Đề thi GTMT cấp TP 2008-2009

PHÒNG GD&ĐT TP TUY HOÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2008 – 2009 LỚP 9 THCS Ngày thi: 24/12/2008 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Điểm toàn bài thi Chữ ký của giám khảo Số phách (Trưởng Ban chấm thi ghi) Bàng số Bằng chữ GK 1: GK 2: Chú ý: - Đề thi này gồm có 03 trang, - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này, Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức: a, A = '0'02 '02'0'0'02 2445cot3770 1532cos2630cos.3020sin1215sin gtg − ++ b, B = ( ) [ ] 5,12: 2441 21 12333,05,3: 3 1 39,12:3,4 4 33 121212,242,97:47,419,14       −+ +− Bài 2: (5 điểm) a, Tính giá trị của x từ phương trình: ( ) 7 4 96,21: 8 7 4. 4 1 53: 21 12 6 32 15 7 24 1 3: 18 1 53,0.:32,16175,12 +       +− ++ x = 8,68 b, Tính giá trị của biểu thức với x = 1,208: C = xxxx x xx ++ + − 1 : 1 2 Bài 3: (5 điểm) a, Tính kết quả đúng (không sai số) của: D = 24 122 008 2 b, Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (tìm chu kì của nó): 23 19 , 29 30 . 23 19 = 29 30 = 1 A ≈ B = ĐỀ CHÍNH THỨC ≈ x C ≈ D = Bài 4: (5 điểm) Giải phương trình: 77218213 22 +++++ xxxx = 2 Tập nghiệm của phương trình là: Bài 5: (5 điểm) Cho P( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 6, P(2) = 8, P(3) = 10, P(4) = 12. a, Xác định các hệ số a, b, c, d của P(x). b, Tính P(2008). c, Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho 5x + 7. a = b = c = d = P(2008) = r = Bài 6: (5 điểm) Cho dãy số U 1 = 1; U 2 = 2; U n+1 = 3U n + 4U n-1 với n ≥ 2. a, Lập quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính cầm tay. Khai báo loại máy: b, Tính U 3 , U 4 , U 18 , U 19 . U 3 U 4 U 18 U 19 Bài 7: (5 điểm) Dân số thành phố Tuy Hoà hiện nay là 151 600 người. Người ta dự đoán đến cuối năm 2015 dân số của thành phố Tuy Hoà sẽ là 165 945 người. a, Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của thành phố Tuy Hoà là bao nhiêu? Tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của thành phố Tuy Hoà là: b, Với tỉ lệ tăng dân số hằng năm như vậy, hỏi đến cuối năm 2020 dân số thành phố Tuy Hoà sẽ là bao nhiêu? Đến cuối năm 2020, dự đoán dân số thành phố Tuy Hoà sẽ là: Bài 8: (5 điểm) Tính chiều cao một hình thang cân có diện tích bằng 12 cm 2 , đường chéo bằng 5 cm. Chiều cao của hình thang cân là : 2 Bài 9: (5 điểm) Tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm. Tính độ dài BC. BC = Bài 10: (5 điểm) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi R 1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R 2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. a, Tính cạnh AB của hình thoi theo R 1 và R 2 . b, Tính diện tích hình thoi ABCD theo R 1 và R 2 . c, Biết R 1 = 6 1 4 cm, R 2 = 8 1 3 cm. Tính diện tích hình thoi ABCD. a, AB = b, S ABCD = c, S ABCD = HẾT PHÒNG GD&ĐT TP TUY HOÀ 3 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009 (Theo cách giải trên máy tính Casio fx – 570 MS) Bài 1: (5 điểm) a, A ≈ 0,153113182 (2,5 điểm) b, B = 1598,6 = 5 3 1598 5 7993 = (2,5 điểm) Bài 2: (5 điểm) a, ≈ x 0,413234204 (2,5 điểm) b, C ≈ 4,807692308 (2,5 điểm) Bài 3: (5 điểm) a, D = 581 871 269 952 064 (2,5 điểm) b, 23 19 = 0,(8260869565217391304347) (1 điểm) 29 30 = 1,(0344827586206896551724137931) (1,5 điểm) Bài 4: (5 điểm) Tập nghiệm của phương trình là: { } 1;6 −− (5 điểm) Bài 5: (5 điểm) a, a = -10; b = 35; c = -48; d = 28 (2 điểm) b, P(2008) = 16 176 717 280 860 (2 điểm) c, r = 195,0816 (1 điểm) Bài 6: (5 điểm) a, Viết đúng quy trình (2 điểm) b, Kết quả U 3 = 10; U 4 = 38 (1 điểm) U 18 = 10 307 921 510; U 19 = 41 231 686 042 (2 điểm) Bài 7: (5 điểm) a, ≈ r 1,3 % (2,5 điểm) b, A ≈ 177 016 người (2,5 điểm) Bài 8: (5 điểm) Chiều cao của hình thang cân bằng 4 cm hoặc bằng 3 cm (5 điểm) Bài 9: (5 điểm) BC = 6 cm hoặc BC = 4 cm (5 điểm) Bài 10: (5 điểm) a, AB = 2 2 2 1 21 2 RR RR + (2,5 điểm) b, S ABCD = 22 2 2 1 3 2 3 1 )( 8 RR RR + (1,5 điểm) c, S ABCD = 24 cm 2 (1 điểm) 4 PHÒNG GD&ĐT TP TUY HOÀ BÀI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009 (Theo cách giải trên máy tính Casio fx – 570 MS) Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức: a, A = '0'02 '02'0'0'02 2445cot3770 1532cos2630cos.3020sin1215sin gtg − ++ A ≈ 0,153113182 (2,5 điểm) b, Ta có: 24,121212… = 24,(12) = 33 796 99 2388 99 242412 == − 0,12333… = 0,12(3) = 300 37 900 111 900 12123 == − Nên: B = ( ) [ ] 5,12: 2441 21 12333,05,3: 3 1 39,12:3,4 4 33 121212,242,97:47,419,14       −+ +− = ( ) 5,12: 2441 21 . 300 37 5,3: 3 1 39,12:3,4 4 33 . 33 796 2,97:47,419,14       −+       +− B = 1598,6 = 5 3 1598 5 7993 = (2,5 điểm) Bài 2: (5 điểm) a, Tính giá trị của x từ phương trình: ( ) 7 4 96,21: 8 7 4. 4 1 53: 21 12 6 32 15 7 24 1 3: 18 1 53,0.:32,16175,12 +       +− ++ x = 8,68 ≈ x 0,413234204 (2,5 điểm) b, Tính giá trị của biểu thức với x = 1,208: C = xxxx x xx ++ + − 1 : 1 2 Đặt , 2 axax =⇒= a > 0, a ≠ 1 C = ⇒ ++ + − aaa a aa 234 1 : 1 C = ⇒ − 1 1 2 a C = 1 1 − x C ≈ 4,807692308 (2,5 điểm) Bài 3: (5 điểm) a, Tính kết quả đúng (không sai số) của: D = 24 122 008 2 D = 24 122 008 2 = (2 412.10 4 + 2008) 2 = 5 817 744.10 8 + 9 686 592.10 4 + 4 032 064 Tính trên giấy nháp: 581 774 400 000 000 + 96 865 920 000 4 032 064 D = 581 871 269 952 064 (2 điểm) 5 b, Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 23 19 , 29 30 * Chia 19 cho 23: Lần 1: 19 ÷ 23 = 0,826086956 (dư 19, viết ≈ 23 19 0,826086956) Lần 2: 19 EXP 9 ÷ 23 = (826086956,5) X 23 - 826086956 X 23 = (12) (dư 12, viết ≈ 23 19 0,826086956) Lần 3: 12 EXP 9 ÷ 23 = (521739130,4) X 23 - 521739130 X 23 = (10) (dư 10, viết ≈ 23 19 0,826086956521739130) Lần 4: 10 EXP 9 ÷ 23 = (434782608,7) X 23 - 434782608 X 23 = (16) (dư 16, viết ≈ 23 19 0,826086956521739130434782608) Lần 5: 16 EXP 9 ÷ 23 = (695652173,9) X 23 - 695652173 X 23 = (21) (dư 21, viết ≈ 23 19 0,826086956521739130434782608695652173) Lần 