Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân 024.6269.1558 - 0916001075 | cskh@unix.edu.vn| unix.edu.vn Các hướng dẫn mang tính gợi ý rút gọn, khơng phải trình bày mẫu Trong trường hợp em suy nghĩ nhiều mà chưa cách giải phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp Sau xem gợi ý mà em gặp khó khăn lên lớp để hỏi thầy Hình học lớp CB Bài 34: Đường trung tuyến (b2) Bài 1: Cho ΔABC cân A, trung tuyến BM CN cắt G Chứng minh BM = CN Hướng dẫn: Giả sử ABC cân A Ta cần chứng minh hai trung tuyến BM = CN Thật vậy, xét ABM CAN , ta có: AB = AC ( ABC cân A); � A chung; 1 AM AC AB AN 2 � ABM CAN (c.g.c) � BM CN , đpcm Bài 2: Cho ABC , trung tuyến AM nửa cạnh BC Chứng minh ABC vuông A Hướng dẫn: Ta có AM = BC � AM = MB = MC � � ∆AMB cân M � MAB MBA (1) � � ∆AMC cân M � MAC MCA (2) � MAB � MAC � MBA � MCA � BAC Từ (1) (2) suy � � � Mà BAC MBA MCA 180 � Do BAC 90 Vậy tam giác ABC vuông A Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác cạnh a, độ dài ba đường trung tuyến a Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân 024.6269.1558 - 0916001075 | cskh@unix.edu.vn| unix.edu.vn Hướng dẫn: Giả sử ABC có trung tuyến AM, BN, CP Khi đó: Do ABC cân A nên BN = CP AM BC Do ABC cân B nên AM = CP Suy AM = BN = CP Xét MBA vuông M, ta có: a BM BC 2 (vì ABC đều) 2 a �a � 3a AM AB BM a � � � AM �2 � 2 2 Vậy ABC cạnh a ta có AM BN CP a Bài 4: Chứng minh tam giác, trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Hướng dẫn: ABC Xét đường trung tuyến AM, BN, CP, trọng tâm G Giả sử AB < AC ta cần chứng minh CP > BN Thật vậy: Xét ABM ACM , ta có: MB = MC, M trung điểm BC; GM chung; AB < AC � � Do M1 M Xét GBM GCM , ta có: � � MB = MC, M trung điểm BC; GM chung; M1 M 2 GB GC � GB GC � BN CP 3 Do Bài 5: Cho tam giác ABC cân A Từ A hạ AH BC Trên tia đối tia HA lấy điểm M cho HM = HA Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN = BC a) Chứng minh C trọng tâm tam giác AMN b) AC cắt MN I chứng minh HI // AN Hướng dẫn: a) Xét ∆ABH ∆ACH vuông H, có: � � AB = AC; B C (tính chất tam giác cân) Vậy ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền, góc nhọn) Suy BH = CH Xét ∆ANM có HN trung tuyến, mà BC = CN (gt); BH = HC (cmt) Suy HC = CN � CN = 2HC � CN = HN Vậy C trọng tâm tam giác ANM b) Khi AC trung tuyến thuộc cạnh MN nên MI = IN (1) Ta dễ dàng chứng minh ∆AHN = ∆MHN (hai cạnh góc vng) �1 N �2 �N (2) Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân 024.6269.1558 - 0916001075 | cskh@unix.edu.vn| unix.edu.vn Trong tam giác MHN vng H, có MI = IN (theo (1)) Vậy HI trung tuyến thuộc cạnh huyền nên HI = MN � HI = IN � � Suy tam giác HIN cân I � H1 N (tính chất tam giác cân) (3) � � Từ (2) (3) ta có N1 H1 Vậy HI // AN (có hai góc so le nhau) Bài 6*: Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm E tia đối CB lấy điểm F cho BE = CF a) Chứng minh ∆ABC ∆AEF có trọng tâm G b) Nối AG cắt BC M Lấy H trung điểm đoạn AG Nối EG cắt AF N lấy I trung điểm đoạn EG Chứng minh IH // MN IH = MN Hướng dẫn: a) Kẻ trung tuyến AM AM lấy AG = AM Ta có G trọng tâm tam giác ABC Ta chứng minh G trọng tâm tam giác AEF Thật vậy, AM trung tuyến ∆ABC nên BM = MC (1) Theo giả thiết BE = CF (2) Từ (1) (2) ta có BM + BE = MC + CF hay ME = MF Vậy AM trung tuyến thuộc cạnh EF ∆AEF, mà AG = AM, hay G trọng tâm ∆AEF b) Xét ∆GHI ∆GMN, có HG = AG 2 Mà AG = AM, HG = AM = AM (3) GM = AM, GM = HG Ta có G trọng tâm tam giác AEF nên EN trung tuyến, GN = EN (4) 1 IG = EG, IG = EN = EN (5) Từ (4) (5) suy GN = IG � � Vì HGI MGN (đối đỉnh) ∆GHI = ∆GMN (c.g.c) suy ra: HI = MN (cạnh tương ứng) �1 M �1 H (góc tương ứng) mà hai góc vị trí so le nên HI // MN Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân 024.6269.1558 - 0916001075 | cskh@unix.edu.vn| unix.edu.vn Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 ... có AM BN CP a Bài 4: Chứng minh tam giác, trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Hướng dẫn: ABC Xét đường trung tuyến AM, BN, CP, trọng tâm G Giả sử AB < AC ta.. .Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân 024.6269.1558 - 0916001075 | cskh@unix.edu.vn| unix.edu.vn Hướng dẫn: Giả sử ABC có trung tuyến AM,... góc nhọn) Suy BH = CH Xét ∆ANM có HN trung tuyến, mà BC = CN (gt); BH = HC (cmt) Suy HC = CN � CN = 2HC � CN = HN Vậy C trọng tâm tam giác ANM b) Khi AC trung tuyến thuộc cạnh MN nên MI = IN (1)