Đề thi HSG 18 môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 6Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 01ĐỀ BÀIBài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính a) A=1.2.3…9 1.2.3…8 1.2.3…8.8 b)B= c)C = 70.( + + )d)Thực hiện phép tính: B = Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết :a) + = b) c) d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm) a). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36.Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho A B; C B. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tính số đo của . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho = 900. Tính số đo .Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = + + + + + So sánh T với 3 Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ………………Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tínha) A = 1.2.3…9 1.2.3…8 1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9 1 8) = 0b) B = c) C = 70.( + + ) = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) = 70.13.( ) = 39 d ) B = = = = 0,50,50,250,250,250,250,250,250,250,250,50,250,25Bài 2: (4.0 điểm)a) + = 4 = 4 = TH1: 2x = 2x = 2x = x = TH2: 2x = 2x = + 2x = x = Vậy x= ; x = b) Vậy x = 21 c) Vậy d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 x = 4 Vậy x = 4 0,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,250,25Bài 3: (4.0 điểm)a)Gọi số tự nhiên cần tìm là aVì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a 2 chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 do đó a 2 là BC(3, 4, 5, 6) + BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 + Lập luận a 2 a Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất và chia cho 7 thì dư 3 nên a = 122b)x + y + xy = 40(y+1)x + y + 1= 41(x + 1)(y + 1) = 41 Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41 Tính được (x, y) c)Theo đề bài ta có: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyên)Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1) a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2)Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13 là bội của 4.9 = 36Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k 1) + 23Vậy a chia cho 36 dư 230,50,50,50,250,250,50,250,250,50,250,25Bài 4: (6.0 điểm) a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7(cm) Vậy AC = 7cmb) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức: = + => = = 550 – 300 = 250c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp) Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD+ Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BDTính được = = Trường hợp 2: Tia Bz, và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD + Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BATính được = + = 0,750,50,50.251.00.50.50.50.50.50.5Bài 5: (2.0 điểm)T = + + + + + 2T = 2 + + + + + 2T –T= 2 + + +…….+ + T= 2+ + +………+ Đặt N = + +………+ Ta có 2N = 1+ + +………+ 2NN= 1 Vậy N < 1Nên T< 2+1 =3 Vậy T 2x = 6 => x=3Câu d: (1 điểm) x …… = x – 10( + + + + …….+ ) = x – 10 ( ) = x = x = 1Vậy x = 1: = 0,50,50,50,51,00,250,50,25Bài 3(4.0 điểm)Câu a: (2 điểm)Gọi số học sinh phải tìm là (x thuộc N) thì và Theo đề ta có V× vµ nªn Với ta có Vậy trường đó có tất cả 710 học sinhCâu b: (2 điểm) Ta có: Vì a,b là các số nguyên nên 2a + 1 là số nguyên lẻ. Suy ra 2a+1 là ước của 14. Ta xét các trường hợpTH1: Nếu 2a+1 = 1 thì b=14. => a=0; b = 14TH2: Nếu 2a+1 = 1 thì b=14. => a=1; b =14TH3: Nếu 2a+1 = 7 thì b=2. => a=3; b = 2TH4: Nếu 2a+1 = 7 thì b=2. => a= 4; b = 2 KL: a=0; b = 14a=1; b =14a=3; b = 2a= 4; b = 2 0,750,50,50,250,50,250,250,250,250,250,25Bài 4(6.0 điểm) Câu a: (2 điểm) Trên tia Ox có OA > OB nên B nằm giữa O và A.