Hệ thức vieete và ứng dụng

I Lý do chọn đề tàiTừ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơngtrình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán.. Hệ thức còngiúp

I ) Lý do chọn đề tài

Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơngtrình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán Hệ thức còngiúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm làbao nhiêu

Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bàitoán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , cácphép tính trên 2 nghiệm của phơng trình Việc tính mỗi nghiệm của phơng trìnhtheo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số Trong trờng hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loạitoán này

Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quantrọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớpchọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫnhọc sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II ) Nội dung đề tài

B ) Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao

1 ) Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh

Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ?

b

x x

a

− − + = = < nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m

m ≠ 0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?

Giải

Ta có a = 1 > 0 , c = - m2< 0 với mọi m ≠ 0

Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức

Vi - ét : P = x x1, 2 = −m2 < 0 Do đó x1và x2 trái dấu

S = x1 + =x2 10 nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) (3đ)

Cho phơng trình x2 − ( m − 1) x m − 2 + − = m 2 0 (1) (với m là tham số)

a) Giải phơng trình trên với m = 2

b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu ∀ m

c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x1, x2 Tìm m để biểu thức

1 17 2

x x

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ∀m

c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x1, x2

Từ kết quả phần b có x1, x2 ≠ 0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x1, x2 tính theo

a a

( 1) 0

1 01

m m m

⇔ − − =

⇔ − =

⇔ =

* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2

2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm

Bài tập 4: Cho phơng trình : x2 −(m−1)x m− 2 + − =m 2 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2

Phong trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ − + 7 m2 < ⇔ − 0 7 < <m 7

Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có

Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện − 7 < <m 7)

Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm

âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia

Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)

Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có

4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một

2) Theo kết quả phần a có x x x x1, , ,2 3 4 ≠0

và x1 = y x1, 2 = − y1

x3 = y x2, 4 = − y2

m M

a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Trong trờng hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy

2 2

2 11

21

m m m m m m

m m

⇔ = ±Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0

m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0

Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8

Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)

Xét phuơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số

m m

2 2

m2 = 1

3

−( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m ≠ 0 vµ m 1

4

−

≥ )VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x x1 , 2 tho¶ m·n

2 2

1 2 1 2 4

x + −x x x =

c) Gäi n ∈N* ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m ≠ 0 )

n x n

+

= − + lµ ph©n sè ∈QKÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ

3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng

Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt

tham sè :

Bµi tËp 11 : Cho ph¬ng tr×nh x2- ax + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm x x1, 2

a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc

Trõ 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1+ −x2 x x1 2 =1 , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ

x2 kh«ng phô thuéc vµo a

Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña k , ph¬ng tr×nh

a) 7 x2+ kx -23 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu

b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2

Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức

x = −b)Với m = 5 , ta có phơng trình bậc hai : x2 − 5x+ = 1 0

b) Gäi x x1, 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh r»ng

1 2 1 2

88

Khi đó x1+x2 =2m >0 Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng

Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)

Xét phơng trình mx2 +(2m−1)x m+ − =2 0 vói m là tham số

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x1, x2thoả mãn 2 2

1 2 1 2 4

x + −x x x −b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có

nghiệm hữu tỉ

III) Ph ơng pháp tiến hành

Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp

Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh cách giải các bài tập phức tạp hơn Các

em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tơng

tự

IV) Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu

Học sinh khối lớp 9 trờng THPT Hòn Gai

V) Tổng kết và rút kinh nghiệm

Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu đợc là học sinh

đã hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán này Bằng phơng pháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng bài tập Giáoviên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh

Các tài liệutham khảo khi giảng dạy loại toán cần áp dụng hệ thức Vi ét

1) SGK và sách giáo viên lớp 9 cải cách

2) “ Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên

3) Báo toán học và tuổi thơ 2” của Bộ Giáo Dục

4) Các đề thi TS và thi chuyên chọn hàng năm của các tỉnh trên toàn quốc5) “ Bài tập nâng cao Đại số 9” của Vũ Hữu Bình