Đề thi HSG 18 môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 (có đáp án chi tiết)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01ĐỀ BÀIBài 1 (4,0 điểm): a) Thực hiện phép tính: b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . Hãy tính giá trị của biểu thức .Bài 2 (4,0 điểm): a) Số C được chia thành 3 số tỉ lệ theo 1:2:3. Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 350. Tìm số C. b) Tìm x, biết: .Bài 3 (4,0 điểm): a) Cho x2 +y2 = 1. Hãy tính giá trị của đa thức: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 b) Tìm x, y Z biết: 2xy – 3x + y = 3Bài 4 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A có AB =13 cm; đường cao AH = 12 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM=CN. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M và N trên BC, MN cắt BC tại I. a) Tính BC. b) Chứng minh I là trung điểm của MN. c) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I và AH đồng quy tại một điểm.Bài 5 (2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K = Hết Họ và tên thí sinh:……………………………………..; Số báo danh:…………..Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01( Gồm có 04 trang )I. Một số chú ý.1. Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm. 2. Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí sinh.3. Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu.II. Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm. BàiCâuYêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắtMức điểm1a2,0điểm 0,5đ0,5đ0,5đ0,5đb 2,0điểm1) Nếu a + b + c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: = = 1mà = 2=> =2Vậy B = =80.25đ0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ2) Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:=> a + b = c; a + c = b; b + c = a => B = = 1Vậy B = 8, nếu a + b + c 0; B = 1 nếu a + b + c = 00.25đ0.25đ0.25đ2a2,0điểm(2,5 điểm)Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số C.Theo đề bài ta có: a : b : c = 1:2:3 (1) và a2 +b2 +c2 = 350 (2)Từ (1) a = k; b = 2k; c = 3kDo đó (2) k2 ( 1+4+9) = 350 k = 5 và k = 5+ Với k = 5, ta được: a = 5; b = 10; c = 15. Khi đó ta có số C = 5 + 10+ 15 = 30.+ Với k =5, ta được: a = 5; b =10; c =15Khi đó ta có só C = (5) +(10) +(15) = 300,25đ0,25đ0,5đ0,5đ0,5đ2b)2,0điểm Vì nên (1) => hay ()+) Nếu x 1 thì () = > x 1 = 2 => x = 3 (Tm ĐK)+) Nếu x x 1 = 2 => x = 1 (Tm ĐK) Vậy x=3; x=11,0đ0,5đ0,5đ3a)2,0điểm Ta có: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 +x2y2 + y4 + y2 = 2x2 ( x2 + y2 ) + y2 ( x2 + y2 ) + y2 = 2x2.1 +y2.1 +y2 = 2 ( x2 + y2 ) = 2.1 = 2. ( Vì x2 + y2 = 1 )0,5đ0,5đ0,5đ0,5đ3b2,0 điểm Ta có: 2xy – 3x + y = 3 4xy – 6x + 2y = 6 2x ( 2y – 3) + ( 2y – 3 ) = 3 (2x +1)(2y – 3) =3Vì x,y nguyên nên 2x+1 và 2y3 là ước của 3.Học sinh tính được các nghiệm là:(1;0),(0;3),(2;1),(1;2)0,5đ0,25đ0,25đ0,25đ0,75đ4ađiểm a). (2,0 điểm)Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHB. Học sinh tính được BH = 5 cm Học sinh chứng minh được hai tam giác AHB và AHC bằng nhauSuy ra: HB = HC = ½ BC; BC = 10 cm1,01,0bđiểmb (2,0 điểm )HS chứng minh được hai tam giác BMD và ENC bằng nhauSuy ra: MD = ENHS chứng minh được tam giác MDI và tam giác NEI bằng nhauSuy ra: MI = IN.Vậy I là trung điểm MN.1,01,0cđiểmc (2,0 điểm ) Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt AH tại điểm K HS chứng minh được tam giác MIK và tam giác NIK bằng nhau. Suy ra MK = NK HS chứng minh được tam giác AKB và tam giác AKC bằng nhau.Suy ra KB = KCVà HS chứng minh được tam giác MKB và tam giác NCK bằng nhau. Suy ra: Suy ra: . => KL: Đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I và AH đồng quy tại một điểm0,50,50,50,552,0điểm K = Ta có: K= = 1 Do n24n+5=(n22n)(2n4) +1= (n2)(n2)+1 = (n2)2 +1 1 với mọi nNên với mọi nDấu “=” xảy ra khi n 2 = 0, suy ra n = 2.Vậy Giá trị nhỏ nhất của K là 8 khi n = 2(0,5đ0,5 đ0,5đ0,5đHết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 02ĐỀ BÀIBài 1 (4 điểm)a Tính giá trị biểu thức : b So sánh và Bài 2 (4 điểm): a Tìm x biết b Tìm x, y, z biết và 3x 7y + 5z = 30Bài 3 (4 điểm)a Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58b Chứng minh rằng nếu m2 + mn + n2 chia hết cho 9 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3.Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN với BC.a Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.b Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố địnhBài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyzHẾTCán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trang 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01