(1) Khi đó ta có: OB + BA = OA Suy ra: 4+ BA = 8 Nên BA = 4 (cm) . Mà OB = 4 cm nên OB = BA (2)Từ (1) và (2) ta có B là trung điểm của đoạn thẳng OA.Câu b: (4 điểm) Trường hợp 1: Hai tia Oy và Oz nằm trên cùng nửa mặt phằng bờ là đường thẳng chứa tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox có nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz. Do vậy ta có: Vậy: Trường hợp 2: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phằng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Ox. Do Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox và nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz. Từ đó ta có: Vậy: 0.50.50,50.50.250,751,00,250.751,0Bài 5(2.0 điểm)Ta có: Vì là số tự nhiênnên Vậy A chia hết cho 20170,750,250,50,5Ghi chú: Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm.Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 6Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ SỐ: 03ĐỀ BÀICâu 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (1).(1)2.(1)3.(1)4… (1)2010.(1)2011b) B = 70.( + + )c) C = + + + biết = = = .Câu 2. (4,0 điểm) Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) = b) x : ( ) = Câu 3. (3,0 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh Câu 4. (2,5 điểm)

“Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 01 ĐỀ BÀI Bài 1: (4.0 điểm) Thực phép tính a) A=1.2.3…9 - 1.2.3…8 - 1.2.3…8.8 b) B= c) C = 70.( + + ) d) Thực phép tính: B = Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết : a) + = b) c) d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, chia cho dư b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 c) Khi chia số tự nhiên a cho ta số dư chia a cho ta số dư Tìm số dư phép chia a cho 36 Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc = 550 Trên tia Bx; By lấy điểm A, C cho A B; C B Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho = 300 a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b Tính số đo c Từ B vẽ tia Bz cho = 900 Tính số đo Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = + So sánh T với + + + + Họ tên thí sinh: ………………………………… ; Số báo danh ……………… Chú ý: Cán coi giao lưu khơng giải thích thêm “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01 Bài 1: Thực phép tính (4.0 a) A = 1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…8.8 điểm) = 1.2.3…8.(9 - - 8) =0 0,5 0,5 b) B = 0,25 0,25 0,25 0,25 c) C = 70.( + + ) 0,25 = 70.( + = 70.13.( = 70.13.( = 39 + + ) 0,25 + ) 0,25 0,25 ) 0,5 d)B= 0,25 = 0,25 = = Bài 2: (4.0 điểm) a) + =4 =4- 0,25 = TH1: - 2x = 2x = - 2x = x= TH2: - 2x = 2x = + 2x = x= Vậy x= 0,25 0,25 0,25 ;x= 0,25 b) “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” 0,25 0,25 0,25 Vậy x = 21 0,25 c) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy Bài 3: (4.0 điểm) d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 x =4 Vậy x = a) Gọi số tự nhiên cần tìm a Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư nên a - chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho a - BC(3, 4, 5, 6) + BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 0,25 0,5 + Lập luận a - a Mà a số tự nhiên nhỏ chia cho dư nên a = 122 b) x + y + xy = 40 (y+1)x + y + 1= 41 (x + 1)(y + 1) = 41 Mà x, y nguyên => x +1 y + ước 41 Tính (x, y) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 c) Theo đề ta có: a = 4p+3 = 9q + ( p, q nguyên) Suy a + 13 = 