Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2015–2016 Khóa ngày 09 tháng năm 2015 Mơn thi: TỐN (CHUN TỐN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2015 2015 x 2014 2016 x 2015 2016 Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trình ( x 2)(x x ) (4m 1) x 8m (x ẩn số) Tìm m để phương trình có ba nghiệm 2 phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x3 11 Câu 3: (2,0 điểm) �x y x y ( x 1)( y 1) � 2 a) Giải hệ phương trình: � �x � �y � � � � � � �y � �x � � b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x2 + y2 + z2 = Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: Px (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 y2 1 z2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) , Giả sử B , C cố định A di động đường tròn cho AB < AC AC < BC Đường trung thực đoạn thẳng AB cắt AC BC P Q Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AB BC M N a) Chứng minh OM.ON=R2 b) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q nằm đường tròn c) Giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN CPQ cắt S T , gọi H hình chiếu vng góc B lên đường thẳng ST Chứng minh H chạy đường tròn cố định A di động Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a,b hai số thay đổi thoã mãn điều kiện a > 0, a + b ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 8a b b 4a b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x x x y 32 x y 39 A ĐÁP ÁN Câu 1: 2015 2015 x 2014 2016 x 2015 2016 (1) 2015 ĐK: x � 2016 (1) (2015 2015 x 2014 2015) ( 2016 x 2015 1) 2015( 2015 x 2014 1) ( 2016 x 2015 1) 2015(2015 x 2015) 2016 x 2016 0 2015 x 2014 2016 x 2015 � � � � 20152 2016 � � ( x 1) � � 2015 x 2014 2016 x 2015 �1 4 4 4 4 4 4 43 � 2015 � � 0 x � 2016 � � x (thoả mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình (1) {1} Câu 2: ( x 2)( x x ) (4m 1) x 8m 0(1) ( x 2)( x x ) (4m 1)( x 2) ( x 2)( x x 4m 1) x2 � �2 x x 4m 0(2) � Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 4(4m 1) � �2 4m �0 � 16m � � 4m �3 � � 3 m � � 16 � 3 � m� � Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt (2) ⇒ (1) có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 = (*) Theo định lí Vi–ét: x1 + x2 = 1, x1x2 = 4m + (**) Thay (*) (**) ta có: x12 x2 x32 11 ( x1 x2 ) x1 x2 11 2(4m 1) m 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = –1 giá trị cần tìm Câu 3: �x y x y ( x 1)( y 1) � 2 a) � �x � �y � � � � � � y � � �x � � (1) (2) ĐK: x ≠ –1; y ≠ –1 (1) x( x 1) y ( y 1) ( x 1)( y 1) x y 1 y 1 x 1 Đặt a x y ;b , hệ phương trình cho trở thành y 1 x 1 a b 1 a b 1 a b 1 a b 1 � � � � � � � �2 2 2ab ab a b 1 (a b) 2ab � � � � � a0 � �x � � � b 1 � �y � � a 1 � �x � � � b0 � � �y (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1), (1;0) b) P x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 1 y2 1 z2 Xét ( x y z ) x y z 2( xy yz zx ) xy yz zx (x y z )2 ( x y z ) Thay x + y + z = x2 + y2 + z2 = ta có xy + yz + zx = Thay = xy + yz + zx ta có: (1 y )(1 z ) (xy yz zx y )(xy yz zx z ) ( y z )( y x)( z y )( z x) x x x x( y z ) 2 1 x xy yz zx x ( x y )( x z ) Tương tự ta có: (1 z )(1 x ) y y ( z x) 1 y2 (1 x )(1 y ) z z (x y ) 1 z2 Cộng vế ba đẳng thức ta có P xy xz yz yx zx zy 2( xy yz zx ) Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z Câu 4: a) Gọi I, J trung điểm AB, AC ∆ OAB cân O có OI đường cao kẻ từ đỉnh O nên OI phân giác góc O, suy BOI BOA(1) Theo quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung AB (O): BCA BOA(2) Từ (1) (2) suy BOI=BCA (3) Xét ∆ OBI vng I có góc ngồi OBM: OBM 90O BOI (4) Xét ∆ NJC vng J có góc ngồi ONB: ONB 90O BCA(5) Từ (3), (4), (5) suy OBM=ONB OBM ~ ONB ( g.g ) OB OM OM ON OB R ON OB b) Chứng minh tương tự câu a, ta có OQ.OP R OM ON OQ.OP OM OP OQ ON Xét ∆ OMP ∆ OQN có: �MOP chung � �OM OP OMP ~ OQN (c.g c ) �OQ ON � OMP OQN OMP NQP 180o ⇒ Bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn c) Ta chứng minh O, S, T thẳng hang Gọi T’ giao điểm khác S OS với đường tròn ngoại tiếp ∆ BMN Khi MNST’ tứ giác nội tiếp, nên OSN OMT ' OSN ~ OMT '( g.g ) OS ON OS OT ' OM ON OM OT ' OS OT ' OQ.OP OS OQ OP OT ' Xét ∆ OSQ ∆ OPT’ có: �SOQ chung � �OS OQ OSQ ~ OPT '(c.g c) � �OP OT ' OSQ OPT ' OPT ' QST ' 180o ⇒ T’SQP tứ giác nội tiếp ⇒ T’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ CPQ ⇒ T’ ≡ T Vậy O, S, T thẳng hang BH ⊥ OH ⇒ H thuộc đường tròn đường kính OB Vậy A di động, H ln thuộc đường tròn đường kính OB Câu 5: 8a b b b a) A b 2a b ( a b ) (a ) 4a 4a 4a Vì b 1 a b a 0; a b �1 � ; a �1 b a � b 4a 4a 4a a 1 A �( a b ) ( b ) (a ) (b )2 4a 4a 2 Ta có a 1 �2 a (BĐT Cô–si cho hai số không âm); (b ) �0 4a 4a A � 2 Vậy giá trị nhỏ A đạt a b 2 Dấ u xảy a b b)Ta có: x x x y 32 x y 39 x x3 x 32 x 40 y y ( x 2)2 ( x x 10) (2 y 1) Vì y số nguyên nên 2y – ≠ ⇒ x ≠ Vì (2y – 1)2 (x – 2)2 số phương khác nên x2 + 2x + 10 số phương Đặt x2 + 2x + 10=m2 (m �N * ) suy ( x 1) m (x m)(x m) 9 � �x m � � �x m 1 � � �x m � ( Do x+1+m>x+1-m) � � �x m 9 � �x m � � � �x m 3 � � �x � � m5 � � � �x 5 � � m5 � � � �x 1 � � � m3 � � x = ⇒ (2y – 1)2 = 25 ⇒ y = y = –2 x = –5 ⇒ (2y – 1)2 = 1225 ⇒ y = 18 y = –17 x = –1 ⇒ (2y – 1)2 = 81 ⇒ y = y = –4 Vậy (x;y) nguyên thỏa yêu cầu toán (3;3),(3;–2),(–5;18),(–5;–17),(–1;5),(–1;–4) ... 1: 2015 2015 x 2014 2016 x 2015 2016 (1) 2015 ĐK: x � 2016 (1) (2015 2015 x 2014 2015) ( 2016 x 2015 1) 2015( 2015 x 2014 1) ( 2016 x 2015 1) 2015( 2015... 2015( 2015 x 2015) 2016 x 2016 0 2015 x 2014 2016 x 2015 � � � � 20152 2016 � � ( x 1) � � 2015 x 2014 2016 x 2015 �1 4 4 4 4 4 4 43 � 2015 � � 0 x � 2016 � �... )(1 y ) z z (x y ) 1 z2 Cộng vế ba đẳng thức ta có P xy xz yz yx zx zy 2( xy yz zx ) Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z Câu 4: a) Gọi I, J trung điểm AB, AC
Ngày đăng: 22/03/2019, 17:17
Xem thêm:
