Bất đẳng thức (I)

Son: Gi ng : Chuyên đề Bất đẳng thức ( I ) I/ Kiến thức cần nhớ: Với hai số a,b : a > b; a < b là các bất đẳng thức. Trong chơng trình Toán lớp 6, chúng ta làm quen với một số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai luỹ thừa; hai phân số .một số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm khoảng giá trị số phải tìm . v.v . */ Tính chất của BĐT a/ Tính bắc cầu: Nếu a > b ; b > c Thì a > c b/ Tính đơn điệu của phép cộng Nếu a > b Thì a + c > b + c c/ Tính đơn điệu của phép nhân Nếu a > b ; c > 0 Thì a.c > b.c c < 0 Thì a.c < b.c d/ Cộng từng vế của các BĐT cùng chiều Nếu a > b; c > d Thì a + c > b + d II/ Các ví dụ A/ So sánh hai số: a/ So sánh hai số tự nhiên VD: Giá tiền 7 quyển vở nhiều hơn giá tiền 8 cái bút chì. Hỏi giá tiền 8 quyển vở và 9 cái bút chì đằng nào nhiều hơn? Giải: Gọi giá tiền 1 quyển vở là x (đ) giá tiền một cái bút chì là y (đ) Theo bài ra ta có: 7x > 8y. Ta cần so sánh 8x và 9y Từ 7x > 8y (1) => 7x > 7y => x > y (2) Cộng từng vế của hai BĐT cùng chiều (1) và (2) ta đợc 7x + x > 8y + y Hay 8x > 9 y Vậy giá tiền 8 quyển vở nhiều hơn giá tiền 9 cái bút chì . b/ So sánh hai phân số */ Các ph ơng pháp th ơng dùng để so sánh hai phân số: 1, Quy đồng mẫu: Trong hai PS cùng mẫu, PS nào có tử nhỏ hơn thì PS đó nhỏ hơn d c b a < <=> a < c 2. Quy đồng tử: Trong hai PS cùng tử , PS nào có mẫu nhỏ hơn thì PS đó lớn hơn d c b a < <=> d < b ( a,b,c,d Z +) 3. Sử dụng tính chất: d c b a < <=> ad < bc ( a,b c,d Z d c b a > <=> ad > bc b > 0; d > 0 ) 4. Sử dụng phần bùtới đơn vị: Hai PS đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phần bù đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó nhỏ hơn. Nếu b a = 1 M ; d c = 1 - K mà M > K Thì b a < d c 5. Sử dụng phần thừa tới đơn vị: Hai PS đều lớn hơn đơn vị, nếu phần thừa đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó lớn hơn. Nếu b a = 1 + M ; d c = 1 + K mà M > K Thì b a > d c 6. Dùng PS trung gian: +/ Chọn một PS trung gian có cùng tử với một trong hai PS đã cho, cùng mẫu với PS còn lại. VD: So sánh 49 12 và 47 13 Chọn PS 47 12 làm PS trung gian, ta có 49 12 < 47 12 (1) 47 12 < 47 13 (2) Từ (1) và (2) => 49 12 < 47 13 +/ Chọn một PS trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai PS VD : So sánh 59 15 và 97 24 Ta thấy 59 15 > 60 15 = 4 1 (1) 97 24 < 96 24 = 4 1 (2) Từ (1) và (2) => 97 24 < 4 1 < 59 15 Nên 97 24 < 59 15 Ngoài ra ta còn hay dùng phơng pháp làm trội, làm giảm. các tính chất của luỹ thừa . để so sánh hai hay nhiều PS. */ Ví dụ So sánh A = 110 110 16 15 + + và B = 110 110 17 16 + + Cách 1: Để so sánh A với B ta đi so sánh 10A với 10B. Ta có: 10A = 110 1010 16 16 + + = 1 + 110 9 16 + 10B = 110 1010 17 17 + + = 1 + 110 9 17 + Dễ thấy 110 9 16 + > 110 9 17 + nên 10A > 10B => A > B Cách 2 Ap dụng tính chất : Nếu b a < 1 thì mb ma + + > b a ( m > 0) Vì B < 1 nên B = 110 110 17 16 + + < 9110 9110 17 16 ++ ++ = 1010 1010 17 16 + + = )110.(10 )110.