4p + + 13 = 4(p + 4) (1) a + 13 = 9q + + 13 = 9(q + 2) (2) 0,25 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Từ (1) (2) ta nhận thấy a + 13 bội mà (4,9) = nên a + 13 bội 4.9 = 36 Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23 Vậy a chia cho 36 dư 23 0,5 0,25 0,25 a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C => AC = AD + CD = + = 7(cm) Vậy AC = 7cm 0,75 0,5 0,5 0.25 b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức: = + => = = 550 – 300 = 250 1.0 0.5 0.5 Bài 4: (6.0 điểm) c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình hai trường hợp) - Trường hợp 1: Tia Bz BA nằm nửa mặt phẳng có bờ BD + Lập luận tia BA nằm hai tia Bz BD Tính = = 0.5 - Trường hợp 2: Tia Bz BA nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ 0.5 BD + Lập luận tia BD nằm hai tia Bz BA 0.5 Tính = + = 0.5 , Bài 5: (2.0 điểm) T= + + + + + 2T = + 2T –T= + + + + 2+ - + - +…….+ - + - 0.75 T= 2+ Đặt N = + +………+ + - +………+ “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Ta có 2N = 1+ + +………+ 0.5 0.5 0.25 2N-N= 1Vậy N < Nên T< 2+1=3Vậy T 2x = => x=3 Câu d: (1 điểm) 1,0 3 20 20 20 20 20 x-…… = 11  13 13  15 15  17 17  19 53  55 11 3 2 2 x – 10( + + + + …….+ )= 11  13 13  15 15  17 17  19 53  55 11 3 1 x – 10 ( )= 11 55 11 3 x= 11 11 3 x=1 3 4 Vậy x = 1: = Bài (4.0 điểm) 0,25 0,5 0,25 Câu a: (2 điểm) Gọi số học sinh phải tìm x (x thuộc N) x  10  BC 10,12,15,18  657  x  800 BCNN 10, 12, 15, 18   2.32.5  180  x  10  180.k  k  N *  Theo đề ta có 657  x  800  667  x  10  810  667  180.k  810 Vì k N * 667 180.k 810 nªn k  Với k  ta có x  180.k  10  180.4  10  710 Vậy trường có tất 710 học sinh Câu b: (2 điểm) Ta có: a 1 2a  1       2a  1 b  14 14 b 14 b - Vì a,b số nguyên nên 2a + số nguyên lẻ Suy 2a+1 ước -14 Ta xét trường hợp TH1: Nếu 2a+1 = b=-14 => a=0; b = -14 TH2: Nếu 2a+1 = -1 b=14 => a=-1; b =14 TH3: Nếu 2a+1 = b=-2 => a=3; b = - TH4: Nếu 2a+1 = -7 b=2 => a= - 4; b = KL: a=0; b = -14 a=-1; b =14 a=3; b = - a= - 4; b = 0,75 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Bài (6.0 điểm) y O B x A Câu a: (2 điểm) Trên tia Ox có OA > OB nên B nằm O A.(1) Khi ta có: OB + BA = OA Suy ra: 4+ BA = Nên BA = (cm) Mà OB = cm nên OB = BA (2) Từ (1) (2) ta có B trung điểm đoạn thẳng OA Câu b: (4 điểm) Trường hợp 1: Hai tia Oy Oz nằm nửa mặt phằng bờ đường thẳng chứa tia Ox 0.5 0.5 0,5 0.5 0.25 y z O B A x ·  xOz · Trên nửa mặt phẳng bờ Ox có xOy nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz Do ta có: 0,75 ·  ·yOz  xOz ·  600  ·yOz  900  ·yOz  900  600  300 xOy Vậy: ·yOz  300 1,0 * Trường hợp 2: Hai tia Oy Oz nằm hai nửa mặt phằng đối bờ đường thẳng chứa tia Ox 0,25 y O B A x z Do Oy Oz nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox ·yOx  xOz ·  1500  1800 nên tia Ox nằm hai tia Oy Oz 0.75 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Từ ta có: ·yOz  ·yOx  xOz ·  ·yOz  600  900  ·yOz  1500 1,0 Vậy: ·yOz  1500 Bài (2.0 điểm) Ta có:   1 A  1.2.3 2016       2016   2017 2017   2017  1.2.3 2016      1008.1009   1.2016 2.2015 1    1.2.3 2016.2017      1008.1009   1.2016 2.2015 1   - Vì 1.2.3 2016      số tự nhiên 1008.1009   1.2016 2.2015 1   nên 1.2.3 2016.2017     M2017 1008.1009   1.2016 2.2015 Vậy A chia hết cho 2017 Ghi chú: - Bài hình khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng chấm điểm Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết 10 0,75 0,25 0,5 0,5 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” qng đường lại sau thứ là: 42-12=30 km Vậy quãng đường AB là: 12+30.8=252km Thời gian xe chạy từ A đến B là: 252:42= Đặt =a 9.a +1 = Ta có A = = = + =a.