SỰ TƯƠNG GIAO của đồ THỊ hàm số PHẠM MINH TUẤN

Contents CHỦ ĐỀ 2: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA B ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: (THPT Chun Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho hàm số đa thức bậc ba y  f  x  có đồ thị qua điểm A  2;  , B  3;  , C  4;16  Các đường thẳng AB , AC , BC lại cắt đồ thị tại điểm D , E , F ( D khác A B , E khác A C , F khác B C ) Biết tổng hoành độ D , E , F 24 Tính f   A 2 B C 24 D HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử f  x   a  x   x   x    x  a   Ta có AB qua A  2;  nhận AB  1;  VTCP  AB :  x     y     y  5x  Tương tự AC : y  x  BC : y  x  12 Hoành độ điểm D nghiệm phương trình a  x   x   x    x  5x   a  x   x   x      x   x    a  x    1  x    a a a Tương tự, hoành độ điểm E F x    x                Bài ta có                24  a   a a a PMT Do f    a  2   3   4    24 Ví dụ 2: (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa) Biết đồ thị hàm số y  f ( x)  ax4  bx3  cx2  dx  e ,  a , b, c , d , e  ; a  0, b   cắt trục hoành Ox điểm phân biệt Khi đồ thị hàm số      y  g( x)  4ax3  3bx2  2cx  d  6ax2  3bx  c ax4  bx3  cx2  dx  e cắt trục hoành Ox điểm? B A D C HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có g  x    f   x    f   x  f  x  Đồ thị hàm số y  f ( x)  ax4  bx3  cx2  dx  e cắt trục hoành bốn điểm phân biệt bên phương trình f  x    a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x4  , với xi , i  1,2,3,4 nghiệm Suy f   x   a  x  x2  x  x3  x  x4    x  x1  x  x3  x  x4    x  x1  x  x2  x  x4    x  x1  x  x2  x  x     f  x f  x   f   x    1 1 1 1           f  x    x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 x  x1 x  x2 x  x3 x  x4    f   x  f  x   f   x  f  x       2  2  2  2              x  x1   x  x2   x  x3   x  x4     Nếu x  xi với i  1,2,3,4 f  x   , f   x    f   x  f  x    f   x   Nếu x  xi  i  1,2,3,4  x  x  0, f  x   Suy   f   x  f  x   f   x   i      f   x  f  x   f   x  Vậy phương trình f   x   f   x  f  x   vô nghiệm hay phương 2 trình g  x   vơ nghiệm Do đó, số giao điểm đồ thị hàm số trục hoành   Ví dụ 3: (SGD - Bắc Ninh) Cho hàm số f  x   x  x  x Đặt f k  x   f f k 1  x  (với k số tự nhiên lớn ) Tính số nghiệm phương trình f  x   A 729 B 365 C 730 t  D 364 HƯỚNG DẪN GIẢI PMT Ta có đồ thị hàm số f  x   x  x  x Ta xét phương trình f  x   m + Với m  phương trình có hai nghiệm phân biệt x  x  + Với m   0;  phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3   0;   f  x   m1  - Xét m   0;  , phương trình f  x   m   f  x   m2 với m1 , m2 , m3   0;    f  x   m3 Mỗi phương trình có nghiệm phân biệt nên phương trình f  x   m có 32  nghiệm phân biệt Chứng minh quy nạp ta có: Phương trình f k  x   m với m   0;  có 3k nghiệm phân biệt  f  x  Ta có f  x    f f  x      f  x     + f  x   có 35  243 nghiệm  f  x  + f  x     f  x   + Phương trình f  x   có 34 nghiệm … PMT + Phương trình f  x   có nghiệm Vậy số nghiệm phương trình f  x   35  34      36    365 31 nghiệm Tổng quát: Giả sử: a k số nghiệm phương trình f k  x   , bk số nghiệm phương trình f k  x   Với c   0;  , ta có: f  x   c có nghiệm thuộc  0;   bk  3bk 1  bn  3n ( b1  ) Ta có:  f k 1  x   x  k f  x     f  x     k 1  f  x   x   ak  ak 1  bk 1  a1  b1  b2   bk 1  3k  Ví dụ 4: [THPT THÁI PHIÊN] Cho hàm số f  x   x  x  1 x   x   x   x   x   x   Hỏi đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành tất điểm phân biệt? B A C D HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có f  x   có nghiệm: 0;1; 2; 3; 4; 5;6;7 Áp dụng định lý Lagrange đoạn: 0;1 ; 1;  ;  2;  ;  3;  ; 4;  ;  5;  ; 6;7  Chẳng hạn xét đoạn  0;1 tồn x1 cho: f   x1   f 1  f   1  f   x1   f  1  f    Suy x  x1 nghiệm phương trình f   x   Làm tương tự khoảng lại ta suy f   x   có nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành điểm phân biệt Ví dụ 5: (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA) Cho hàm số y  x4  2mx2  m Tập tất giá trị tham số m khoảng  a; b  để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y  3 bốn điểm phân biệt, có điểm có hồnh độ lớn ba điểm có hồnh độ nhỏ Khi đó, 15ab nhận giá trị sau đây? A 63 B 63 C 95 D 95 PMT HƯỚNG DẪN GIẢI Xét phương trình hồnh độ giao điểm x4  2mx2  m  3 Đặt x2  t , t  Khi phương trình trở thành t  2mt  m   1 đặt f  t   t  2mt  m  Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3 điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm thỏa mãn  t1  t2 hồnh độ bốn giao điểm  t2   t1  t1  t2   t 2 Do đó, từ điều kiện toán suy  hay  t1    t2 t     f 0  m    19  Điều xảy  f  1   3m    3  m    9 m  19    f    Vậy a  3 , b   19 nên 15ab  95 B ĐỀ TỰ LUYỆN TỔNG HỢP ĐỀ SỐ THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (Đồn Trí Dũng - Lần 7) Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c có đồ thị  C  Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện b   a  c    b  1 Khi  C  cắt trục hoành điểm phân biệt? A B C D Câu 2: [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Biết đường thẳng d : y  x  m cắt đường cong  C  : y  2x  hai điểm phân biệt A , B Độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ bao x2 nhiêu? A B C D Câu 3: [TT Hiếu Học Minh Châu - 2017] Số giao điểm hai đồ thị hàm số f  x    m  1 x  2mx   m  1 x  2m , ( m tham số khác  ) g  x    x  x A B C D PMT Câu 4: (Sở Ninh Bình - Lần - 2018) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên x -∞ f'(x) -1 + - +∞ + +∞ 2 f(x) -2 -2 -∞ Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   f  m  có ba nghiệm phân biệt A m   2;  B m  1;  \0; 2 C m  1;  D m   1; 3 \0; 2 Câu 5: (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số y  x2  m   2018  x2   2021 với m tham số thực Gọi S tổng tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt Tính S A 960 B 986 C 984 D 990 x2  x  có đồ thị  C  Gọi A , B hai điểm x 1 phân biệt đồ thị  C  có hồnh độ x1 , x2 thỏa x1   x2 Giá trị nhỏ AB là: Câu 6: [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hàm số y  A 8 B 12 C  Câu 7: [THPT Chuyên Biên Hòa] Cho hàm số f  x   x3  3x  x   f f  x   có nghiệm thực phân biệt ? D Phương trình 2 f  x  A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 8: [CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH] Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d có bảng biến thiên sau: PMT Khi f  x   m có bốn nghiệm phân biệt x1  x2  x3  A  m1 B  m1  x4 D  m  C  m  Câu 9: (THPT Chuyên Hùng Vương) Có giá trị nguyên tham số m để đường    thẳng y  m  x   cắt đồ thị hàm số y  x  x  bốn điểm phân biệt? A B D C Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long) Cho hàm số f  x   x  3x Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g  x   f  x   m cắt trục hoành điểm phân biệt ? A B D C Câu 11: [THPT Thuận Thành 3] Tìm giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  x   4m   x  4m  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 ) lập thành cấp số cộng A m  0, m  B m  3 C m  D m  Câu 12: Tìm m để đường thẳng d : y  1 cắt đồ thị (C) hàm số y  x   3m   x  3m bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ A m     m  B  m      m  C  m   D  m  PMT Câu 13: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc) Cho đồ thị  Cm  : y  x  x    m  x  m Tất giá trị tham số m để  Cm  cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa x12  x22  x33  A m  B m  C m  D m   m  Câu 14: (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh) Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3x2  cắt đường thẳng d : y  m  x  1 ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  B m  2 A m  3 D m  2 C m  3 Câu 15: (THPT Sơn Tây - Hà Nội) Cho hàm số y  x3  mx2  x  m  Cm  Hỏi có tất giá trị m để đồ thị hàm số  Cm  cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng B A D C HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN 1-D 11-C 2-B 12-C 3-C 13-A 4-B 14-D 5-C 15-B 6-A 7-D 8-A 9-B 10-A CÂU 1: LỜI GIẢI  a  b  c    f  1  Ta có: b   a  c    b  1   Mặt khác hàm số cho liên tục  f    a  b  c     đồng thời lim y  ; lim y   theo nguyên lý hàm số liên tục, tồn giao x  x  điểm đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx  c với trục hoành khoảng:  ; 1 ;  1;1 ; 1;   Vậy có giao điểm CÂU 2: LỜI GIẢI PT HĐGĐ: 2x    x  m  x    m  x   2m   x2 PMT Do d cắt  C  hai điểm phân biệt nên    ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi A  x1 ;  x1  m  B  x2 ;  x2  m  Ta có AB   x2  x1     x2  x1  2 2   x2  x1    x2  x1   x1 x2     x1  x2  m   x1.x2   2m Theo định lý Vi – et ta có  Do AB   m    1  2m    2m2  24    Vậy ABmin   m  CÂU 3: LỜI GIẢI Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số      x  x   m  1 x  2mx   m  1 x  2m   x x   2m x  x  x   x  x           x x   2m x   x  1  x x   x   x   m  1 x  2m    x   (1)   g  x   x   m  1 x  2m (2)    m2   0, m   PT (2) ln có nghiệm phân biệt  1 Xét (2) có:  g  1  1  0, m   g 1  4m   0, m    Vậy PT cho có nghiệm phân biệt CÂU 4: LỜI GIẢI f  x   ax  bx  cx  d c  x   f   x   3ax  2bx  c , f   x   có hai nghiệm  12 a  4b   3a  b   1 x   d   f 0   8a  4b  4  a  b  1    Lại có:  8 a  4b   2   f    2 PMT  b  3  f  x   x  3x  Từ 1   suy  a  Để phương trình f  x   f  m  có ba nghiệm phân biệt  2  f  m   m2  m    m3  3m2    2  m  3m     2 m  3m    m  1 m    m   m   m   1;  \0; 2  m    m  1  CÂU 5: LỜI GIẢI Đặt 2018  x2  t;0  t  2018 Khi y  x2  m   2018  x2   2021  t  m  t  1   t  mt  m   *  ; Theo đề bài, để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt phương trình  *  cần có nghiệm dương thỏa mãn  t  2018 TH1:  *  có nghiệm kép   m2  4m  12    m2  4m  12    m  1 TH2:  *  có nghiệm trái dấu  m3 P 0  1  *  có nghiệm dương khoảng  t  2018 nên ta xét GTLN m với  t  2018 y   t  mt  m    m  Xét hàm y  t2  t  0; 2018    t 1  x  3 x2  x  x2  0   , x  0; 2018  , ta có y    x1  x1  x  1 Lập BBT ta có PMT 10  x1  2,169  x  0,114 Giải phương trình MTBT ta nghiệm   x3  2,45   x4  4,94 Các nghiệm lưu chính xác nhớ MTBT Bảng biến thiên: Từ BBT m   m  2; 1; 0;1; 2 CÂU 10: LỜI GIẢI Tập xác định D  x  f  x   x  3x  f   x   3x  x    x  Ta có bảng biến thiên   BBT thiếu giá trị f  x x  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  m   4  m  , m   m  3;  2; 1 Vậy có giá trị m thỏa mãn CÂU 11: LỜI GIẢI Đặt t  x  t   PMT 13 Đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt phương trình t   4m   t  4m   có nghiệm dươngb   '   4m2   m  Mặt khác x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng nên x1  3x2 t  t  m   4m    9 Suy t1  9t2 Theo vi ét lại ta có    4m   m  t1 t2  m   10  CÂU 12: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm x   3m   x  3m   Đặt u  x  u   , ta f  u   u2   3m   u  3m   1 ,   9m2 Cách 1: Để đường thẳng d cắt đồ thị  C  bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa  u1  u2  m     9 m   m     a f    m        m   a f        9 m   m  m   u1  u2  0  m     0     m   Cách 2: Phương trình (1) có hai nghiệm u1  1; u  3m  suy đường thẳng d cắt đồ thị  C  bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (1) có nghiệm phân biệt    m   u2     m   CÂU 13: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành:   x  x    m  x  m    x  1 x  x  m    C  m cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình 1 có nghiệm phân biệt  x  1  x x  xm 0    x  x  m   2 PMT 14 Phương trình 1 có nghiệm phân biệt phương trình   có nghiệm khác m    1   m   hay   m      4m    x  x2  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt x1 , x2 ,  , x3   x12  x22  x32   x1 x2   m  x12  x22    x1  x2   x1 x2   12   m    m   tm  CÂU 14: LỜI GIẢI PT hoành độ giao điểm: x  3x   m  x  1 x    x  1 x2  x   m    12  x  x   m  (1)   Cần có hai nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1  thỏa mãn  x22  x32     m   m      1    m   3  m   m  2 1  S2  P  1    2m    CÂU 15: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  Ox : x3  mx2  x  m   x  m   x  m  x2      x  1   Để  Cm  cắt trục Ox ba điểm phân biệt m  1 TH1:  m , 1 , lập thành CSC m   2  m  TH2: 1 ,  m , lập thành CSC 1   2m  m  TH3: 1 , ,  m lập thành CSC m    m  3 Thử lại thấy có giá trị m thỏa yêu cầu toán ĐỀ SỐ THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT Câu 1: (SỞ THANH HÓA) Cho đồ thị hàm số f  x   x  bx  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức P  1   f   x1  f   x2  f   x3  PMT 15 1 B P  C P  b  c  d D P   2b  c  2b c Câu 2: (Lương Văn Chánh - Phú Yên) Cho hàm số y  f  x   2018 x3  3.22018 x2  2018 có đồ thị A P  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức: P 1   f   x1  f   x2  f   x3  A P  3.22018  B P  2018 D P  2018 C P  Câu 3: (THPT Chuyên Hạ Long) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  có hai điểm cực trị A B cho điểm A , B M  1;   thẳng hàng A m  B m   C m  D m   ; m  Câu 4: [TTGDTX Vạn Ninh] Tìm m để đồ thị (C): y  x3  3x2  đường thẳng y  mx  m cắt đểm phân biệt A  1;  , B , C cho tam giac OBC có diện tích A m  B m  D m  C m  Câu 5: [THPT Hai Bà Trưng- Huế] Đường thẳng d : y  x  cắt đồ thị hàm số y  x  2mx   m   x  điểm phân biệt A  0;  , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M 1;  Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán A m  B m  2 m  3 C m  2 m  D m  m  Câu 6: [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Biết đường thẳng y   3m  1 x  m  cắt đồ thị hàm số y  x3  3x2  ba điểm phân biệt cho giao điểm cách hai giao điểm lại Khi m thuộc khoảng đây? 3  A  ;  2  B  1;   3 C  1;   2 D  0;1 Câu 7: [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Cho hàm số y  x3  2mx2  (m  3)x  có đồ thị  Cm  điểm I  1;  Tìm m để đường thẳng d : y  x  cắt  Cm  điểm phân biệt A  0;  , B, C cho tam giác IBC có diện tích A m  B m  C m  D m  PMT 16 Câu 8: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc) Cho hàm số y  x  2mx   m  1 x  có đồ thị  C  Đường thẳng d : y  x  cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A  0;  , B C Với M  3;1 , giá trị tham số m để tam giác MBC có diện tích A m  1 B m  1 m  C m  D Không tồn m Câu 9: (THPT Gia Định - TPHCM) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  mx cắt đồ thị hàm số y  x3  3x2  mx  ba điểm phân