Chứng minh rằng phương trình trên cĩ một nghiệm duy nhất và là một hợp số.. Tính khoảng cách giữa tâm đường trịn nội tiếp và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ.. Chứng minh rằng cĩ ít
Trang 1Phòng GD-ĐT thành phố Quy nhơn
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ -NĂM HỌC 2009-2010. Ngày kiểm tra : 07 / 01 / 2010
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1 (4đ) : Tính giá trị của các biểu thức sau
b) B 1 2 2 23 42 2 -2008 +20092 2
Câu 2 (4điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
a) y x 2 2x 2 x
b) Cho hai đa thức :
f x x 7x 7x 49x 12x 84 và g x x2 2
Hãy tính giá trị của tích : g a g b g c g d g e ; biết rằng f x cĩ thể phân tích thành
f x x a x b x c x d x e
Câu 3 (3điểm) : Cho phương trình 1 1
x 2 x 52a với a là tham số a) Giải phương trình trên
b) Giả sử a p 2 với p là một số nguyên tố.
Chứng minh rằng phương trình trên cĩ một nghiệm duy nhất và là một hợp số.
Câu 4 (3 điểm) :
Một tam giác cĩ các cạnh với độ dài 6 ; 8 và 10 Tính khoảng cách giữa tâm đường trịn nội tiếp và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đĩ
Câu 5 (3điểm) :
Trong hình trịn cĩ diện tích bằng 2010 , người ta lấy 2011 điểm bất kỳ , trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng cĩ ít nhất 3 điểm tạo thành một tam giác cĩ diện tích bé hơn 2 ? Câu 6 (3 điểm) :
Các cạnh của một tam giác vuơng cĩ độ dài là các số nguyên Hai trong các số đĩ là các số nguyên tố và hiệu của chúng bằng 50 Hãy tính giá trị nhỏ nhất cĩ thể cĩ được của cạnh thứ ba ?
Trang 2Phòng GD-ĐT Tp Quy nhơn ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS-2009-2010
MÔN TOÁN Thời gian : 150 phút
Câu 1 (4đ) :
Câu a (2điểm) :
+Nêu được
Câu b(2 điểm) :
+Viết lại : B 1 2 32 22 52 42 + 2009 2 20082 (0,5điểm)
+Tính : B 1 2 3 4 5 +2008+2009 (1,0 điểm)
2009.2010 B
2
Câu 2 (4đ) :
Câu a (2điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2x 2 x
+Viết được :
2x 2 x 2 x 2x 4 khi x 1
y -2x 2 x 2 x 2x khi 1 x 2 2x 2 x 2 x 4 khi x 2
(1,0điểm)
Câu b)
+Ta có : g(a).g(b).g(c).g(d).g(e) = (a 2 – 2).(b 2 – 2).(c 2 – 2).(d 2 - 2).( e 2 – 2) (0,5điểm)
=a 2 a 2 e 2 e 2 (0,5điểm) =
Kết quả = 2 57 2 4 7 2 3 49 2 212 2 84 257 24 7 23 49 2212 2 84
y
x
2 2
- 2
- 4
- 1 4
Trang 3Câu 3 (3 điểm) :
+Phương trình trên tương đương với
26a 1 x 26a 1 26a 1
+Nếu a 1
26
thì x 26a 1
Và a 1
26
thì x 2đều là nghiệm của phương trình (0,5điểm)
Câu b) Nếu a = p 2 , hiển nhiên a 1
26
, do đó 2
x 26p 1là nghiệm duy nhất
Ta cần chứng minh với p là số nguyên tố thì x 26p 21 là hợp số
*Nhận xét : -Nếu p = 2 , 3 thì x = 26p 2 + 1 là hợp số
-Nếu p 2 , 3 thì p có thể viết dưới dạng : 3k 1
Khi đó : x 26 9k 26k 1 1 3 78k 252k 9 cũng là hợp số.
Câu 4 (3điểm) :
+Hình vẽ : (0,5đ)
+Nhận xét : Tam giác ABC vuông, giả sử tại A.
ABC
1
r AB BC AC 12 2
12.r 24 r 2
CJ CI 6 OI 1
(0,5ñ) (0,5ñ)
O'O O 'I OI 2 1 5
O 'O 5
( Nếu HS sử dụng công thức d 2 = R 2 – 2Rr để tính đúng chỉ cho 1 điểm cho toàn bộ câu này -Nếu chứng minh được công thức rồi tính thì cho điểm tối đa )
Câu 5 (3 điểm) :
+Chia hình tròn thành 1005 hình quạt tròn bằng nhau
+Vì có 2011 điểm nên tồn tại 1 quạt tròn chứa ít nhất 3 điểm ( không thẳng hàng ) (1,0đ)
+Do đó : Tồn tại tam giác (nội tiếp 1 quạt) có diện tích bé hơn 2 (1,0đ)
Câu 6 (3điểm) :
Nhận xét :
+Các cạnh tạo thành một bộba Pytago nên một cạnh góc vuông phải là số chẵn (0,5đ)
+Do hiệu của hai cạnh bằng 50 và do bất đẳng thức trong tam giác nên một cạnh tam giác vuông không thể là 2 Suy ra các số nguyên tố đã cho không thể đều là cạnh góc vuông (0,5đ)
+ Gọi các số nguyên tố đó là p và q , với q = 50 + p
Cạnh góc vuông là a (có độ dài là số chẵn Khi đó : q2 – p2 = (q – p).(q + p) = 50(q + p) = 50.(2p + 50) = 100.(p + 25 ) = a2 (1,0đ)
Suy ra p + 25 phải là số chính phương
Số p nhỏ nhất như thế là 11 (0,5đ)
và do a2 = 100 36 nên a = 10.6 = 60 (0,5đ)
- hết
-Quy nhơn , Tháng 01 năm 2010 (Lưu hành nội bộ)
A
B
O ’
I
C J
r
R
O
8