Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 bất đẳng thức cauchy A.Bất đẳng thức Cauchy 1.Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm : Cho 0, ba Khi đó ba ba . 2 + Đẳng thức xảy ra ba = Chứng minh: Cách1: (Phơng pháp biến đổi tơng đơng) ba ba . 2 + 0)( 2 2 2 + baab ba Bđt hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra ba = . Cách 2: (Phơng pháp hình học) + Nếu a =0 hoặc b=0 thì Bđt hiển nhiên đúng. + Nếu a>0 và b>0 thì ta đặt: HA=a, HB = b ( Hình vẽ ) baHBHAHCOI ba === + 2 Đẳng thức xảy ra baOHOIHC == 2.Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho 0,, cba Khi đó 3 3 abc cba ++ Đẳng thức xảy ra cba == Chứng minh: áp dụng Bđt Cauchy cho 2 số không âm, ta có 3333 4422)()( abcabcabcabccababccba =++++ 3 3 abccba ++ 3.Bất đẳng thức Cauchy tổng quát Cho 0, .,, 21 n aaa .Khi đó n n i i n i i aa n = = 1 1 1 )( Đẳng thức xảy ra n aaa === . 21 Chứng minh: Cách 1: (Phơng pháp quy nạp) Ta có Bđt )( đúng với n=2. (Bđt Cauchy cho hai số không âm !) Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển 1 C I B A H O Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 Giả sử Bđt )( đúng với n=k , )2( k Ta chứng minh Bđt )( đúng với n=k+1. Thật vậy: Không mất tổng quát ,giả sử 121 + kk aaaa yxachosaoyx k aaa a k k k +== +++ ++ 1 21 1 00 . Theo giả thiết quy nạp ,ta có : k k aaax . 21 ( ) ( ) . 1 . 1 1 11 . 1 . 1 121 121 121 11 11 1 121 + + + + ++ ++ + + + ++++ =+=+= + ++ + += + ++ = + +++ k kk kk kk kkkkk kk k kk aaaa k aaaa aaaayxxyxx k y xkx k y x k yxxk k aaaa Vậy Bđt )( đúng với * Nn . Cách 2: (Phơng pháp hàm số ) Đặt n n i in n i in aBa n A = = == 1 1 , 1 Xét hàm số .0, 1 )( 1 = = x B a B n xf x n i n i n == = = n i n i x n i n n i n i x n i n B a B a B n xf B a B a B n xf 1 2 1 ln 1 )(,ln 1 )( )(00)( xfxxf đồng biến trên [ ) + ,0 . .001ln 1 ln 1 )0()( 1 == = = xB n B a B n fxf n n n n i i n )(xf đồng biến trên [ ) + ,0 . = n i n n i n nB nB a B n ff 1 . 11 )0()1( n n i in n i i aBa n = = = 1 1 1 . Dấu = xảy ra .2,11)0()1( 21 n n aaani B a ff i ====== Cách 3 : (Phơng pháp hàm lồi -Bất đẳng thức Jensen) Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển 2 Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 a. Nếu 0 = i a thì Bđt )( hiển nhiên đúng. b. Nếu nia i .2,10 => ,Xét hàm số .0,ln)( >= xxxf )(00 1 )(, 1 )( 2 xfx x xf x xf >>= = là hàm lồi trên ( ) + ,0 . ( ) ==== n i i n i i n i i n i i a n a n af n a n f 1111 ln 11 ln)( 11 = = n i i n i i a n a n 1 1 ln 11 ln n n i i n i i aa n = = 1 1 1 . Đẳng thức xảy ra n aaa === . 21 . Cách 4: (Polya) Đặt ( ) n aaa n A +++= . 1 21 . Bđt Cauchy )( 21 = BaaaA n n a)Nếu Aaaa n ==== . 21 thì n n Aaaa = 21 ,khi đó dấu = trong )( xảy ra. b)Nếu tồn tại ít nhất một số bé hơn A thì sẽ tồn tại ít nhất một số lớn hơn A. Do vai trò bình đẳng,ta có thể giả sử 21 aAa << . Khi đó thay 1 a bởi Aa = 1 thay 2 a bởi Aaaa += 212 ( ) >=+= + =+ 0)).(( 2121212121 2121 AaaAaaAaaAaaaa aaaa 13232121 . BaaaAaaaaaaaB nnn = = <= Nh vậy trong 1 B có thêm một thừa số bằng A . Nếu trong 1 B vẫn còn thừa số khác A ,thì ta lại tiếp tục thay thế nh trên. Sau tối đa n-2 lần ta sẽ đổi đợc mọi thừa số i a thành A . Khi đó ta có : n Ason n AAAABBBaaa =<<<<= . 