biệt A , B , C cho AB  BC A m   ;  B m  ;   C m  ; 1 D m  1;   Câu 10: [HAI BÀ TRƯNG – HUẾ] Đường thẳng d : y  x  cắt đồ thị hàm số y  x  2mx   m   x  điểm phân biệt A  0;  , B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M 1;  Tìm tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán B m  2 m  D m  2 m  3 A m  m  C m  Câu 11: [THPT Chuyên LHP] Có tất giá trị thực tham số m thỏa mãn phần hình phẳng hữu hạn giới hạn đồ thị y  x3  3mx2  4x  m2  trục hoành bao gồm hai miền: miền nằm trục hoành miền nằm trục hồnh có diện tích A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN 1-B 11-B 2-C 12- 3-D 13- 4-C 14- 5-A 15- 6-B 7-C 8-B 9-A 10-C CÂU 1: LỜI GIẢI Do đồ thị hàm số f  x   x  bx  cx  d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 nên f  x    x  x1  x  x2  x  x3   f   x    x  x2  x  x3    x  x1  x  x3    x  x1  x  x2  1 1 1      Ta có P  f   x1  f   x2  f   x3   x1  x2  x1  x3   x2  x1  x2  x3   x3  x1  x3  x2  PMT 17  x  x   x  x  x  x 3  x1    x1  x2   x3  x3  x1   Vậy P  CÂU 2: LỜI GIẢI   Ta có f   x   3.2 2018 x  x Do đồ thị hàm số y  f  x   2018 x3  3.22018 x2  2018 cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh   x1  x2  x3  3  độ x1 , x2 , x3 nên theo định lý vi-et ta có:  x1 x2  x2 x3  x3 x1  (1)  2018  x1 x1 x3  2018   Ta có f   x1  f   x2   3.22018   x x     x x     x x  f   x2  f   x3   3.2 2018 f   x1  f   x3   3.22018 2 2  x2 x3  x2  x3   x2 x    x1 x3  x1  x3   x1 x3    x1 x2  x1  x2   x1 x2    f   x1  f   x2   f   x2  f   x3   f   x3  f   x1    3.22018   x x 2  x2 x3  x3 x2    x1 x2  x2 x3  x3 x1   (2)  Thay (1) vào (2) ta có f   x1  f   x2   f   x2  f   x3   f   x3  f   x1   (3) Mặt khác P  f   x1  f   x2   f   x2  f   x3   f   x3  f   x1  1    (4) f   x1  f   x2  f   x2  f   x1  f   x2  f   x3  Thay (3) vào (4) ta có P  CÂU 3: LỜI GIẢI Ta có: y  3x2  6mx ; y   3x2  6mx   x  , x  m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y  có hai nghiệm phân biệt  2m   m    Khi hai điểm cực trị A  0;  , B 2m;  4m3   Ta có MA   1;  , MB  m  1;  m3 Ba điểm A , B M  1;   thẳng hàng  MA , MB phương  2m   4m3 2m  1  m3   2m   m3   m3  2m   1 1 PMT 18  m2   m   (do m  ) CÂU 4: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm là:   x  3x   mx  m  x  3x  mx  m     x  1 x  x  m   x    x  1    x  4x  m    x  x  m   0(*) Để đồ thị (C ) đường thẳng y  mx  m cắt điểm phân biệt (*) phải có nghiệm     m    m   phân biệt khác 1   1   m   m  m  Khi  đường thẳng y  mx  m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt: m        BC   A  1;  ; B  m ; 3m  m m ; C  m ; 3m  m m Ta có: BC  2 m ; 2m m Đường thẳng BC : x2 m 2 m Khoảng cách: d O; BC    y  3m  m m m m2    m3  m  m m  2m m  mx  y  m  m Diện tích OBC 8, suy ra: S   m m2  8 m2     m m   m3  64  m  CÂU 5: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm d đồ thị  C  : x  2mx   m   x   x   x  mx   m   x      x   x  mx  m    1 Với x  0, ta có giao điểm A  0;  PMT 19 d cắt  C  điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác     m    (*)   m  m   Ta gọi giao điểm d  C  A , B  xB ; xB   , C  xC ; xC   với xB , xC nghiệm phương trình (1)  x  xC Theo định lí Viet, ta có:  B  xB xC  2 m m2 Ta có diện tích tam giác MBC S   BC  d  M , BC   Phương trình d viết lại là: d : y  x   x  y   Mà d  M , BC   d  M , d   Do đó: BC  1    1 2  8   BC  32 d  M , BC  Ta lại có: BC   xC  xB    yC  yB    xC  xB   32 2   xB  xC   xB xC  16   2 m    m    16 2  4m2  4m  24   m   m  2 Đối chiếu với điều kiện, loại giá trị m  2 CÂU 6: LỜI GIẢI