(10 16 15 + + = 110 110 16 15 + + =A Vậy A > B c/ So sánh hai luỹ thừa Khi so sánh hai luỹ thừa ta thơng dùng các phơng pháp: +/ Đa về cùng cơ số => so sánh hai số mũ +/ Đa về cùng số mũ => so sánh hai cơ số +/ So sánh qua luỹ thừa trung gian Lu ý: Với a m ; a n ( a,m,n N; m> n) +/ Nếu a = 0 hoặc a = 1 thì a m = a n +/ Nếu a > 1 thì a m > a n +/ Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n VD1 So sánh a, 63 7 và 16 12 b, 3 23 và 5 15 c, 127 23 và 513 18 d, 7 32 1 và 9 16 1 e, 7 80 1 và 6 243 1 Ta có a, 63 7 < 64 7 64 7 < 64 8 = ( 4 3 ) 8 = 4 24 = 16 12 Nên 63 7 < 16 12 b, 3 23 = ( 3 3 ) 7 . 3 2 = 27 7 .9 5 15 = ( 5 2 ) 7 .5 = 25 7 . 5 Dễ thấy 27 7 .9 > 25 7 .5 Nên 3 23 > 5 15 c, 127 23 < 128 23 = ( 2 7 ) 23 = 2 161 513 18 > 512 18 = ( 2 9 ) 18 = 2 162 Dễ thấy 2 161 < 2 162 Nên 127 23+ < 513 18 d, 7 32 1 = 7 5 2 1 = 35 2 1 9 16 1 = 9 4 2 1 = 36 2 1 Dễ thấy 35 2 1 > 36 2 1 Nên 7 32 1 > 9 16 1 e, 7 80 1 > 7 81 1 = 7 4 3 1 = 28 3 1 6 243 1 = 6 5 3 1 = 30 3 1 Mà 28 3 1 > 30 3 1 Nên 7 80 1 > 6 243 1 VD2 CMR số 95 8 là một số có 16 chữ số khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân Giải Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 cs là 10 15 Số tự nhiên nhỏ nhất có 17 cs là 10 16 Nh vậy ta cần c/m 10 15 < 95 8 < 10 16 Ta có 95 8 < 100 8 = ( 10 2 ) 8 = 10 16 (1) Giả sử 10 15 < 95 8 => 8 15 95 10 < 1 <=> 8 16 95 10 < 10 Ta có 8 16 95 10 = 8 95 100 = 8 19 20 mà 8 19 20 < . 19 20 18 19 . 17 18 . 13 14 12 13 = 12 20 < 10 Do đó 10 15 < 95 8 (2) Từ (1) và(2) => 10 15 < 95 8 < 10 16 hay 95 8 là số có 16 cs. VD3: Số 2 1991 và 5 1991 viết liền nhau đợc một số có bao nhiêu chữ số? Giải Giả sử số 2 1991 có x chữ số; số 5 1991 có y chữ số ( x; y N) Ta đã biết số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10 x -1 số tự nhiên nhỏ nhất có x+1 chữ số là 10 x => 10 x-1 < 2 1991 < 10 x (*) Tơng tự số tự nhiên nhỏ nhất có y chữ số là 10 y -1 số tự nhiên nhỏ nhất có y+1 chữ số là 10 y 10 y-1 < 5 1991 < 10 y ( **) Nhân từng vế của BĐT (*) và(**) ta có: 10 x-1 . 10 y-1 < 2 1991 . 5 1991 < 10 x . 10 y <=> 10 x+y-2 < 10 1991 < 10 x+y <=> x + y- 2< 1991 < x + y Do x; y N => x + y - 1 = 1991 => x+y = 1992 Hay số 2 1991 và 5 1991 viết liền nhau đợc một số có 1992 chữ số BT vân dụng BT1/ Giá tiền 1 quyển sách, 6 quyển vở, 3 chiếc bút là 7700đ. Giá tiền 8 qyển sách, 6 quyển vở, 6 chiếc bút là 16000đ. So sánh giá tiền 1 quyển sách và 1 quyển vở. BT2/ CMR 2 100 là số có 31 cs khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân . BT3/ So sánh A= 1+2+3+ . +1000 và B = 1.2.3 20 C = 1.2.3 .11 và D = 1+2+3+ . + 1000000. B/ Chứng minh bất đẳng thức VD1: Cho A = 101 1 + 102 1 + 103 1 + . + 200 1 CMR a, A > 12 7 b, A > 8 5 Giải: a, Tách A thành 2 nhóm , mỗi nhóm có 50 số hạng rồi thay môĩ PS trong nhóm bằng PS nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta đợc: A = ( 101 1 + 102 1 + .+ 150 1 ) + ( 152 1 151 1 + + . + 200 1 ) => A > ( 150 1 + 150 1 + . + 150 1 ) + ( 200 1 + 200 1 + . + 200 1 ) 50 số hạng 50 số hạng => A > 150 1 . 50 + 200 1 . 50 = 12 7 4 1 3 1 =+ Vậy A > 12 7 . b, Tách A thành 4 nhóm, lập luận tơng tự nh phần a, ta có A=( 101 1 + 102 1 +. .+ 125 1 )+( 150 1 . 127 1 126 1 +++ )+( 175 1 . 152 1 151 1 +++ ) + ( 200 1 . 177 1 176 1 +++ ) A > 125 1 . 25 + 150 1 . 25 + 175 1 .25 + 200 1 . 