6: 21 EXP 9 ÷ 23 = (913043478,3) X 23 - 913043478 X 23 = (6) (dư 6, viết ≈ 23 19 0,82608695652173913043478260869565217391304347) Làm tương tự, ta đi đến đáp số: 23 19 = 0,(8260869565217391304347) (1,5 điểm) 29 30 = 1,(0344827586206896551724137931) (1,5 điểm) Bài 4: (5 điểm) Giải phương trình: 77218213 22 +++++ xxxx = 2 (1) Đặt 77 2 ++ xx = y , điều kiện: y ≥ 0. Phương trình (1) có dạng: 3y 2 + 2y – 5 = 0 (2) Giải phương trình (2) trên máy tính, ta được: y 1 = 1 (thoả mãn) và y 2 = 3 5 − (loại) Suy ra: 067177 22 =++⇒=++ xxxx (3) Giải phương trình (3) trên máy tính, ta được: 1 1 −= x và 6 2 −= x Vậy, tập nghiệm của phương trình (1) là: { } 1;6 −− (5 điểm) Bài 5: (5 điểm) Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 6, P(2) = 8, P(3) = 10, P(4) = 12. a, Xác định các hệ số a, b, c, d của P(x): Nhận xét: P(1) = 6 = 2 . 1 + 4;P(2) = 8 = 2 . 2 + 4 P(3) = 10 = 2 . 3 + 4;P(4) = 12 = 2 . 4 + 4 Xét đa thức: P 1 (x) = P(x) – (2x + 4) Ta có: P 1 (1) = P 1 (2) = P 1 (3) = P 1 (4) = 0 Điều này chứng tỏ 1; 2; 3; 4 là các nghiệm của P 1 (x). Nên: P 1 (x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) Suy ra: P 1 (x) = x 4 – 10x 3 + 35x 2 – 50x + 24 Ta có: P(x) = P 1 (x) + (2x + 4) (1) Suy ra: P(x) = x 4 – 10x 3 + 35x 2 – 48x + 28 6 Vậy: a = -10; b = 35; c = -48; d = 28 (2,5 điểm) b, Tính P(2008): Từ đẳng thức (1) ở câu a, ta có: P(2008) = (2008 – 1)(2008 – 2)(2008 – 3)(2008 – 4) + 2 . 2008 + 4 = 2007 . 2006 . 2005 . 2004 + 4020 = 4 026 042 . 4 018 020 + 4020 = (402 . 10 4 + 6042)(401 . 10 4 + 8020) + 4020 = 161 202 . 10 8 + 3 224 040 . 10 4 + 2 422 842 . 10 4 + 48 460 860 Cộng trên giấy: 16 120 200 000 000 32 240 400 000 + 24 228 420 000 48 460 860 P(2008) = 16 176 717 280 860 (1,5 điểm) c, Số dư r trong phép chia đa thức P(x) cho 5x + 7: r = P( 5 7 − ) = 195,0816 (1 điểm) Bài 6: (5 điểm) Cho dãy số U 1 = 1; U 2 = 2; U n+1 = 3U n + 4U n-1 với n ≥ 2. a, Lập quy trình bấm phím tính U n+1 trên máy tính cầm tay: Khai báo loại máy: Casio fx – 570MS Gán giá trị: A = 1 (số hạng U 1 ) (1 SHIP STO A) B = 2 (số hạng U 2 ) (2 SHIP STO B) C = 2 (biến đếm) (2 SHIP STO C) Ghi vào màn hình máy tính: C = C + 1 : A = 3B + 4A : C = C + 1 : B = 3A + 4B Ấn phím = nhiều lần, thì lần lượt xuất hiện số thứ tự và giá trị của từng số hạng kể từ số hạng U 3 trở đi. (2 điểm) b, Tính U 3 , U 4 , U 18 , U 19 : U 3 = 10; U 4 = 38 (1 điểm) U 16 = 644 245 094; U 17 = 2 576 980 378 Khi tính U 18 ta dùng máy tính kết hợp với giấy nháp: Ta có: U 18 = 3U 17 + 4U 16 3U 17 = 7 730 941 134 + 4U 16 = 2 576 980 376 U 18 = 10 307 921 510 (1 điểm) Tính tương tự ta có: U 19 = 41 231 686 042 (1 điểm) Bài 7: (5 điểm) Dân số thành phố Tuy Hoà hiện nay là 151 600 người. Người ta dự đoán đến cuối năm 2015 dân số của thành phố Tuy Hoà sẽ là 165 945 người. a, Áp dụng công thức: n a A r = - 1 với: a là số dân hiện tại r là tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm A là số dân dự