Yêu cầu toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x  3x    3m  1 x  6m   x  3x   3m  1 x  6m   Giả sử phương trình x  3x   3m  1 x  6m   có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x2  x1  x3 (1) PMT 20 Mặt khác theo viet ta có x1  x2  x3  (2) Từ (1) (2) suy x2  Tức x  nghiệm phương trình Thay x  vào phương trình ta m   Thử lại m   thỏa mãn đề CÂU 7: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  d : x  2mx   m   x   x  1 x   x( x2 2mx  m  2)     x  2mx  m   ( 2) 1 có nghiệm phân biệt    có nghiệm phân biệt khác   m  1      m  m     m    m   m  2  *   x  xC  2m Khi xB , xC nghiệm (2) nên  B ( Định lí Vi-et)  xB xC  m  SIBC   d  I ; d  BC   ( xB  xC )2    xB  xC   xB xC  16   m  2  m2  m –    Kết hợp ĐK (*) ta m  Vậy chọn A m  CÂU 8: LỜI GIẢI Hoành độ giao điểm  C  d nghiệm phương trình   x  2mx   m  1 x    x   x  2mx   3m   x   x x  2mx  3m   x     x  mx  3m     Để  C  cắt d ba điểm phân biệt    có hai nghiệm phân biệt khác PMT 21  m  3m   m       m  m  3m   m     m  Giả sử toạ độ giao điểm A  0;  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  với xB ; xC nghiệm   x  xC  2 m  y   xB  Khi đó, ta có  B  B  yC   xC   xB xC  3m  2 Suy BC   xB  xC    xB  xC   4xB xC   4m2   3m     Mà d  M ; d   1 12  12  1 Ta có SMBC  d  M ; d  BC  2  4m2   3m     4m2   3m    24 2  m  1  m2  3m     m  CÂU 9: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm mx  x3  3x2  mx    x  1  x  x  m    Hai đồ thị hàm số cắt ba điểm phân biệt  x  1  x x   2x  m      x  x  m    2 có ba nghiệm phân biệt    m   m3  x  x  m     có hai nghiệm phân biệt khác   1   m   Ta có AB  BC  B trung điểm AC Mà phương trình   ln có S   2.1 , nghĩa ln có xA  xC  xB hay B trung điểm AC với m  Vậy m  Chú ý: Ngồi cách ta giải sau Ta có y  x3  3x2  mx   y  3x2  6x  m  y  6x  y   xu   yu  m YCBT  xu  d : y  mx  m  m m  So điều kiện ta m  ;  PMT 22 CÂU 10: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm d đồ thị  C  : x  2mx   m   x   x   x  mx   m   x      x   x  mx  m    1 Với x  0, ta có giao điểm A  0;  d cắt  C  điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác     m    (*)   m  m   Ta gọi giao điểm d  C  A , B  xB ; xB   , C  xC ; xC   với xB , xC nghiệm phương trình (1)  x  xC  Theo định lí Viet, ta có:  B   xB xC  2 m m2 Ta có diện tích tam giác MBC S   BC  d  M , BC   Phương trình d viết lại là: d : y  x   x  y   Mà d  M , BC   d  M , d   Do đó: BC  1    1  2 8   BC  32 d  M , BC  Ta lại có: BC   xC  xB    yC  yB    xC  xB   32 2   xB  xC   xB xC  16   2 m    m    16 2  4m2  4m  24   m  3; m  2 Đối chiếu với điều kiện, loại giá trị m  2 CÂU 11: LỜI GIẢI y  3x2  6mx  có   9m2   0, m  R Suy đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị PMT 23 y  6x  6m, y   x  m  Điểm uốn I  m; 2 m3  m2  m  1 tâm đối xứng đồ thị Để phần hình phẳng hữu hạn giới hạn đồ thị y  x3  3mx2  4x  m2  trục hồnh có diện tích điểm I phải thuộc trục hoành Hay: 2m3  m2  4m   (*) Xét hàm số f (m)  2m3  m2  4m  có f (m)  6m2  2m   0, m  R Khi phương trình (*) có nghiệm ĐỀ SỐ THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT 2x  Tìm hai nhánh đồ thị  C  , điểm M , N cho x 1 tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang  7  1 A M  2;  , N  0; 1 B M  3;  , N  1;  2  2  Câu 1: Cho hàm số y   1 C M  2;  , N  1;  D Với M , N   Câu 2: Gọi  Cm  đồ thị hàm số y  x   m  1 x  3m  , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến  Cm  giao điểm có hồnh độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 A m  B m  