(9a+3)=3a.(3a+1) = a +1= + +2.a=a.( +2)=a.(9a+1+2) Vậy A tích hai số nguyên liên tiếp (Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa) Hết 27 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 07 ĐỀ BÀI Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A     11   2012       1        b/ B  1  1   1   1     2011 2012 Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1      2 (2n) 2n  3n  4n  Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A    n 3 n 3 n3 b/ Chứng minh : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao Bài (3.0 điểm) : Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A số phương Hết 28 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 07 CÂU NỘI DUNG a/ A     11   2012 A  (2  2012)  (2012  2) :  1 :  675697 1           2012         2011 B                 2   3   4   2011 2011  2012 2012  2010 2011 B  2011 2012 B 2012    ĐIỂM 2.0  b/ B  1  1   1   1     2011 2012 Câu 2.0 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x   55 (1) 3y  Để x nguyên 3y –  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = => 3y = => y = 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = Câu (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = 53 (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 1 1      2n Ta có 1 1     (2n) 1 1 A     2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1  1 1 1  A              42 n   1.2 2.3 3.4 (n  1)n  A 1 1 1 1 1 A            1 2 3 (n  1) n  29 2.0 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” 1 1 A  1    (ĐPCM) 4 n 2n  3n  4n  Cho biểu thức : A    n3 n3 n3 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên Ta có : Câu A 2n  3n  4n  (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2n   3n   4n  n       1.0 n3 n3 n 3 n3 n3 n3 A n 3 4  1 (2) n3 n3 A nguyên n – Ư(4) = 1; 2; 4; 1; 2; 4 => n  4;5;7; 2;1; 1 b/ Tìm n để A phân số tối giản n 1 (Theo câu a) n3 Xét n = ta có phân số A = phân số tối giản 3 Ta có : A  Xét n  ; Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => (n + 1) Md (n – 3) Md => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn => A phân số tối giản Kết luận : Với n = A phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba số phương Ta có : 1.0 ab  ba  (10a  b)  (10b  a )  10a  b  10b  a  9a  9b  9(a  b)  32 (a  b) Vì => a,b  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 =>  a- b  Câu Để ab  ba số phương a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện tốn 43 73 30 3.0 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Hình vẽ D C y (a+20)o (a+10)o x 22o ao 48o A B O 2.0 E Câu Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB · · (a  10  a ) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD COD  COA · · => ·AOC  COD  DOB  ·AOB o o => a + (a + 10) + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB · Ta có : ·AOy  180o  BOy  180o  48o  132o  ·AOx  22o Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy ·  ·AOy  22o  xOy ·  132o  xOy ·  132o  22o  110o => ·AOx  xOy c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên o · · AOC  COD · AOD  · AOD  a o   a  10   2a o  10o  2.50o  10o  110o · Vì AOx · AOD(22o  110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD 1.0 1.0 · · · · => AOx  xOD · AOD  22o  xOD  110o  xOD  110o  22o  88o Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Cho A  102012  102011  102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có :     A  103 102009  102008  102007  102006   