MODUN số PHỨC MAX MIN 2019 FULL GIẢI CHI TIẾT THẦY HUY

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY... BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY... Câu 35: THPT CHUYÊN LÀO CAIXét số phức z và số phức liên hợp của nó có điể

Trang 1

BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY

MODUN SỐ PHỨC – BÀI TOÁN MAX – MIN – 2019

TÀI LIỆU NỘI BỘ CÓ CẬP NHẬT

Trang 2

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng, đoạn thẳng, tia

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a b ; 



2 2 0

TQ3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi  z c di r,

 Suy biến raMA MB  AB , quỹ tích là đoạn thẳng AB

 Suy biến MA MB  AB , quỹ tích là tia Bx

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R0zz0 R Tìm z Max, z Min Ta có

 Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm  ;  I a b bán kính R  ; 

Trang 3

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     (Chia cả hai vế cho z ) 0

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zc  zc 2 ,a a c Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

1 2 0

Min

z z

P  z   b

Trang 5

BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm 

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

2 2

2 2 2 2

3; 0 , 0, 38

M m

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức zthỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta luôn có   

 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

2 2

2  2 2 1



y x

Trang 6

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn nhất của w  z 1 i

Ta có z 2 3i  1 z 2 3i  1 z 1 i 3 2i  1 w 3 2  i 1 (Đường tròn tâm I3, 2 ,  R1 )

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi   z a bi  

Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

iz Mệnh đề nào sau

đây đúng?

A. A 1 B. A 1 C. A 1 D. A 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách 1: Đặt Có a a bi a b  , , a2b21 (do z 1)

2 2

12

Trang 7

Thật vậy ta có  

2 2

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax4; Mmin 1 D Mmax4; Mmin 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1

2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng 3

Trang 8

A 26 6 17  B 26 6 17  C 26 8 17  D 26 4 17 

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i Ta có:

y t Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z1 z2 z 1 Tính giá trị của M m

A 13 3

39

13.4

Trang 9

Trang 10

.2



.9



.2



xy

Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt zx iy x y  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được  ,   x2y2 9

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Trong đó w z 2i (quay về dạng bài toán 1)

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x;y   z 1 i x1  y1i Ta có:

  2 2

Trang 11

Trang 12

x 1

z i x y IM, với I2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn

Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ,  zx yi x y R   ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2i1  z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục EF x y:   2 0

Trang 13

Ta có a1 2 1b2 sint3 2 cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4

sin2 cos2  13 6 sin 4 cos

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2  2 2 2 2 

6 sint4 cost  6 4 sin tcos t

Trang 14

6 sin 4 cos 2 52 6 sin 4 cos 52 2 13 14 2 13.

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức ,z w thỏa mãn z 2 2i  z4 ,i wiz 1

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z4 z4 10 Giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

1

25 9 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 và min z OB OB ' 3 Chọn D

Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Biết rằng số phức zx yi ,

Trang 15

Do đó z  x2y2  x24x2  2x28x16 2x2282 2

Dấu " " xảy ra x2y2 Vậy P22228 Chọn B

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1







z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Vậy môđun của A x2y2 1 Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1z2 8 6i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

Trang 17

24



Lời giải Cách 1 Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10   2 i 1 2 i z   2 i 10

Cách 2 Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z

Cách 3 Đặt z a bi a b ,   và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì

1010

Trang 18

Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M , 

Số phức z(4 3 ) i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N N Biết rằng ,  M M N N , , , 

là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i5

A 1

2.5

C 1

.2

.13

Trang 19

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Gọi A2;1, B2;1 Gọi I0;1 là trung điểm AB

Trang 20

Câu 41: Gọi số phức zx yi x y ; ,   thỏa điều kiện z22 z22 26 và z2 5i lớn nhất Tính T x y

Trang 21

Gọi M x y là điểm thuộc  ;   C , khi đó    3  2

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng SM2m2

A S82 B S34 C S68 D S36

Lời giải Chọn C

Trang 22

Gọi A B M là điểm biểu diễn số phức , , z z z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác 1, 2, OAB

vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC , đặt AB c ,  ACb , BCa , khi đó ta có

Áp dụng bài toán trên ta có P36 2, chọn B

Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức

Gọi tọa độ các điểm A B C M trên mặt phẳng phức là , , ,, , , u v w x khi đó  a v w , 

b w u ,  c u v ,  MA x u ,  MB x v ,  MC x w Khi đó bất đẳng thức    tương đương

Trang 23

Trang 24

Vì hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1z2 8 6i và z1z2 2 nên

Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z khi đó từ 2  * suy ra A B,

nằm trên đường tròn  C có tâm I4; 3, bán kính R1 và AB là đường kính của đường tròn

P z  z OA OB   Dấu bằng xảy ra khi OA OB 

Câu 47: Giả sử z z là hai trong số các số phức 1, 2 z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1z2 2 Giá trị lớn nhất của z1  z bằng2

Lời giải Chọn A

x

y 3

Trang 25

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M , N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN2 là đường kính Dựng hình bình hành

OMNP ta có z1z2 OP2 3

1  2 2 1  2

z z z z  z1z22 z1z2216 z1  z2 4 Dấu bằng xảy ra khi z1  z 2 MNOI

Câu 48: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z1  z 3 2i ;    z m i với  m  là tham số Giá trị của m để ta luôn có  2 5 là:

Đặt z a ib a b  , ,   có biểu diễn hình học là điểm M x y ; 

37

Trang 26

Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho zlà số phức thỏa mãn z  1 i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Gọi zx yi x y  ;  ,M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I1; 1 , bán kính 2

Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức z1  2 i z, 2  2 i và số phức

z thay đổi thỏa mãn zz12 zz22 16 Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2 m2 bằng

Trang 27

Ta có zz12 zz2216 x2 y2 2 x   3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y biểu ( , )diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm ( 1, 0) I  và bán kính R 2

Ta có | |z minOMmin, | |z maxOMmax

Ta có zz12 zz2216x2y22x 3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y biểu ( , )

diễn số phức z là đường tròn ( ) C có tâm ( 1, 0) I  và bán kính R 2

Ta có OMmin  OIR, OMmax OIR  zmin 1, zmax 3

Trang 28

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu ,A B

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin d O AB ;  nhưng do góc OAB là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM AB

Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi ,

M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i Khi đó modun  2của số phức w M mi 

Ta có: z 3 4i  5x3 2 y42 5 Suy ra, tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn cho

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm I3; 4 và bán kính R 5

Trang 29

Thay x y vừa tìm được vào , f x  ta được 0, 2P1, 6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 0

Ta giải được P33 hoặc P13 Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P

Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất 

Vì 8x E8y E25 8  x F 8y F 250 nên hai điểm E F nằm cùng phía đối với đường ,thẳng 

Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm  E1; 1  và có VTPT    3; 4 

Ta có ME + MF = ME + MF E F 

Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của  E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3  và có VTPT   31;167

210

Câu 55: Gọi z z là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  2 Biết

Trang 30

rằng w là số phức thỏa mãn w 3 2  i 2 Tìm GTNN của biểu thức P wz1  wz2

Giả sử A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , z z1, 2, ta có z1z2  2  AB 2

Giả sử w a bi a b R ,   và M là điểm biểu diễn cho số

phứcw , ta có w 3 2  i 2 (a3)2(b2)24suy ra tập

hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I3; 2

bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên 

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Trang 31

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M , N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN2 là đường kính Dựng hình bình hành

OMNP ta có z1z2 OP2 3

1  2 2 1  2

z z z z  z1z22 z1z2216 z1  z2 4 Dấu bằng xảy ra khi z1  z 2 MNOI

Câu 58: Xét các số phức z a bi a b,   thỏa mãn z 2 3i 2 2 Tính P2a b khi 

Gọi zx yi với x y,  

Ta có: z 2 3i 2 2x2 2 y328 Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn  ; cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn  C tâm I2; 3 và bán kính R 8 Gọi A 1; 6, B7; 2 và J3; 2 là trung điểm của AB

MA MB MJ với J là trung điểm của AB

Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJIJR

Trang 32

Vậy đểP Max thìM4; 5 Suy ra 2a b  3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z và 1 z là số phức có 2

mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z1và z2 bằng

Lời giải Chọn D

Gọi z x yi x y, ,   và M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z

Theo giả thiết z2 4 i2 x yi 2 4 i 2x2 2 y42 4

B Do OA OB nên điểm  A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và

điểm B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi ( a b,   và b0) thỏa mãn

 bi a b  abi

Trang 33

21;13

Bảng biến thiên:

Suy ra

   1;1

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos 3 cos 2 sin 3 sin 

21;13

1

Trang 34

   1;1

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của biểu thức

Trang 35

Đặt z a ib a b  , ,   có biểu diễn hình học là điểm M x y ; 

37

Trang 36

A. 20 B 10 C. 12 5 D 4 5

25 86

nhất.

A z  1 i B z  2 2i C z 2 2i D 3 2 i

Lời giải Chọn C

Gọi số phức z có dạng   z a bi z thỏa mãn z 2 4i  z2i

Trang 37

Trang 38

của biểu thức P z1  z2 là:

1.2

2

2O

2

MN I

2

2O

2

MN I

2

32

Trang 39

K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2

Ta tìm Max – Min của T OK OA OB  

Ta có A B O, , thuộc đường tròn ( )C và ABO đều T Min2OA2

Gọi K thuộc cung  OB Ta có KA OB OA BK  AB OK KAKB OK 

Trang 40

Gọi A1; 3 , B 1; 1 ,  C 0;1C là trung điểm AB

Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi z  2 5i

Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]

Trang 41

Ta có z1z2  z1iz1  1i z 1  2.z 1

Đặt z1 a bi với ( ,   a b ) theo đề bài ta có a1 2 b124(*) Ta cần tìm GTLN của

2 22

Trang 42

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z ; 1 z thỏa mãn 2 z13i5 2 và

Mặt khác, iz2 1 2i 4 3z2 6 3i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 là điểm N

nằm trên đường tròn  T có tâm 2 I26; 3 và có bán kính là R2 12

Ta thấy 2iz13z 2  2iz1  3z2  MN

T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M , I , 1 I , 2 N theo thứ tự thẳng

hàng

Vậy giá trị lớn nhất của MNI I1 2R1R 2  313 16

Câu 78: Cho hai số phức z w thỏa mãn , 3 2 1

Trang 43

2 3

-2

-1

B A

I M N

Trang 44

mãn: z12 4 và z c d1   10 Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức  T ac bd cd Hãy chọn  khẳng định đúng về M

A.M11;15 B M15; 17

C M11;12 D Không tồn tại M

Ta có

2 1

1

410

 c

Bảng biến thiên:

Trang 45

z

1ax

Ta có

3 3 3

Trang 46

Giả sử M A B, , lần lượt biểu diễn số phức z x yi z z, ,1 2

Từ giả thiết 3z 3i  3ta có: 2 1 2 1

33

1 2

-1 2

M

I

Trang 47

Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E1; 1 Do đó, N1; 1

Ta thấy z w MN nên  z w nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N

Trang 48

M là giao của của BC và ( ) T M(2; 2 3) a b 4  3

Câu 86: Cho các số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 2 z1  2 z2  z1z2 6 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  z z 1  z z  2

B M

5

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	3,1 MB