TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC AMGM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM GV HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN: PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC LỚP K32.TCS.ĐN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP ĐÀ NẴNG – 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Phương pháp nghiên cứu: Bất đẳng thức AM-GM hệ 1.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM 1.2 Các hệ Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi 10 KẾT LUẬN 13 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong sống nay, nhiều toán đặt để giải phải đưa giải bất đẳng thức nhằm đáp ứng nhu cầu thân xã hội Bên cạnh đó, chương trình bậc học THCS THPT có toán liên quan đến bất đẳng thức kỳ thi Để giải toán đòi hỏi thông minh, tư nhạy bén, vận dụng kiến thức phương pháp học Đề tài nghiên cứu cách tổng quan bất đẳng thức AM-GM số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM Phương pháp nghiên cứu: Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc kiến thức có liên quan để thực đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài bao gồm: Chương I: Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM hệ Chương II: Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức AM-GM hệ Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM 1.1 Với n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: a1  a2  a3   an n  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an 1.2 Các hệ Ta có số bất đẳng thức quen thuộc hệ bất đẳng thức AM-GM sau: 1.2.1 Hệ a  b  2ab  a  b 2 2  a  b  2  2ab Dấu “=” xảy  a = b Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có  ab  a  b  a 2b  2  ab  2ab  a  b a  b Dấu “=” xảy    ab  ab  ab  Từ a  b2  2ab   a  b2   a  b2  2ab   a  b  Do ta có: a  b 2  a  b  2 Dấu “=” xảy  a  b Mặt khác, từ a  b2  2ab  a  b2  2ab  4ab   a  b   4ab Nên  a  b 2  2ab Dấu “=” xảy  a  b 1.2.2 Hệ a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c 2 2 2 a  b  c   ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a = b = c Chứng minh Theo hệ a  b  2ab  2 2 2 2 b  c  2bc  a  b  b  c  c  a  2ab  2bc  2ca c  a  2ca    a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca a  b  Dấu “=” xảy  b  c  a  b  c c  a  Mà a2  b2  c2  ab  bc  ca   a  b2  c    ab  bc  ca   3 a  b  c 2   a  b  c  a b c 2  a  b  c  Dấu “=” xảy  a  b  c Lại có a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c   ab  bc  ca 1.2.3 Hệ Cho a b   2, ab>0 Dấu “=” xảy  a = b b a a hay a   (a > 0) Dấu “=” xảy  a = Chứng minh a b b a Vì ab > nên a, b dấu  ,  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a b a b  2  2 b a b a a b ab  ab     Dấu “=” xảy   b a   2   ab a  b a  b     ab  Nếu coi a b 1 a (a > 0) Như ta có: a   b a a a  a  a  Dấu “=” xảy    a  a  a 1   a  1.2.4 Hệ 1 1 n2       a1 a2 a3 an a1  a2  a3   an hay 1 1 1        n an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an    a1, a2 , a3 , , an  0 Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a1  a2  a3   an  n n a1a2 a3 an  1 1 1 1        n n    an a1 a2 a3 an  a1 a2 a3 1 1 1   a1  a2  a3   an          n an   a1 a2 a3 Chia hai vế bất đẳng thức vừa chứng minh cho a1  a2  a3   an  ta có 1 1 n2        a1 a2 a3 an a1  a2  a3   an a1  a2  a3   an  Dấu “=” xảy   1 1  a1  a2  a3   an      a a a3 an  Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Bài toán Chứng minh rằng:  a2  b2 b2  c2  c2  a2   8a 2b2c2 a, b, c  Giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số không âm ta có a  b  2ab   2 b  c  2bc   c  a  2ca   a  b2 b2  c2  c2  a2   8a2b2c2 ,a, b, c  Bài toán Chứng minh rằng:   a  b  64ab(a  b)2 , a, b  Giải Ta có  a b       a  b    a  b   ab   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số không âm Bài toán a, b, c, d   Cho:  1 1 1  a   b   c   d   CMR : abcd  81 Giải Từ giả thuyết suy  1      b c d bcd  1    33   1    1  = 1 a  1 b   1 c   1 d  1 b 1 c 1 d 1 b  1 c  1 d  Tương tự ta có  bcd 3   b 1  c   d 1  a  cda  1  b  3  c  d  a       dca  1  c  3  d  c  a      abc  3 1  d 1  a   b 1  c              abcd  0 0  0 1  a  1  b  1  c  1  d   81 abcd 1  a  1  b  1  c  1  d  0 , a, b, c, d  ( điều phải chứng minh) 81 Qua ta có Bài toán tổng quát  x1 , x2 , x3 , , xn   Cho:  1 1 1  x   x   x    x  n  n  Chứng minh x1 x2 x3 xn   n  1 n Bài toán  a, b, c  Cho  Chứng minh a  b  c         1  1  1  (1)  a  b  c  Giải Ta có VT (1)  1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b bc ca ab    (đpcm) a b c a b c a b c Từ ta có Bài toán tổng quát   x1 , x2 , x3 , ., xn    x1  x2  x3   xn  Cho:  1 Chứng minh    x1  1   x2  1  x3  1   xn 1   1   n  1 n  Bài toán Chứng minh 1  a bc  1        2      3  1 a  1 b  1 c   1 abc  abc a, b, c    Giải   a  b  c   1  a    b Ta có: 1              1  c      1 a  1 b 1 c       (1) Ta có: 1 a 1 b 1 c  1 ab  bc  ca  a  b  c  abc       1 33 a2b2c2  33 abc  abc   abc   (2)  Ta có: 1 abc  3     1.3 abc     abc (3) Dấu “ = ” (1) xảy  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy  ab = bc = ca a = b = c  a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy  abc =1  abc = Từ ta có Bài toán tổng quát Cho x1, x2, x3, , xn  CMR: x  x   x   n 1    n   n 1  2 n  3   x  x  x  1  n x x .x   2n x x x n n n       2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Bài toán Chứng minh ab  cd   a  c  b  d  a, b, c, d  (1) Giải (1)  ab   a  c  b  d  cd  Theo BĐT Côsi ta có:  a  c  b  d  1 a b  1 c b  1 ac bd  VT        1 1  1(đpcm)    a  c b  c   a  c b  d   a  c b  c  Bài toán Chứng minh a  c  (1) c  a  c   c b  c   ab   b  c    Giải Ta có (1) tương đương với c b  c  c a  c  1 ab ab Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có c b  c   c  a  c    c b  c    a b  c a  c           1(đpcm) ab ab  b a   a b   a b    Bài toán Chứng minh  abc  1  a  1  b  1  c  a, b, c  (1) Giải Ta có biến đổi (1) tương đương 1.1.1  abc  1  a  1  b  1  c   1.1.1 abc 3 1 1 a  1 b  1 c  1 a  1 b  1 c  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1.1.1 1 1  (2)     1 a  1 b  1 c  1 a 1 b 1 c  abc 1 a b c  (3)     1 a  1 b  1 c  1 a 1 b 1 c  Cộng (2) (3) vế theo vế ta có 1 1  1 a b c   a  b  c  1 VT               1  a  b  c  1  a  b  c  1  a  b  c  Dấu “ = ” xảy  a = b = c > Từ ta có Bài toán tổng quát CMR: n a1a2 .an  n bb .bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn    , bi  i  1, n  2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi Bài toán 10 a, b, c  1 Chứng minh P     a b  c  b c  a  c  a  b   abc  Cho  Giải Đặt x  1 , y  , z   xyz  a b c Bài toán trở thành chứng minh: x3 yz y zx z xy x2 y2 z2        yz zx x y y z z x x y Để giải tiếp tục nhận xét điểm rơi x  y  z  P Từ ta giải sau: x2 yz  x yz y2 zx  y zx z2 x y  z x y Cộng vế theo vế ta được: P  x yz  dấu xảy  x  y  z  2 Bài toán 10 Cho x  0, y  0, z  0, xyz  Tìm GTNN biểu thức: P x2  y  z  y y  2z z  y2  z  x z z  2x x  z2  x  y  x x  2y y Giải Ta có 11 x2  y  z   2x x y2  z  x  y y z2  x  y   2z z 4c  a  2b  x x   a  x x  y y   4a  b  2c  Đặt  b  y y  z z suy  y y     c  z z  x x 4b  c  2a  z z   Do 2 c a b a b c  P             6   4.3     9 b c a b c a  Vậy MinP   x  y  z  12 KẾT LUẬN Tiểu luận trình bày nội dung bất đẳng thức AM-GM số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM Dù cố gắng tiểu luận không tránh khỏi nhiều sót Em hy vọng qua tiểu luận nhận nhiều ý kiến đóng góp phương pháp giải toán ứng dụng bất đẳng thức AM-GM để tiểu luận hoàn chỉnh Em xin chân thành ơn thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu nhiệt tình giảng dạy mang đến cho em nhiều kiến thức bổ ích để hoàn thành tiểu luận 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo dục 14