 30060 x 4x x2 x 28 x x 10 x x 10 3x x Lop10.com xx 14 (15)