ĐỀ BÀI Bài 1 (4,0 điểm):

a c b c

c b

a a

Cho tam giác ABC cân tại A có AB =13 cm; đường cao AH = 12 cm Trên cạnh

AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM=CN Gọi D và E lần lượt

là hình chiếu của M và N trên BC, MN cắt BC tại I

a) Tính BC

b) Chứng minh I là trung điểm của MN

c) Chứng minh các đường thẳng vuông góc với AC tại C; vuông góc với MN tại I

và AH đồng quy tại một điểm

Bài 5 (2,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K =

5 4

4 4 2 2

n n

-Hết -

- Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:…………

Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

Trang 2

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 7

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

( Gồm có 04 trang )

I Một số chú ý

1 Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm

2 Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí sinh

3 Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu

II Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm

b

b a c a

a c b c

c b

0.25đ

Trang 3

2) Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Theo đề bài ta có: a : b : c = 1:2:3 (1)

và a2 +b2 +c2 = 350 (2)

Từ (1)  a  b  c k

3 2

1  a = k; b = 2k; c = 3k

Do đó (2) k2 ( 1+4+9) = 350

k = 5 và k = -5 + Với k = 5, ta được: a = 5; b = 10; c = 15

Khi đó ta có số C = 5 + 10+ 15 = 30

+ Với k =-5, ta được: a = -5; b =-10; c =-15 Khi đó ta có só C = (-5) +(-10) +(-15) = -30

0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,5đ

+) Nếu x <1 thì (*) = > x -1 = -2 => x = -1 (T/m ĐK) Vậy x=3; x=-1

1,0đ 0,5đ

= 2x2.1 +y2.1 +y2 = 2 ( x2 + y2 ) = 2.1 = 2 ( Vì x2 + y2 = 1 )

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2,0

điểm

Ta có: 2xy – 3x + y = 3 4xy – 6x + 2y = 6 2x ( 2y – 3) + ( 2y – 3 ) = 3 (2x +1)(2y – 3) =3

Vì x,y nguyên nên 2x+1 và 2y-3 là ước của 3

Học sinh tính được các nghiệm là:(-1;0),(0;3),(-2;1),(1;2)

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ

điểm

Trang 4

- Đường thẳng qua I vuông góc với MN cắt AH tại điểm K

- HS chứng minh được tam giác MIK và tam giác NIK bằng nhau Suy ra MK = NK

- HS chứng minh được tam giác AKB và tam giác AKC bằng nhau.Suy ra KB = KC

Trang 5

4 4 2 2

n n

Ta có: K=

5 2

9 ) 5 2 ( 2 2

n n

=

1-5 2

9

2  n

n

Do n2-4n+5=(n2-2n)-(2n-4) +1= (n-2)(n-2)+1 = (n-2)2 +1  1 với mọi n

5 2

9 1

9 5 2

9 1

5 2

1

2 2

Vậy Giá trị nhỏ nhất của K là -8 khi n = 2

(

0,5đ 0,5 đ 0,5đ

0,5đ

-Hết -

Trang 6

ĐỀ BÀI Bài 1 (4 điểm)

a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58

b/ Chứng minh rằng nếu m2 + mn + n2 chia hết cho 9 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3

Bài 4 (6 điểm):

Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N Gọi I là giao điểm của MN với BC

a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định

Trang 7

2014



0,5

0,75 0,5

0,25 Bài 1

2S S 2101 1  S 2101 1 2101   S P

Vậy S < P

0,25 0,75 0,25

0,5 0,25

x 3

  (thoả mãn đk) + Với x 1 2x 1 0 2x 1 2x 1

2



Ta có 3x 2x 1 23x2x 1 2

15x 1 x

5

    (không thoả mãn ĐK) Vậy x=3

0,25

0,5 0,25

0,25 0,25

025

0,25

Trang 8

f x 3x 7x 10

0,5 0,25

0,25

0,25 0,5 0,25 Bài 3

Trang 9

a

3,0

Chứng minh DBM  ECN

 DM = EN Chứng minh DMI  ENI  IM = IN

Hay I là trung điểm của MN

1,0

0,25 1,25 0,5 Bài 4

Vì AB = AC  AO là đường trung trực của BC  OB=OC

Vì I là trung điểm của MN  OI là đường trung trực của MN

 OM = ON

Vì DBM  ECN  BM = CN Xét OBM và OCN có

0,25

0,25 0,25 0,5

0,5 0,5 0,5

0,25

Bài 5 Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử xyz 0,5

E D

A

Trang 10

0,5 0,25

0,25

Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa

-Hết -

Trang 11

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

a) BAM = ACM· · và BH = AI

b) Tam giác MHI vuông cân

2) Cho tam giác ABC có góc Â = 900 Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh

Trang 12

16 2

0,5

1,0 0,5

d c b a b

d c b a a

d c b

Trang 13

t t z

z ( ) y x

y y x

x (

Bài 4

0,25

1.a/

2,75 đ

* Chứng minh: BAM·  ·ACM

+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)

+ Chỉ ra: ·BAH ·ACI (cùng phụ ·DAC)

+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)

=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)

0,5 0,25 0,25 0,25

0,5 0,75 0,25

Trang 14

+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)