C m  D m  3 Câu 3: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y  x3  mx  m  điểm M có hồnh độ x  1 cắt đường tròn  C  có phương trình  x     y    theo dây cung có độ dài nhỏ A m  B m  C m  D m  Câu 4: [Sở Tiền Giang] Xét đồ thị  C  hàm số y  x3  3ax  b với a , b số thực Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc  C  cho tiếp tuyến với  C  hai điểm có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN , giá trị nhỏ a2  b2 bằng: A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ PMT 24 ĐÁP ÁN 1-D 11- 2-C 12- 3-D 13- 4-C 14- 515- 6- 7- 8- 9- 10- CÂU 1: LỜI GIẢI Gọi M( m; yM ), N(n; yN ) điểm thuộc nhánh  C  Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A , B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C , D Phương trình tiếp tuyến M có dạng: y  y( m).( x  m)  y M  2m    A  1;  , B(2 m  1; 2)  m1   2n   Tương tự: C  1;  , D(2n  1; 2)  n1  Hai đường thẳng AD BC có hệ số góc: k  3 nên AD // BC ( m  1)(n  1) Vậy điểm M , N thuộc nhánh  C  thoả mãn tốn CÂU 2: LỜI GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm  trục hoành x   m  1 x  3m  (1) Đặt t  x2 , t  Phương trình (1) trở thành : t   m  1 t  3m   (2) C  m cắt trục Ox bốn điểm phân biệt  Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln có hai nghiệm t  1, t  3m  với m m  (giả thiết) nên ta có  3m  , suy với tham số m  , Cm  cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm có hồnh độ lớn hồnh độ A xA  3m  Gọi f  x   x   m  1 x  3m  , phương trình tiếp tuyến d  Cm  A y  f '  x A  x  x A   f  x A    x A3   m  1 x A   x  x A  ( f ( x A )  )    m   m    m  1 m    x  m         6m   3m  x  3m     Gọi B giao điểm tiếp tuyến d với trục Oy B ;   6m   3m   Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB (vuông O ) , theo giả thiết ta có : SOAB  24  OA.OB  48  xA yB  48  3m   6m   3m    48 (3) PMT 25  Gọi f  m   3m   6m   3m    3m  18 m  22 m  f ( m)  18m 3m  2    22m    36m  22  3m   với m  2 Suy hàm số f  m  đồng biến  0;   f    24 , phương trình (3) có 3 nghiệm m   0;   CÂU 3: LỜI GIẢI Ta có: y  3x2  m  y(1)   m ; y( 1)  2m   C  có tâm I (2; 3),R  Phương trình đường thẳng d M( 1; m  2) : y  (3  m)x  m   (3  m)x  y  m   d( I , d)  4m (3  m)2    (3  m) (3  m)2   (3  m)2  (3  m)2   2R Dấu "=" xảy  m  Dó d( I , d) đạt lớn  m  Tiếp tuyến d cắt  C  điểm A , B cho AB ngắn  d( I , d) đạt lớn  m  , suy d : y  x  CÂU 4: LỜI GIẢI Ta có y  3x2  3a Tiếp tuyến M N  C  có hệ số góc nên tọa độ M N thỏa mãn hệ 3 x  3a   1 phương trình:  y  x  ax  b    Từ 1  x2   a 1 có hai nghiệm phân biệt nên a  Từ    y  x   a   3ax  b hay y   2a  1 x  b Tọa độ M N thỏa mãn phương trình y   2a  1 x  b nên phương trình đường thẳng MN y   2a  1 x  b hay MN :  2a  1 x  y  b  Khoảng cách từ gốc tọa độ đến MN nên d  O , MN    b  2a  1  1  b  a  a   a  b  5a  a  PMT 26   6 Xét f  a   5a  4a  với a  Ta có: f  a   5a  a    a     5 5  Vậy a2  b2 nhỏ PMT 27 ... nghiệm Do đó, số giao điểm đồ thị hàm số trục hoành   Ví dụ 3: (SGD - Bắc Ninh) Cho hàm số f  x   x  x  x Đặt f k  x   f f k 1  x  (với k số tự nhiên lớn ) Tính số nghiệm phương... tham số m để đường    thẳng y  m  x   cắt đồ thị hàm số y  x  x  bốn điểm phân biệt? A B D C Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long) Cho hàm số f  x   x  3x Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm. ..  1   Mặt khác hàm số cho liên tục  f    a  b  c     đồng thời lim y  ; lim y   theo nguyên lý hàm số liên tục, tồn giao x  x  điểm đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx