Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01ĐỀ BÀIBài 1 (4,0 điểm): a) Thực hiện phép tính: b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .Bài 2 (4,0 điểm): a) Số C được chia thành 3 số tỉ lệ theo 1:2:3. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 350. Tìm số C. b) Tìm x, biết: .Bài 3 (4,0 điểm): a) Cho x2 +y2 = 1. Hãy tính giá trị của đa thức: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 b) Tìm x, y Z biết: 2xy – 3x + y = 3Bài 4 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A có AB =13 cm; đường cao AH = 12 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM=CN. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M và N trên BC, MN cắt BC tại I. a) Tính BC. b) Chứng minh I là trung điểm của MN. c) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I và AH đồng quy tại một điểm.Bài 5 (2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K = Hết Họ và tên thí sinh:……………………………………..; Số báo danh:…………..Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01( Gồm có 04 trang )I. Một số chú ý.1. Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm. 2. Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí sinh.3. Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu.II. Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm. BàiCâuYêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắtMức điểm1a2,0điểm 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đb 2,0điểm1) Nếu a + b + c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: = = 1mà = 2=> =2Vậy B = =80.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ2) Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:=> a + b = c; a + c = b; b + c = a => B = = 1Vậy B = 8, nếu a + b + c 0; B = 1 nếu a + b + c = 00.25đ0.25đ0.25đ2a2,0điểm(2,5 điểm)Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số C.Theo đề bài ta có: a : b : c = 1:2:3 (1) và a2 +b2 +c2 = 350 (2)Từ (1) a = k; b = 2k; c = 3kDo đó (2) k2 ( 1+4+9) = 350 k = 5 và k = 5+ Với k = 5, ta được: a = 5; b = 10; c = 15. Khi đó ta có số C = 5 + 10+ 15 = 30.+ Với k =5, ta được: a = 5; b =10; c =15Khi đó ta có só C = (5) +(10) +(15) = 300,25đ0,25đ0,5đ0,5đ0,5đ2b)2,0điểm Vì nên (1) => hay ()+) Nếu x 1 thì () = > x 1 = 2 => x = 3 (Tm ĐK)+) Nếu x x 1 = 2 => x = 1 (Tm ĐK) Vậy x=3; x=11,0đ0,5đ0,5đ3a)2,0điểm Ta có: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 +x2y2 + y4 + y2 = 2x2 ( x2 + y2 ) + y2 ( x2 + y2 ) + y2 = 2x2.1 +y2.1 +y2 = 2 ( x2 + y2 ) = 2.1 = 2. ( Vì x2 + y2 = 1 )0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ3b2,0 điểm Ta có: 2xy – 3x + y = 3 4xy – 6x + 2y = 6 2x ( 2y – 3) + ( 2y – 3 ) = 3 (2x +1)(2y – 3) =3Vì x,y nguyên nên 2x+1 và 2y3 là ước của 3.Học sinh tính được các nghiệm là:(1;0),(0;3),(2;1),(1;2)0,5đ0,25đ0,25đ0,25đ0,75đ4ađiểm a). (2,0 điểm)Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHB. Học sinh tính được BH = 5 cm Học sinh chứng minh được hai tam giác AHB và AHC bằng nhauSuy ra: HB = HC = ½ BC; BC = 10 cm1,01,0bđiểmb (2,0 điểm )HS chứng minh được hai tam giác BMD và ENC bằng nhauSuy ra: MD = ENHS chứng minh được tam giác MDI và tam giác NEI bằng nhauSuy ra: MI = IN.Vậy I là trung điểm MN.1,01,0cđiểmc (2,0 điểm ) Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt AH tại điểm K HS chứng minh được tam giác MIK và tam giác NIK bằng nhau. Suy ra MK = NK HS chứng minh được tam giác AKB và tam giác AKC bằng nhau.Suy ra KB = KCVà HS chứng minh được tam giác MKB và tam giác NCK bằng nhau. Suy ra: Suy ra: . => KL: Đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I và AH đồng quy