Bất đẳng thức Boxmath.vn

[...]... + b)(a + b + 2c) ≤ 2 8 (3a + 3b + 2c) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = 2c http:/ /boxmath.vn/ 19 Bài 19 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 + + P = xy + 2 yz + 2 zx + 2 Lời giải: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có P = 1 1 9 1 + + ≥ xy + 2 yz + 2 zx + 2 xy + yz + zx + 6 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x2 + y 2 + z 2 ≥ xy +... 2a + 2b2 + 2c2 + 10ab + 10bc + 10ca 2 4(a + b + c) Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cách 2 Ta có a b c P =√ +√ +√ = (a+b+c) a+c b+c a+b http:/ /boxmath.vn/ √ √ √ √ 1 1 1 +√ +√ − b+c+ a+c+ a+b a+c b+c a+b 12 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có (a + b + c) 1 1 1 √ +√ +√ a+c b+c a+b ≥√ Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: √ √ √ a+b+ b+c+ c+a≤ 9.(a + b + c) √ √ a+b+ b+c+ c+a... a2 + b2 + c2 http:/ /boxmath.vn/ 13 Hay 2 a3 + b3 + c3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Thật vậy, theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a3 + a3 + b3 ≥ 3a2 b a3 + a3 + c3 ≥ 3a2 c a3 + b3 + b3 ≥ 3ab2 a3 + c3 + c3 ≥ 3ac2 b3 + b3 + c3 ≥ 3b2 c b3 + c3 + c3 ≥ 3bc2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được 2 a3 + b3 + c3 ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và... (a − c)2 (a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥0 (2a2 + b2 + c2 )(2c2 + b2 + a2 ) Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương − 2a2 − 2bc 2b2 − 2ac 2c2 − 2ab +1− 2 +1− 2 +1≥3 2a2 + b2 + c2 2b + a2 + c2 2c + a2 + b2 ⇔ cyc http:/ /boxmath.vn/ (a + b)2 ≤3 2c2 + b2 + a2 9 Mặt khác (b + c)2 (b + c)2 b2 c2... b2 bc + c2 ca + a2 http:/ /boxmath.vn/ 28 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2b + (a + b) a + 3b = 2 2 √ √ √ 2a 2 2b 2 2c 2 P ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a 2b.(a + b) ≤ Từ đó: Ta sẽ chứng minh M= a b c 3 + + ≥ a + 3b b + 3c c + 3a 4 M= a2 b2 c2 + 2 + 2 a2 + 3ab b + 3bc c + 3ca Thật vậy, ta có: Theo bât đẳng thức AM-GM ta có: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được... Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 40 Cho a, b, c > 0, abc = 1 Chứng minh rằng: 4a3 4b3 4c3 + + ≥3 (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + b)(1 + a) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 4a3 1+b 1+c + + ≥ 3a (1 + b)(1 + c) 2 2 http:/ /boxmath.vn/ 31 4b3 1+c 1+a + + ≥ 3b (1 + c)(1 + a) 2 2 4a3 1+a 1+b + + ≥ 3c (1 + b)(1 + c) 2 2 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được... x y z Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 8 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: (1 + a3 ) (1 + b3 ) (1 + c3 ) ≥ (1 + ab2 ) (1 + bc2 ) (1 + ca2 ) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được: 1 + a3 1 + b3 1 + b3 ≥ 1 + ab2 3 1 + b3 1 + c3 1 + c3 ≥ 1 + bc2 3 1 + c3 1 + a3 1 + a3 ≥ 1 + ca2 3 Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được 1 + a3 1 + b3... (bc) (ab) 3 ⇔ + + ≥ abc(b + c) abc(a + b) abc(c + a) 2 Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: (ab + bc + ca)2 ≥ 3 (a2 bc + ab2 c + abc2 ) = 3abc(a + b + c) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: (ac)2 (bc)2 (ab)2 (ab + bc + ca)2 3 + + ≥ ≥ abc(b + c) abc(a + b) abc(c + a) 2abc(a + b + c) 2 1 Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 16 Cho a, b, c là các số... 2 c + ab ab ab + c+a c+b √ Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được √ bc 1 ≤ 2 a + bc ab ab bc bc ca ca + + + + + a+c b+c a+b a+c b+a b+c = 1 2 Phép chứng minh hoàn tất 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 10 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: √ √ b 1 √ a c √ +√ ≥√ a+ b+ c +√ a+c b+c a+b 2 Lời giải: Cách 1 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a b c 1 P = √ +... 24 48 6 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được 1 8 1 1 1 3 4 13 13 121 a+b+c+2 + + + ≥ + +1+ + + = ab bc ca abc 2 4 3 3 6 12 Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3, b = 4, c = 2 Bài 24 Cho ab + bc + ca = abc và a, b, c > 0 Chứng minh rằng a4 + b 4 b4 + c 4 c 4 + a4 P = + + ≥1 ab (a3 + b3 ) bc (b3 + c3 ) ac (a3 + b3 ) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a4 + a4 + . Tháp. http:/ /boxmath. vn/ 3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT I. Bất đẳng thức AM-GM. 1. Bất đẳng thức AM-GM cho 2 số. Cho a, b là các số thực không âm. Khi đó bất đẳng thức sau. z 2 x 2 ≥ xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x. zx) 2 ≥ 3xyz(x + y + z) Lời giải: Bất đẳng thức đúng vì khi ta đặt a = xy, b = yz, c = zx thì bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x