AE  ABCBAEHADDACBAEEAHHADDACEAC

(Vì µBvà HAC· cùng phụ với ·BAH)

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*)

+ Tương tự chứng minh được AB = BD (**)

+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC

0,25 0,25

0,50 0,25

-Hết -

Trang 15

ĐỀ BÀI Câu1: (1 điểm)

Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Trang 16

+, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);

2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 ( 0,75đ)

Câu 4:

Gọi chữ số của số cần tìm là a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18

Trang 17

 số đó phải chia hết cho 9

Vậy (a + b + c ) chia hết cho 9 (1) (0,5đ)

Tacó: 1  a + b + c  27 (2) ( 0,5đ)

Vì 1  a  9 ; b  0 ; 0  c  9

Từ (1) và (2) ta có (a + b + c) nhận các giá trị 9, 18, 27 (3) (0,25đ) Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,25đ)

Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 2  chữ số hàng đơn

Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)

Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1) (0,5đ)

Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ)

So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD (0,25đ)

b.(1đ)

Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)

Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2) (0,5đ)

Trang 18

ĐỀ BÀI Câu 1 ( 1,5 điểm)

a) Thực hiện phép tính: A=

12 5 6 2 10 3 5 2

2 3 4 9 5 7 25 49 (2 3) 8 3 (125.7) 5 14

Câu 2 ( 2 điểm) Tìm x , y , biết :

Câu 5 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối của

tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE =

AC a) Chứng minh rằng : BE = CD

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD Chứng minh M,A,N thẳng

hàng

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C

trên tia Ax Chứng minh BH + CK  BC

d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

Câu 6: (1điểm) Cho A(x) = x+ x2 +x3 + + x99 +x100

a) Chứng minh rằng x = -1 là nghiệm của A(x)

b) Tính A(x) tại x = 1

2 .Hết

Họ và tên : Số báo danh:

Lưu ý : Cán bộ cọi thi không giải thích gì thêm

Trang 19

ĐỀ SỐ: 05

.Câu Ý

Biểu điểm

Thay vào (2) ta được: b = 1

1 ( 5) 0

x

x x

x x x

y  ; 1

5

x  (thỏa

0,25

Trang 20

mãn)

Ta có x 5  0 với mọi x và 2010

(3y 4)  0 với mọi y Vậy x  5 3y 42010 0 x+5 =0 và 3y - 4 = 0

7 11 7 11 18

a b c d e f

Trang 21

D E

H

K

N M

Do đó : x = -1 là nghiêm của A(x)

0,25 0,25

Trang 22

2 Hay A = 1 - 100

12Vậy : A = 1 - 1100

2 tại x =

1 2

0,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa -Hết -

Trang 23

ĐỀ BÀI Câu 1: (4,5 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức: 4: 1 2 4: 1 5

Câu 4: (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C) Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N MN cắt BC tại I

1) Chứng minh rằng: DM = EN

2) Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN

3) Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại

I Chứng minh rằng: BMO CNO Từ đó suy ra điểm O cố định

Trang 24

0,5 0,25 0,5 0,25 1) (1,5đ) Từ ;

0,5 0,5

0,5 2) (1,5đ) Từ (x - 2)(x + 2

3

0,25

0,5 0,5

Trang 25

Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta được:

Trang 26

Chú ý:

1 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

2 Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm

-Hết -

mà đây là hai góc kề bù nên COAN

Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh

0,5 0,25

Câu 5:

(1,5đ)

D G

E

H

F A

Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE Ta có

Mà CEG· ·EBCECB CEH· ;· ·EAC·ECA;

Do đó: EBC· ·ECB·EAC·ECA;(1) Măth khác: EBA EBC· · ECB· ECA· ;(2)

Trang 27

a c b c

c b

a a

b

2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự

định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2  2x 2013 với x là số nguyên

2) Tìm các số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+ y + z = xyz

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho xAy· =600 có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C Từ C kẻ

CM vuông góc với Ay tại M Chứng minh:

a ) K là trung điểm của AC

b ) KMC là tam giác đều

c) Cho BK = 2cm Tính các cạnh của AKM

Trang 28

a c b c

c b

0.25đ 0.25đ

0.25đ

Câu 2

(5

điểm)

2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x (x là số tự nhiên khác 0)

Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt

là: a, b, c

0,5 đ

Trang 29

0,25đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,25đ 1) Ta có: A 2x 2  2x 2013  2x 2  2013 2  x

 2x  2 2013 2  x  2011

Dấu “=” xảy ra khi (2 2)(2013 2 ) 0 1 2013

2

x  x   xKL:……

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Thay vào (*) ta được 1 y  z yz => y – yz + 1 + z = 0

0,25đ 0,25đ

Trang 30

a, ABC cân tại B do CAB·  ·ACB( MAC· ) và BK là đường cao 

BK là đường trung tuyến

 K là trung điểm của AC

b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )

 BH = AK ( hai cạnh tương ứng) mà AK = 1

2AC  BH = 1

Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều

c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 =

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,5đ 0,25đ

Lưu ý: - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm

- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ

-Hết -

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	374,5 KB