tại một điểm0,50,50,50,552,0điểm K = Ta có: K= = 1 Do n24n+5=(n22n)(2n4) +1= (n2)(n2)+1 = (n2)2 +1 1 với mọi nNên với mọi nDấu “=” xảy ra khi n 2 = 0, suy ra n = 2.Vậy Giá trị nhỏ nhất của K là 8 khi n = 2(0,5đ0,5 đ0,5đ0,5đHết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 02ĐỀ BÀIBài 1 (4 điểm)a Tính giá trị biểu thức : b So sánh và Bài 2 (4 điểm): a Tìm x biết b Tìm x, y, z biết và 3x 7y + 5z = 30Bài 3 (4 điểm)a Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58b Chứng minh rằng nếu m2 + mn + n2 chia hết cho 9 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3.Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN với BC.a Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.b Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố địnhBài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyzHẾTCán bộ coi thi không giải thích gì thêm
-Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ BÀI Bài (4,0 điểm): a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 84.35 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức B 1 1 1 a c b Bài (4,0 điểm): a) Số C chia thành số tỉ lệ theo 1:2:3 Biết tổng bình phương ba số 350 Tìm số C b) Tìm x, biết: x x x Bài (4,0 điểm): a) Cho x2 +y2 = Hãy tính giá trị đa thức: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 b) Tìm x, y Z biết: 2xy – 3x + y = Bài (6,0 điểm): Cho tam giác ABC cân A có AB =13 cm; đường cao AH = 12 cm Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM=CN Gọi D E hình chiếu M N BC, MN cắt BC I a) Tính BC b) Chứng minh I trung điểm MN c) Chứng minh đường thẳng vng góc với AC C; vng góc với MN I AH đồng quy điểm Bài (2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: K= n 4n n 4n Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:………… Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01 ( Gồm có 04 trang ) I Một số ý Tổng số điểm đề thi 20 điểm Khơng làm tròn điểm câu (bài) tổng điểm đạt thí sinh Thí sinh giải cách khác với lời giải hướng dẫn chấm, lời giải đúng, đủ bước người chấm cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho câu II Đáp án, biểu điểm hướng dẫn chấm Bài Câu a 212.35 46.92 510.73 255.492 b 2,0 điểm 10 212.35 212.34 510.73 5 74 A 12 12 9 3 5 125.7 14 3 8 212.34. 31 510.73.17 12 3. 31 59.73.1 23 2,0 điểm Mức điểm Yêu cầu cần đạt lời giải tóm tắt 0,5đ 0,5đ 10 212.34.2 6 12 3.4 10 0,5đ 0,5đ 1) Nếu a + b + c Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =1 a b c c a b mà a b c bc a c a b 1 1 1 c a b => a b b c c a =2 c a b =2 0.25đ 0.25đ 0.25đ b a c ba ca bc Vậy B = 1 1 )( )( ) =8 ( a c b a c b 0.25đ 0.25đ -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) 2) Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: => a + b = - c; a + c = - b; b + c = - a a 2,0 điểm 3 b) 0.25đ 0.25đ b a c ba ca bc => B = 1 1 )( )( ) = -1 ( a c b a c b 0.25đ Vậy B = 8, a + b + c 0; B = - a + b + c = (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số C Theo đề ta có: a : b : c = 1:2:3 (1) a2 +b2 +c2 = 350 (2) 0,25đ 0,25đ Từ (1) a b c k a = k; b = 2k; c = 3k Do (2) k2 ( 1+4+9) = 350 k = k = -5 + Với k = 5, ta được: a = 5; b = 10; c = 15 Khi ta có số C = + 10+ 15 = 30 + Với k =-5, ta được: a = -5; b =-10; c =-15 Khi ta có só C = (-5) +(-10) +(-15) = -30 Vì x x nên (1) => x x x hay x (*) +) Nếu x (*) = > x -1 = => x = (T/m ĐK) 2,0 điểm +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 (T/m ĐK) Vậy x=3; x=-1 Ta có: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 +x2y2 + y4 + y2 a) = 2x2 ( x2 + y2 ) + y2 ( x2 + y2 ) + y2 2,0 = 2x2.1 +y2.1 +y2 = ( x2 + y2 ) điểm = 2.1 = ( Vì x2 + y2 = ) Ta có: 2xy – 3x + y = b 4xy – 6x + 2y = 2x ( 2y – 3) + ( 2y – ) = 2,0 (2x +1)(2y – 3) =3 điểm Vì x,y nguyên nên 2x+1 2y-3 ước Học sinh tính nghiệm là:(-1;0),(0;3),(-2;1),(1;2) a điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) A M I B D H C E K 1,0 1,0 N a) (2,0 điểm) - Áp dụng định lí Pytago tam giác vng AHB Học sinh tính BH = cm - Học sinh chứng minh hai tam giác AHB AHC Suy ra: HB = HC = ½ BC; BC = 10 cm b/ (2,0 điểm ) - HS chứng minh hai tam giác BMD ENC Suy ra: MD = EN - HS chứng minh tam giác MDI tam giác NEI điểm Suy ra: MI = IN.Vậy I trung điểm MN c/ (2,0 điểm ) c - Đường thẳng qua I vng góc với MN cắt AH điểm K - HS chứng minh tam giác MIK tam giác NIK điểm Suy MK = NK - HS chứng minh tam giác AKB tam giác AKC nhau.Suy KB = KC Và ABK ACK - HS chứng minh tam giác MKB tam giác NCK Suy ra: ABK NCK - Suy ra: NCK ACK 900 => CK AC KL: Đường thẳng vng góc với AC C; vng góc với MN I AH đồng quy điểm b 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) K= Ta có: K= 2,0 điểm n 4n n 4n (n 2n 5) 9 = 1- 2 n 2n n 2n Do n2-4n+5=(n2-2n)-(2n-4) +1= (n-2)(n-2)+1 = (n-2)2 +1 với n ( 0,5đ 0,5 đ 0,5đ 9 Nên 1 9 8 với n 2n n 2n n 2n n Dấu “=” xảy n - = 0, suy n = Vậy Giá trị nhỏ K -8 n = Hết - 0,5đ -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 02 ĐỀ BÀI Bài (4 điểm) 1 1 2.4 4.6 6.8 2012.2014 100 101 b/ So sánh S P a/ Tính giá trị biểu thức : A Bài (4 điểm): a/ Tìm x biết 3x 2x b/ Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z 3x - 7y + 5z = 30 Bài (4 điểm) a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết : f(0)=10; f(1)=20 f(3)=58 b/ Chứng minh m2 + mn + n2 chia hết cho với m,n số tự nhiên m, n chia hết cho Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh BC, tia đối tia CB lấy điểm E cho CE=BD Các đường thẳng vng góc với BC D E cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự M, N Gọi I giao điểm MN với BC a/ Chứng minh I trung điểm MN b/ Chứng minh đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định Bài (2 điểm): Tìm số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyz -HẾT Cán coi thi không giải thích thêm -Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 02 Bài ý Bài a Nội dung Điểm 1 1 * với k N k k 2 k k Cho k chạy từ đến 2012 k số chẵn ta 0,5 Ta có : 1 1 2.4 4.6 6.8 2012.2014 11 1 1 1 2 4 6 2012 2014 11 503 2014 2014 503 A 2014 Vậy Ta có: S 22 23 24 2100 22 23 24 2100 2S 22 23 24 2100 2101 2S S 2101 S 2101 2101 S P Vậy S < P A 2,0đ 4,0 đ b 2,0đ Bài a 2,0đ + Với x 1 2x 2x 2x Ta có 3x 2x 3x 2x 1 x (thoả mãn đk) 1 + Với x 2x 2x 2x 1 Ta có 3x 2x 3x 2x 1 5x x (không thoả mãn ĐK) Vậy x=3 0,75 0,5 0,25 0,25 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 025 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) b 2,0đ Bài a x y x y (1) 21 14 x z x z (2) 5x 7z 21 15 x y z Từ (1) (2) 21 14 15 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 63 98 75 63 98 75 40 x 63 x 21 4 y 21 z 45 y ; z 14 15 4 63 21 45 Vậy x , y ,z 4 0,25 Gọi đa thức bậc hai f x ax bx c với a Ta có : f 10 c 10 f 1 20 a b c 20 a b 10 (1) 0,5 0,25 Ta có 2x 3y 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 f 3 58 9a 3b c 58 2,0đ 9a 3b 48 3a b 16 Từ (1) (2) 2a a b 10 Vậy đa thức cần tìm f x 3x 7x 10 b Ta có : m mn n m n 3mn (1) 0,5 Vì m mn n M 2 m mn n M m n M m nM 2 0,5 0,25 0,5 0,25 2,0đ m n M 9 mn M (3) Kết hợp với (1) 3mn M Vì số nguyên tố nên từ (2) (3) suy m n chia hết cho Suy đpcm 0,5 0,5 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) Bài a A M 3,0 I B C E D O N 1,0 b 6,0 điểm 3,0 Bài