BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại học SưphạmHàNội CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊNNĂM2015Mơnthi :TỐN (Dùng cho thí sinh vào trường chuyên) Thời gian làm 120 phút a b 1 ( + + 1)( − ) b a a b Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P = với a > 0, b > 0, a ≠ b a b2 a b + −( + ) b2 a2 b a 1 Chứng minh P = ab Giả sử a, b thay đổi cho 4a + b + ab = Tìm giá trị nhỏ P x − my = − 4m Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình với m tham số mx + y = 3m + 1 Giảihệ phương trình m = 2 Chứng minh hệ ln có nghiệm với giá trị m Giả sử (x0;y0) nghiệm hệChứng minh 2 đẳng thức x0 + y0 − 5( x0 + y0 ) + 10 = Câu (1,5 điểm) Cho a, b số thực khác Biết phương trình a (a − x ) + b( x − b) = có nghiệm Chứng minh |a| = |b| Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC;ACB nhọn BAC = 60° Các đường phân giác BB1, CC1 tam giác ABC cắt I Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp Gọi K giao điểm thứ hai (khác B) đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC 1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp Chứng minh AK ⊥ B1C1 Câu (1,0 điểm) Tìm số thực không âm a b thỏa mãn 3 1 (a + b + )(b + a + ) = (2a + )(2b + ) 4 2 Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Câu Ta có: a b 1 ( + + 1)( − ) P = b2 a a b a b a b + −( + ) b a b a 2 a b ab a − b ( + + )( ) ab ab ab ab = a b4 a 3b ab3 + − ( + ) a b a b a b a 2b a + b + ab (a − b) ( ) 2 ab ab = 4 a + b − a b − ab3 a 2b (a − b3 )(a − b) 3 = a 3b (a − b )(a − b) a 2b = ab Vậy P = ab 2.Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương 4a b ta có: 4a + b ≥ 4a.b = ab => = 4a + b + ab ≥ ab 1 ab ≤ < ab ≤ 25 => P = ≥ 25 ab a= b = a > b = 4a > 10 Dấu xảy 10a = 4a + b + ab = b = a = 10 Vậy minP = 25 ⇔ b = Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu Cho hệ phương trình: Thay m = 2, hệ phương trình cho trở thành: x − y = −6 2 x − y = −12 −5 y = −19 2 x + y = 2 x + y = 2 x + y = 19 y = x = x + 19 = y = 19 5 19 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ; ÷ 5 Ta có: x − my = − 4m x = my + − 4m mx + y = 3m + m(my + − 4m) + y = 3m + x = my + − 4m x = my + − 4m(1) 2 m y + 2m − 4m + y = 3m + (m + 1) y = m + + 4m (2) Phương trình (2) phương trình bậc ẩn y có hệ số a = m2 + ≠ ∀m nên phương trình (2) có nghiệm m + + 4m ∀m m2 + Thay vào (1) ta được: x = my + − 4m y = m + m + 4m3 + 2(m + 1) − 4m(m + 1) m2 + 3m − 3m + = m2 + = 3m − 3m + m + + 4m Do đó: ∀ m, hệ phương trình cho có nghiệm (x0;y0) = ( ; ) m2 + m2 + 2 *Chứng minh đẳng thức x0 + y0 − 5( x0 + y0 ) + 10 = (*) Vì (x0;y0) nghiệm hệ phương trình cho nên: x0 − my0 = − 4m m( y0 − 4) = x0 − 2(3) mx0 + y0 = 3m + 1 − y0 = m( x0 − 3)(4) Xét m = ⇒ x0 = y0 = Khi (*) Xét m ≠ Nhân vế (3) (4) ta được: m( y0 − 4)(1 − y0 ) = m( x0 − 2)( x0 − 3) − y0 + y0 − = x0 − x0 + x0 + y0 − 5( x0 + y0 ) + 10 = Vậy đẳng thức cần chứng minh ∀m Câu 3: Phương trình cho tương đương với Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a ( x − 2ax + a ) + b( x − 2bx + b ) = ax − 2a x + a + bx − 2b x + b3 = (a + b) x − x(a + b ) + a + b3 = • Xét a + b = ⇔ b = –a, phương trình (1) trở thành: −2 x ( a + a ) + a − a = −4a x = x = 0( Do a ≠ 0) Do với a + b = (1) có nghiệm x = • Xét a + b ≠ Khi (1) phương trình bậc hai ẩn x Phương trình (1) có nghiệm ∆ = (a + b ) − (a + b)( a + b3 ) = a + 2a 2b + b − (a + ab3 + a 3b + b ) = 2a 2b − ab3 − a 3b = − ab( a − b) = a = b(do ab ≠ 0) Kết luận: Phương trình cho có nghiệm ⇔ b = ±a ⇔ |a| = |b| Câu Ta có B1IC1=BIC (hai góc đối đỉnh) ABC ACB ABC + ACB 180o − BAC − BIC=180o-IBC-ICB=180o= 180o − = 180o − = 120o 2 2 =>B1IC1+BAC=120o+60o=180o Mà hai góc hai góc đối tứ giác AC1IB1 nên tứ giác AC1IB1 tứ giác nội tiếp 2.Vì tứ giác BC1IK tứ giác nội tiếp (gt) nên BKI=AC1I (góc góc ngồi đỉnh đối diện)(1) Vì tứ giác AC1IB1 tứ giác nội tiếp (cmt) nên AC1I=IB1C (góc góc ngồi đỉnh đối diện) (2) Từ (1) (2) suy IB1C=BKI=180o-CKI=>IB1C+CKI=180o Đây hai góc đối tứ giác CKIB1 nên tứ giác tứ giác nội tiếp Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì BC1IK tứ giác nội tiếp nên BKC1 = BIC1 = 180o − BIC = 60o => CKC1 = 180o − BKC1 = 120o => CKC1 + CAC1 = 180o Suy tứ giác AC1KC tứ giác nội tiếp => C1 KA = C1CA (hai góc nội tiếp chắn cung C1A) Và => C1 AK = C1CK (hai góc nội tiếp chắn cung C1K) Mặt khác CC1 phân giác góc C (gt) nên C1CK = C1CA => C1KA = C1 AK Suy tam giác C1AK cân C1 ⇒ C1A = C1K (3) Tương tự ta có: B1A = B1K (4) Từ (3) (4) suy C1B1 trung trực đoạn thẳng AK ⇒ AK ⊥ B1C1 (đpcm) Câu Với x, y không âm, ta có: 1 (x − ) ≥ x + ≥ x(*) Dấu xảy ⇔ x = à ( x − y ) ≥ x − xy + y ≥ x + xy + y ≥ xy ( x + y ) ≥ xy (**) Dấu xảy ⇔ x = y Áp dụng BĐT (*) với x = a x = b ta 1 2 a + b + = (a + ) + b + ≥ a + b + > b + a + = (b + ) + a + ≥ b + a + > 4 2 3 => (a + b + )(b + a + ) ≥ ( a + b + ) (1) 4 Áp dụng BĐT (**) ta được: 2 1 1 1 (a + b + ) = a + ÷ + b + ÷ ≥ 4(a + )(b + ) 4 4 1 = (2a + )(2 b + )(2) 2 3 1 Từ (1) (2) ta suy ra: (a + b + )(b + a + ) = (2 a + )(2b + ) 4 2 Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a = 1 a = b = Dấu xảy b = 2 1 a + = b + Vậy a = b = giá trị cần tìm Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... tứ giác tứ giác nội tiếp Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì BC1IK tứ giác nội tiếp nên BKC1... > b = 4a > 10 Dấu xảy 10a = 4a + b + ab = b = a = 10 Vậy minP = 25 ⇔ b = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365... x0 + y0 − 5( x0 + y0 ) + 10 = Vậy đẳng thức cần chứng minh ∀m Câu 3: Phương trình cho tương đương với Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365