8.125 102009  102008  102007  102006  Câu   A  125 102009  102008  102007  102006  1 M (1) Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư 31 1.5 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A  102012  102011  102010  102009  có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Hết 32 1.5 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 08 ĐỀ BÀI Bài 1( điểm) : Tính cách hợp lý : a/ (124.237+152) : (870 +235 122) b/ 123 456456 – 456.123123 1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 a  2a  Bài (2 điểm) :Cho biểu thức A  a  2a  a  c/ A = a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Bài ( điểm): So sánh a/ 222333 333222 b/ A= 1+2+22+23+…+29 B= 5.28 Bài (1 điểm): Tìm số dư phép chia A = 38  36  32004 cho 91 Bài 5(1điểm) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài (2 điểm) a/.Cho đoạn thẳng AB = 8cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho BC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng AC b/.Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm chúng Hết 33 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 08 C âu Đáp án Câu ( 2điểm) a/ Đặt Số bị chia = A; số chia = B Biểu điểm 1,0điểm biến đổi phần tích biểu thức A A = 152+ [ (122+2) x (235+2) ] = 152+[ (122 x 235) +244+470+4) ] = 152+[ (122 x 235) + 718 ] = 152 + 718 + (122 x 235) = 870+(122 x 235) Ta có A = B Vậy A/B = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5điểm b/ Nhận thấy biểu thức hiệu số P phải tính rút 123 x 456 làm thừa số chung Phần lại ( 1001 – 1001 ) = => P = 0,5 1.5.6  2.10.12  4.20.24  9.45.54 điểm c/ 1.3.5  2.6.10  4.12.20  9.27.45 1.5.6 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9  1.5.6  2 = 1.3.5 1  2.2.2  4.4.4  9.9.9  1.3.5 Câu (2 điểm) a a  2a  (a  1)(a  a  1) a  a  Tacó: A  =  a  2a  a  (a  1)(a  a  1) a  a  1,0điểm 0,75 đ 0,25đ 1,0 b 2 Gọi d ước chung lớn a + a – a +a +1 Vì a + a – = điểm (0,25đ) a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ (0,5đ) 2 Mặt khác, = [ a +a +1 – (a + a – 1) ] d Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố 0,25 đ Vậy biểu thức A phân số tối giản a/ 1,0 333 3.111 111 111 111 Ta có 222 = (2.111) = (111 ) 111 điểm 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) 333 222 Suy ra: 222 > 333 (0,5đ) b/ Ta có 1,0 A = 210 - điểm 8 10 B= x = (1+2 ) x = + Vậy A < B 0,5 đ 0,5 đ 1,0 Ta có điểm 0,25 đ   729   728M 91 Điều kiện a ≠ -1 C âu (2 điểm) C âu (1 điểm)       3  1  3  1   (3 )  1  11  A chia cho 91  A  38  36  32004  38  32  36   32004   32    32 6 34 334 0,25 đ “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” dư 11 C âu ( điểm) 0,5 đ 1,0 điểm Từ 1; 2; ………; n có n số hạng Suy +2 +…+ n = (n  1).n Mà theo ta có +2 +3+… +n = aaa Suy (n  1).n = aaa = a 111 = a 3.37 0,25 đ Suy ra: n(n+1) = 2.3.37.a Vì tích n(n+1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n+1 chia hết cho 37 0,25 đ (n  1).n Vì số có chữ số Suy n+1 < 74  n = 37 n+1 = 37 0,25 đ 37.38 +) Với n= 37  703 ( loại) 36.37  666 ( thoả mãn) +) Với n+1 = 37 Vậy n =36 a = Ta có: 1+2+3+… + 36 = 666 Câu (2điểm) 0,25 đ a.Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối tia BA Hai tia BA, BC hai tia đối  B nằm A C  AC = AB + BC = 12 cm C A 2,0điểm 1,0đ 0,5đ B A B C *TH : C thuộc tia BA C nằm A B (Vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB BC = cm b - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại nên tạo 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 = 10100 giao điểm -Do giao điểm tính hai lần nên số giao điểm : 10100 : = 5050 giao điểm Lưu ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm -Hết 35 0,5đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 09 ĐỀ BÀI Bài 1: (6 điểm)Tính: a) 59 : 57 – 70 : 14 – 21 b) 32 + 23 10 – 81 : c) Tính A= 1 1 1      10 40 88 154 238 340 Bài 2: (4 điểm) a) Tìm số nguyên x cho 4x – chia hết cho x – b) Tìm số tự nhiên a b thoả mãn 5a  7b 29 (a;b) =1  6a  5b 28 Bài ( điểm) Số học sinh trường học xếp hàng , hàng 20 người 25 người 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ Tính số học sinh trường đó, biết số học sinh trường chưa đến 1000 Bài 4( điểm) Cho góc xOy xOz , Om tia phân giác góc yOz Tính góc xOm trường hợp sau: a) Góc xOy 1000 ; góc xOz 600 b) Góc xOy  ; góc xOz  (    ) Bài ( điểm) Chứng minh : A=10n + 18n - chia hết cho 27 ( n số tự nhiên ) -Hết 36 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 09 Bài 1:6 điểm a/ 59 : 57 – 70 : 14 – 21 = – – 3.7 = 21 – 21 = – 21 ( điểm) b/ 32 + 23 10 – 81 : = 2 + 23 = (3 + 22 ) = 58 (2 điểm) c/ 3A= 3 3 3      2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20 5 = 20 20 ( điểm) 1 1 1 1       11 11 14 14 17 17 20 =      =  Suy A= 20 ( điểm) Bài : điểm a) (1đ) Ta có 4x – = 4x – + = 4(x - 2) + 0,5 điểm Vì 4(x-2) chia hết cho x – nên để 4(x - 2) + chia hết cho x-2 phải chia hết cho x - Hay x -  Ư(5) = Ư(5)=  1;1;5;5 x nguyên 0,5điểm Lập bảng ta có: x-2 -1 -5 x -3 0,5 Vậy: x = { -3 ; 1; 3; 7} 0,5 b) (1đ) 140a + 196b = 174a + 145b 2a = 3b (*) 0,5 Vì (a;b)=1 (2;3)=1 nên (*) xảy a chia hết cho b chia hết cho , suy a = 3p; b =2q (p;q số tự nhiên) 0,5 Thay vào (*) : 6p = 6q , suy p = q 0,5 Vì (a;b)=1 nên (3p;2q) = p = q , suy p = q = Vậy a=3 ; b=2 0,5 Câu : (4 điểm) Gọi số học sinh trường x 0,5 x:20 dư 15 , suy x-15 chia hết cho 20 0.5 x:25 dư 15 , suy x-15 chia hết cho 25 0,5 x:30 dư 15 , suy x-15 chia hết cho 30 0,5 37 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Suy x-15 BC(20;25;30) 0,5 BCNN(20,25,30)=300 x1800 (0,5đ) Câu : (2 điểm) A=10n -1 - 9n +27n= 99  - n)+27n    -9n+27n = 9( 11 1đ n n Vì n tổng chữ số 11  nên ( 11  1-n) chia hết cho n 0,5 đ n Vậy A chia hết cho 27 0,5 đ Hết - 38 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ: 10 ĐỀ BÀI Câu : (2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm) a Cho a, b, n ∈N* Hãy so sánh b Cho A = ; B= So sánh A B Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, ., a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Ta có: = Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2 + a + ( 0,25 điểm) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1)] chia hết cho d Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2: = 100a + 10b + c = n2 - (1) = 100c + 10b + c = n – 4n + (2) (0,25 điểm) Từ (1) (2) ⇒ 99(a - c) = 4n – ⇒ 4n – chia hết cho 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 99 < n2 - < 1000 ⇔100 < n2 < 1001 ⇔10 < n < 31 ⇔ 39 < 4n – < 119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) (4) ⇒ 4n – = 99 ⇒n = 26 39 “Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp (có đáp án chi tiết)” Vậy: = 675 ( , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈Z) ⇔a – n2 = 2006 ⇔(a - n)(a + n) = 2006 (*) (0,25 điểm) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a - n) chia hết cho (a+n) chia hết vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m + 2007= 3(m + 669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm Ta xét trường hợp ⇔a=b TH1: = =1 (0 , ,5 điểm) ⇔a>b ⇔a+m > b+n TH1: Mà (0,5 điểm) có phần thừa so với có phần thừa so với TH3: Khi , < nên < (0,25 điểm)