2121 . Vậy Bđt Cauchy đã đợc chứng minh. Cách 5: (Sử dụng Bđt Bernoulli) Nếu 0 = j a thì Bđt Cauchy hiển nhiên đúng . Do đó ta chỉ cần xét nja j , .,3,2,1,0 => Đặt nj j aaa S j j , .,2,1, . 21 = +++ = . Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển 3 Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 Từ Bđt Bernoulli .1,,,1)1( * ++ aRaNnnaa n đặt 1+a=t ta đợc + Njttjt j ,0)1(1 Njtjjtt j ,0)1( (1) áp dụng (1) với ., .,3,2, 1 nj S S t j j == Ta đợc [ ] njSaSSjjSSj S S j S S j j j j j jj j j j j j j j , .,3,2,)1()1(. 1 1 1 1 1 11 == . 121 1 121 2 21 1 1 aaaaSaaaSaaSaS nnnn n nnn n nn n n = . Bđt Cauchy đợc chứng minh. Cách 6: Đặt n n i in n i in aBa n A = = == 1 1 , 1 Sử dụng Bđt xe x + 1 , Đẳng thức xảy ra 0 = x . Ta có: n n n n i i n n i n i n i n i n i n i A B a AA a A a A a e == = == === = 111 1 0 1 1exp1exp1 nn BA . Đẳng thức xảy ra n n i aaani A a ===== ., .,2,101 21 . Cách 7: (Cách chứng minh của Kong-Ming-Chong @ Malaysia ) Đặt ) .( 1 21 nn aaa n T +++= .Bđt Cauchy n n n aaaT . 21 (1) *) Nếu n aaa === . 21 thì (1) đúng và xảy ra đẳng thức. *) Nếu n aaa , .,, 21 không đồng thời bằng nhau ,ta sẽ chứng minh n n n aaaT . 21 > (2) Với n=2 ,Bđt (2) hiển nhiên đúng. Giả sử (2) đúng với n=k ( 1 k ). Ta c/m (2) đúng với n=k+1 . Thật vậy : Giả sử 121 , .,, + k aaa không đồng thời bằng nhau và ) .( 1 1 1211 ++ +++ + = kk aaa k T jkiji aTaaa << + 1 chosao, . Giả sử 211 aTa k << + (Nếu cần có thể đánh lại thứ tự ) 00))(( 1 21 1212111 >+< + +++ k kkk T aa TaaaTaT . Xét k số không âm )(,, .,, 121143 ++ + kk Taaaaa ta có [ ] 1121143 )( . 1 +++ =+++++ kkk TTaaaaa k Theo giả thiết quy nạp ta có 1 21 143121143 1 .)( . + +++ + >+> k kkk k k T aa aaaTaaaaaT 1321 1 1 + + + > k k k aaaaT (Đpcm). Cách 8: Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển 4 Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1 Đặt = = n i in a n A 1 1 n n i in aB = = 1 .Khi đó Bđt Cauchy trở thành nn BA . +) Với n=2 ,Bđt đúng. +) Giả sử Bđt đúng với n=k , ta c/m Bđt đúng với n=k+1. Thật vậy Ta có BAa k Aka A k k k k kk = + = + + ++ 1 1 1 11 )1( Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 111 2 + + = + = + = + = + = = + = + += + ++ = + k k i i k i i k i i k i ik k i i k Aa k a k k a k a k k a k a k AA k k k k k k k k k i i k k k k k k i ikk k k ABAaAaaBBAA AA A 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + + + + = + + = + === + = 11 1 1 1 1 ++ + + + + kk k k k k BABA (Đpcm). Cách 9: Ta c/m Bđt : 1 1 1 + + + k k k k k k B A B A (1) Thật vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + = + + = + + = k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k A a k a A B A k A a k aB A aB k akA B A (*) Đặt m A a k k = +1 ( ) m k m k k m k mk k A a k kk k k k = + ++ + += + + = + + ++ + + 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 Do đó , từ (*) suy ra k k k k k k k k k B A m mB A B A = + + + 1 . 1 1 1 (Đpcm) áp dụng (1) ta có nn n n n n n n BA B A B A B A = 1 . 1 1 1 1 1 Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển 5 . THPT Tĩnh Gia 1 bất đẳng thức cauchy A .Bất đẳng thức Cauchy 1 .Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm : Cho 0, ba Khi đó ba ba . 2 + Đẳng thức xảy ra ba. baHBHAHCOI ba === + 2 Đẳng thức xảy ra baOHOIHC == 2 .Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho 0,, cba Khi đó 3 3 abc cba ++ Đẳng thức xảy ra cba == Chứng