đoán sẽ có sau n năm Tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của thành phố Tuy Hoà là : 7 3,1012999617,01 151600 165945 7 ≈≈−= r % (2,5 điểm) b, Áp dụng công thức: n raA )1( += Đến năm 2020, dự đoán dân số thành phố Tuy Hoà sẽ là : A = 151 600(1 + 0,013) 12 ≈ 177 016 người (2,5 điểm) Bài 8: (5 điểm) Tính chiều cao một hình thang cân có diện tích bằng 12 cm 2 , đường chéo bằng 5 cm. Giải : Gọi BH là đường cao của hình thang cân ABCD. Dễ thấy : 2 CDAB DH + = Đặt : xBH = , yDH = ta có: ( ) ( )    ±=− =+ ⇔      =− =+ ⇔      −=−+ +=++ ⇔    = =+ 1 7 1 49 24252 24252 12 25 2 2 22 22 22 yx yx yx yx xyyx xyyx xy yx Suy ra: ,4 = x 3 = y hoặc 3 = x , 4 = y Vậy chiều cao của hình thang cân bằng 4 cm hoặc bằng 3 cm (5 điểm) Bài 9: (5 điểm) Tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm. Tính độ dài BC. Giải: Gọi D, E, F là tiếp điểm của (O) với AB, AC, BC. Ta có: AD = AE, BD = BF, CE = CF Nên: AD + BF + CF = ( ) 1020. 2 1 2 1 ==++ CABCAB cm Đặt: xBC = , yAD = Ta có: 10 =+ yx (1) Tam giác AMN đồng dạng với tam giác tam giác ABC. 8 y x HD C A B D E O A F C N B M Suy ra: 24 20 24,2 =⇒=⇒ ∆ ∆ = xy y xABCchuvi AMNchuvi BC MN (2) Từ (1) và (2) ta có: ( ) 024102410 2 =+−⇒=− xxxx (3) Giải phương trình (3) trên máy tính, ta được: 6 1 = x và 4 2 = x Vậy: BC = 6 cm hoặc BC = 4 cm. (5 điểm) Bài 10: (5 điểm) Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi R 1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và R 2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. a, Tính cạnh AB của hình thoi theo R 1 và R 2 . b, Tính diện tích hình thoi ABCD theo R 1 và R 2 . c, Biết R 1 = 6 1 4 cm, R 2 = 8 1 3 cm. Tính diện tích hình thoi ABCD. Giải: a,Gọi E là trung điểm của AB. Trung trực của AB cắt AC tại O 2 và BD tại O 1 . Ta có: O 2 A = O 2 B = O 2 D = R 2 Nên đường tròn (O 2 ; R 2 ) ngoại tiếp tam giác ABD. Và: O 1 A = O 1 C = O 1 B = R 1 Nên đường tròn (O 1 ; R 1 ) ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: S ABCD = 2 OA . OB. Ta tính OA, OB: Ta có: ∆AOB đồng dạng ∆AEO 2 2 2 2 2R AB OA AO AB AE OA =⇒=⇒ ∆AOB đồng dạng ∆O 1 EB 1 2 1 2R AB OB BO AB EB OB =⇒=⇒ . Suy ra: 21 4 4 . RR AB OBOA = Xét tam giác AOB, ta có:         +=+=+= 2 2 2 1 4 2 1 4 2 2 4 222 4 1 4 1 44 RR AB R AB R AB OBOAAB ⇒ 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 4 4 1 RR RR AB RR RR AB + =⇒ + = ⇒ 2 2 2 1 21 2 RR RR AB + = (2,5 điểm) 9 O 2 O 1 C A D O B E b, Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 4 2 4 1 21 16 . 4 1 . RR RR RR OBOA + = Suy ra: ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 1 8 RR RR S ABCD + = (1,5 điểm) c, 24 = ABCD S cm 2 (1 điểm) 10 . kể thời gian phát đề) Điểm toàn bài thi Chữ ký của giám khảo Số phách (Trưởng Ban chấm thi ghi) Bàng số Bằng chữ GK 1: GK 2: Chú ý: - Đề thi này gồm có 03. PHÒNG GD&ĐT TP TUY HOÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2008 – 2009 LỚP 9 THCS Ngày thi: 24/12/2008 Thời