25 A > 7 1 6 1 5 1 ++ + 8 1 = 210 107 + 8 1 > 2 1 + 8 1 = 8 5 Vậy A > 8 5 VD2: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp a; a+1; . ; b-1; b trong đó b> a+1. Ghép các số trên thành từng cặp hai số hai đầu và hai só cách đều hai đầu a, CMR hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất; hai số thuộc cặp trong cùng có tích lớn nhất. b, áp dụng CMR 8 5 < 101 1 + 102 1 + 103 1 + . + 200 1 < 4 3 Giải: a, Ta xét hai cặp ( a; b) và ( a+1; b-1) Ta có (a+1) .( b-1) = ab a + b -1 = ab+ b ( a+1) Mà b > a+1 => b- (a+1) > 0 => ab + b- ( a+1) > ab Hay ( a+1) .( b-1) > a.b chứng tỏ rằng tích của hai cặp ngoài cùng nhỏ hơn tích của hai cặp bên cạnh. Từ đó => +/ Hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất +/ Hai số thuộc cặp trong cùng có tích lớn nhất. b, áp dụng: Gọi A= 101 1 + 102 1 + 103 1 + . + 200 1 Ghép các số cách đều hai đầu thành từng cặp; A = + 200 1 101 1 + + 199 1 102 1 + .+ + 151 1 150 1 = 200.101 301 + 151.150 301 . 199.102 301 ++ = 301. +++ 151.150 1 . 199.102 1 200.101 1 Xét mẫu của 50 PS ở trong ngoặc. Theo c/m phần a, thì tích 101.200 có giá trị nhỏ nhất; Tích 150.151 có giá trị lớn nhất . => 200.101 1 lớn nhất ; 151.150 1 nhỏ nhất Do đó A < 301. 200.101 1 .50 = 404 301 < 404 303 = 4 3 (1) A > 301. 151.150 1 . 50 = 453 301 > 453 300 > 480 300 = 8 5 (2) Từ (1) và(2) => 8 5 < 101 1 + 102 1 + 103 1 + . + 200 1 < 4 3 VD3 Cho P = 200 199 6 5 . 4 3 . 2 1 (*) C/m rằng A 2 < 201 1 Giải Trớc hết ta có nhận xét rằng biểu thức P là tích của 100 PS nhỏ hơn 1 trong đó các tử đều lẻ và các mẫu đều chẵn. Ta cần tìm một biểu thức trung gian là tích của các PS mà tử chẵn, mẫu lẻ. Dễ thấy nếu thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi PS của P thì giá trị mỗi PS tăng lên. Ta có P < 201 200 . 7 6 . 5 4 . 3 2 (**) Nhân từng vế của(*) và(**) => P 2 < 200 199 . 6 5 . 4 3 . 2 1 . 201 200 . 7 6 . 5 4 . 3 2 => P 2 < 200 .6.4.2 199 .5.3.1 . 201 .7.5.3 200 .6.4.2 = 201 1 Vậy P 2 < 201 1 ( đpcm) VD4 Cho 6 só tự nhiên khác nhau có tổng bằng 50. CMR trong 6 số đó tồn tại 3 số có tổng lớn hơn hoặc bằng 30. Giải Gọi 6 số đó là a,b,c,d,e,g. Theo bài ra ta có a+b+c+d+e+g =50 Không làm mất tính tổng quát , giả sử a > b > c > d > e > g. +/ Nếu c 9 thì b 10; a 11 Khi đó a + b + c 11+10+9 = 30 # +/ Nếu c 8 thì d 7; e 6; g 5 Khi đó d + e + g 7+6+5 = 18 => a + b + c 32 # VD5: CMR a, A = !100 1 . !4 1 !3 1 !2 1 ++++ < 1 b, B = !1000 9 . !12 9 !11 9 !10 9 ++++ < !9 1 Giải: Ta có a, A = !100 1 . !4 1 !3 1 !2 1 ++++ (1) = 100 .3.2.1 1 . 4.3.2.1 1 3.2.1 1 2.1 1 ++++ Dễ thấy 4.3.2.1 1 < 4.3 1 ; 5.4.3.2.1 1 < 5.4 1 . do đó A < 100.99 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++ = 1- 100 1 < 1 # b, B = !1000 9 . !12 9 !11 9 !10 9 ++++ B < !1000 11000 . !12 112 !11 111 !10 110 ++ + + B < !1000 1 !999 1 . !11 1 !11 1 !10 1 !10 1 !9 1 +++ = !1000 1 !9 1 < !9 1 # BT v©n dông BT1/ Cho A = 1 + 12 1 . 4 1 3 1 2 1 100 − ++++ CMR : a, A < 100 b, A > 50 BT2/ CMR 6 1 < 2222 100 1 . 7 1 6 1 5 1 ++++ < 4 1 BT3/ Cho B = 70 1 . 13 1 12 1 11 1 ++++ CMR a, B > 3 4 b, B < 2,5 BT4/ Cho C = 2222 100 1 . 4 1 3 1 2 1 ++++ CMR: C < 4 3 . Son: Gi ng : Chuyên đề Bất đẳng thức ( I ) I/ Kiến thức cần nhớ: Với hai số a,b : a > b; a < b là các bất đẳng thức. Trong chơng trình Toán. 1.2.3 20 C = 1.2.3 .11 và D = 1+2+3+ . + 1000000. B/ Chứng minh bất đẳng thức VD1: Cho A = 101 1 + 102 1 + 103 1 + . + 200 1 CMR a, A > 12