Chứng minh DBM ECN DM = EN Chứng minh DMI ENI IM = IN Hay I trung điểm MN Gọi O giao điểm đường trung trực BC với đường thẳng vng góc với MN I Vì AB = AC AO đường trung trực BC OB=OC Vì I trung điểm MN OI đường trung trực MN OM = ON Vì DBM ECN BM = CN Xét OBM OCN có OB = OC, OM = ON, BM = CN OBM = OCN (C.C.C) · · OCN (1) OBM · · Vì AO đường trung trực BC OBA (2) OCA · · Từ (1) (2) OCN OCA OC AC Vì O giao điểm đường trung trực cạnh BC với đường thẳng vng góc với AC C nên điểm O cố định Suy điều phải chứng minh Khơng tính tổng qt toán giả sử x y z 0,25 1,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) - 2,0đ Vì x, y, z số tự nhiên khác x y z Ta có x y z xyz * 1 1 yz xz xy 1 1 x x x x x 3 x 1 Thay vào (*) ta 1+ y + z = yz y 1 z 1 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 y y 0,25 z z x, y, z 1;2;3 Vì vai trò x, y, z nên số (x,y,z) thoả mãn toán : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1 0,25 Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa -Hết 10 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 04 Câu 1: Mỗi tỉ số cho bớt ta được: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 = 1 1 a b c d abcd abcd abcd abcd a b c d ( 0,5đ) +, Nếu a+b+c+d a = b = c = d lúc M = 1+1+1+1=4 +, Nếu a+b+c+d = a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lúc M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4 Câu 2: (2điểm) Thực phép tính: ( 0,25đ) 1 A = 1 1 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 = 2007.2006 10 18 2007.2006 10 2006.2007 12 20 2006.2007 Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 Từ (1) (2) ta có: A= ( 0,5đ) (1) ( 0,5đ) (2) 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Câu :(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a Nhân vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2 (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Câu 4: Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 16 ( 0,25đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,75đ) -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) số phải chia hết cho Vậy (a + b + c ) chia hết cho (1) (0,5đ) Tacó: a + b + c 27 (2) ( 0,5đ) Vì a ; b ; c Từ (1) (2) ta có (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) (0,25đ) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,25đ) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị phải số chẵn (0,25đ) Vậy ssố cần tìm là: 396 ; 963 (0,25đ) A Câu 5.(3đ) D E C B M Ghi GT-KL vẽ hình (0,5 đ) Chứng minh: a (1,5đ) Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD (0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1) (0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD (0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2) (0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) Hết - 17 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu ( 1,5 điểm) a) Thực phép tính: A= ĐỀ SỐ: 05 212.35 46.92 510.73 255.492 (22.3)6 84.35 (125.7)3 59.143 b) Cho hàm số: y f ( x) ax bx c Cho biết: f (0) 2010; f (1) 2011; f (1) 2012 Tính f (2) ? Câu ( điểm) Tìm x , y , biết : a) ( x 5) x1 ( x 5) x11 c) x y Câu ( 1,5điểm) 2010 b) d) 0 5x 7y 6 5x y 4x x 1 x x x 2019 2018 2017 2016 a) Cho số x ,y , z khác thỏa mãn điều kiện : y zx z x y x yz Hãy tính giá trị biểu thức : B = x y z x y 1 1 y z z x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 2010 ( y 2011)2010 2011 giá trị x, y tương ứng Câu ( điểm) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* a 14 c 11 e 13 ; ; b 22 d 13 f 17 Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn Câu 6: (1điểm) Cho A(x) = x+ x2 +x3 + + x99 +x100 a) Chứng minh x = -1 nghiệm A(x) b) Tính A(x) x = Hết Họ tên : Số báo danh: Lưu ý : Cán cọi thi không giải thích thêm 18 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Ý câu ĐỀ SỐ: 05 Biểu điểm Đáp án 10 (1,5đ) 212.35 212.34 510.73 A 12 12 9 3 12 1 510.73 1 12 1 59.73 1 23 a 10 0,25 212.34.2 6 212.35.4 59.73.9 10 0,25 0,25 Theo giả thiết ta có: f (0) 2010 c 2010 (1) (2) f (1) 2011 a b c 2011 a b 2010 2011 a b f (1) 2012 a b c 2012 a b 2010 2012 a b 0,25 Cộng vế với vế (1) (2) ta có: 2a = => a = 3/2 b Thay vào (2) ta được: b = 0,25 1 2 Do đó: Hàm số cho có dạng: y f ( x) x x 2010 2 x 1 10 ( x 5) 1 ( x 5) 0,25 ( x 5) x 1 10 1 ( x 5) 0,25 Vậy: f (2) (2) (2) 2010 2010 2017 (2đ) a x 10 ( x 5) x x x 5x 7y 0,25 5x y 4x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 5x b 7y 6 Do đó: 5x y 5x y 8 5x y 4x 5x y 4x - Nếu x y = 4x => x = 2, thay vào tính y = - Nếu x y => 5x – = 7y – =0 y ; x 19 (thỏa 0,25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) mãn) Ta có x với x (3 y 4)2010 với y c Vậy x y 4 2010 x+5 =0 3y - = 0,25 0,25 x = -5 y = d 0,25 x 1 x x x Ta cã : 1 1 1 1 2019 2018 2017 2016 x 2020 x 2020 x 2020 x 2020 0 2019 2018 2017 2016 1 1 x - 2020 = ( V× ) x = 2020 2019 2018 2017 2016 y zx z x y x yz Từ x y z yz zx x y 1 1 1 x y z yz zx x y x y z 0,25 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y z z x x y 2( x y z ) với x + y + z x y z x yz 0,25 Do : x y z yz zx x y B = 1 1 = 2 = 1 = y z x x y z a b (1,5đ) (1đ) 0,25 Ta thấy: x 2010 với x (y + 2011)2010 với y Do đó: A x 2010 ( y 2011)2010 2011 2011 với x, y Vậy: AMin = 2011 Khi đó: x = 2010 y = -2011 Từ giả thiết ta có: a b 11 c 11 d 13 e 13 f 17 a b ab M 11 11 18 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Tương tự ta có: 20 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) c d cd M 11 13 11 13 24 (2) e f e f M 13 17 17 13 30 M BC 18; 24;30 kết hợp (1); (2) Mặt khác M số tự nhiên nhỏ có chữ số nên: 0,25 M 1080 0,5 D E M N A k K 0,25 I B C H x c/m ABE = ADC (c.g.c) (3,0đ) 0,25 a b c d 6( 1,0 đ) a BE = DC ( cạnh tương ứng) c/m ABM = ADN (c.g.c) AM = AN MAB NAD Mà BAN NAD 180 BAN BAM 1800 Vậy M,A,N thẳng hàng Gọi I giao điểm BC Ax, ta có BH BI ; CK CI BH + CK BI + CI = BC Theo câu c) BH + CK BC nên giá trị lớn BH+ CK BC BH = BI CK = CI H I; K I Do Ax BC Ta có : A (-1) = (-1) +(-1)2 +( -1)3 + + (-1)99 + (- 1)100 A( -1) = -1 +1 + (-1) +1 + + (-1)+1 = ( Vì có 50 số 50 số -1 ) Do : x = -1 nghiêm A(x) Tại x = b A = 1 100 2 21 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) Do : 2A = ( Khi : 2A - A = Vậy : A = - 100 100 1 1 1 100 ) = 1+ 99 2 2 2 Hay A = - 100 x = Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Hết 22 0,25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ĐỀ SỐ: 06 Câu 1: (4,5 điểm) 2 : 15 11 22 1) Tính giá trị biểu thức: A : 12 2) Tìm x, biết: 1 x : 13 3) Tính giá trị biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 Câu 2: (4,5 điểm) x y y z x y z 14 ; 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 3 1 3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 15 x : 2 7 2 3 1) Tìm số x, y, z biết: Câu 3: (5,0 điểm) a/ Chứng minh rằng: Nếu < a1 < a2 < … < a9 thì: a1 a2 a9 a3 a6 a9 b/ Tìm x biết (x – 7)x + - (x – 7) x + 11 = Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C) Trên tia đối tia CB, lấy điểm E cho CE = BD Đường vng góc với BC kẻ từ D cắt BA M Đường vng góc với BC kẻ từ E cắt tia AC N MN cắt BC I 1) Chứng minh rằng: DM = EN 2) Chứng minh IM = IN; BC < MN 3) Gọi O giao đường phân giác góc A đường thẳng vng góc với MN I Chứng minh rằng: BMO CNO Từ suy điểm O cố định Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E cho · · · DAE ·ABD (E nằm B D) Chứng minh DAE ECB Hết 23 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu ĐỀ SỐ: 06 Hướng dẫn 3 3 5 22 : 4 9 22 3 13 12 2) (1,5đ) Ta có: 1 x x 13 3) (1,5đ) Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2014 với x, y nên (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 Suy (x - 2)4 = (2y – 1) 2014 = suy x = 2, y = 1,5 Khi M = 44 0,25 0,5 1) (1,5đ) A : Câu 1: 4,5đ x y y z x y z ; 12 16 x y z 2x y z x y z 14 Vậy: 1 12 16 18 12 16 18 12 16 14 1) (1,5đ) Từ Suy x = -9; y = -12; z = -16 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + Dễ thấy x – < x + Câu 2: 4,5đ Điểm 2 ) > suy x – x + dấu 3 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 nên ta có: dương x – > x > 2 x – x + âm x + < x < 3 Vậy x > x < 3 3 31 3)(1,5đ) Ta có 15 15 7 5 35 1 1 : 2 14 2 3 x – x + Do đó: 1,5 31 x 14 , x nguyên nên x 9;10;11;12;13;14 35 Câu 3: (5.0đ) a(2,0đ) Ta có: < a1 < a2 < … < a9 nên suy ra: a1 + a2 + a3 < 3a3 (1) a4 + a5 + a6 < 3a6 (2) a7 + a8 + a9 < 3a9 (3) 24 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) Cộng vế với vế (1) (2) (3) ta được: a1 + a2 + … + a9 < 3(a3 + a6 + a9) b Vì a1 + a2 + … + a9 > nên ta được: 0,5 0,5 0,5 a1 a2 a9 a3 a6 a9 b(3,0 đ) (x – 7)x + - (x – 7) x + 11 = = > (x – 7)x + - (x – 7) x + + 10 = = > (x – 7)x + - (x – 7) x + (x – 7) 10 = = > (x – 7)x + [1 - (x – 7) 10 ] = Do (x – 7)x + = - (x – 7) 10 = * (x – 7)x + = = > x = *1 - (x – 7) 10 = => (x – 7) 10 = = > x – = ±1 => x = x = Vậy x = 6; x = 7; x = 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A M B C I E D N Câu 4: (4,5đ) O 1) (1,5đ) Tam giác ABC cân A nên ·ABC ·ACB; Do đó: MDB NEC ( g.c.g ) DM EN · NCE ·ACB; (đối đỉnh) 2) (1,5đ)Ta có MDI NEI ( g.c.g ) MI NI Vì BD = CE nên BC = DE Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy BC < MN 3)(1,5đ) Ta chứng minh được: ABO ACO(c.g c) OC OB, ·ABO · ACO 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 MIO NIO(c.g c ) OM ON Lại có: BM = CN, BMO CNO(c.c.c) · · · · · MBO NCO · ACO suy NCO ACO , Mà: MBO , 25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) 0,5 mà hai góc kề bù nên CO AN Vì tam giác ABC cho trước, O giao phân giác góc A đường 0,25 vng góc với AC C nên O cố dịnh A F G D E H B C Câu 5: (1,5đ) Vẽ AF vng góc BD, CG vng góc BD, CH vng góc với AE Ta có ABF CAH (cạnh huỳen – góc nhon) Suy ra: AF = CH ADF CDG (ch gn) suy AF = CG Từ ta có CH = CG 0,25 · · ; CEH CEG (ch cgv) CEH CEG · · · ; CEH · · · ; Mà CEG EBC ECB EAC ECA 0,5 · · · · ; (1) Do đó: EBC ECB EAC ECA · EBC · · · ; (2) Măth khác: EBA ECB ECA lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: · · · · · ECB · ECB EBA EAC ECB EBA · · EBA ECB · · · Mà DAE ·ABD nên DAE ECB 0,5 0,25 Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm Hết 26 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ĐỀ SỐ: 07 Câu (4,0 điểm) 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) M = 1, 1 0,875 0, 2013 11 2) Tìm x, biết: x x x Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b c Hãy tính giá trị biểu thức a b b a c B 1 1 1 a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x x 2013 với x số nguyên 2) Tìm số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x+ y + z = xyz Câu (6,0 điểm) · =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay Cho xAy H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh: a ) K trung điểm AC b ) KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c chứng minh rằng: a b c 2 bc ac ab Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm 27 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Nội dung Điểm 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) Ta có: M 1, 1 0,875 0, 2013 11 1 2 2 11 2012 : 7 2013 11 10 1 1 1 1 11 2012 : Câu 1 1 2013 7 (4 điểm) 11 2 2012 : 0 7 2013 0.5đ 0.5đ 0.5đ KL:…… 2) x x nên (1) => x x x hay x = > x -1 = => x = Hoặc x -1 = -2 => x = -1 KL:………… 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 1) +Nếu a + b + c Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: 0.25đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b = =1 a b c c a b mà => Câu (5 điểm) ĐỀ SỐ: 07 a b c b c a c a b 1 1 1 c a b a b b c c a =2 c a b 0.25đ =2 0.25đ b a c ba ca bc Vậy B = 1 1 )( )( )= ( a c b a c b +Nếu a + b + c = => a + b = - c; a + c = - b; b + c = - a b a c ba ca bc => B = 1 1 )( )( ) = -1 ( a c b a c b 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Vậy B = 8, a + b + c 0; B = - a + b + c = 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu 0,5 đ là: a, b, c 28 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) Ta có: a b c abc x 5x 6x x 7x a ;b ;c 18 18 18 18 18 (1) 0,5đ Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a , b, c, x x , 5x x , x a, ;b ;c 15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu 0,5đ Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 0,5đ 0,5đ 0,25đ 1) Ta có: A x x 2013 x 2013 x 0,5đ Vây: c’ – c = hay 6x 7x x 4 x 360 15 18 90 x 2013 x 2011 Dấu “=” xảy (2 x 2)(2013 x) x 2013 KL:…… 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) Không tính tổng quát giả sử x y z Vì x, y, z số tự nhiên khác x y z Ta có x y z xyz * Câu (4 điểm) 0,25đ 1 1 1 + + + + = zx x x x x yz yx => x 3, x số tự nhiên khác => x = Thay vào (*) ta y z yz => y – yz + + z = => 1= => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y = z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 (loại x y z ) 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ x, y,z 1;2;3 Vì vai trò x, y, z nên số (x,y,z) thoả mãn 0,25đ toán : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1 V ẽ hình , GT _ KL Câu (6 điểm) 0,25đ 29 -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) · · a, ABC cân B CAB ·ACB( MAC ) BK đường cao BK đường trung tuyến K trung điểm AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh tương ứng) mà AK = BH = AC AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC tam giác cân ( ) · Mặt khác : MCB = 900 ·ACB = 300 · = 600 (2) MCK Từ (1) (2) MKC tam giác c) Vì ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB BK 16 12 Mà KC = AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = 12 Câu (1 điểm) 1đ 1đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( t/c cặp đoạn chắn ) => AM = AH + HM = Vậy AM = 6; KM = 12 ; AK = 12 Vì a b c nên: 1 c c (1) ab a b ab a b a a b b Tương tự: (2) ; (3) bc b c ac a c a b c a b c Do đó: (4) bc ac ab b c a c a b a b c 2a 2b 2c 2( a b c) Mà 2 bc ac ab abc abc abc abc (a 1)(b 1) ab a b 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (5) Từ (4) (5) suy ra: a b c 2 bc ac ab (đpcm) Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ -Hết -30 0,25đ ... -Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu Bài ĐỀ SỐ: 03 Nội dung 47 47. .. 0,25 0,25 -Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI ĐỀ SỐ: 06 Câu 1: (4,5... (0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) Hết - 17 -Đề thi học sinh giỏi môn Tốn lớp (có đáp án chi tiết) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TỐN - LỚP Thời