TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC AMGM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM GV HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN: PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

TIỂU LUẬN MÔN BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM

GV HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN:

PHÙNG THỊ HOÀNG CÚC LỚP K32.TCS.ĐN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

ĐÀ NẴNG – 2016

1

MỤC LỤC

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Phương pháp nghiên cứu: 2

1 Bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả 3

1.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM 3

1.2 Các hệ quả 3

2 Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM 6

2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 6

2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 9

2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi 10

KẾT LUẬN 13

2

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Trong cuộc sống hiện nay, nhiều bài toán đã được đặt ra và để giải quyết chúng ta phải đưa về giải một bất đẳng thức nào đó nhằm đáp ứng nhu cầu của bản

thân và xã hội

Bên cạnh đó, chương trình ở các bậc học THCS và THPT luôn có các bài toán liên quan đến bất đẳng thức trong các kỳ thi Để giải được các bài toán này đòi hỏi

sự thông minh, tư duy nhạy bén, vận dụng các kiến thức và phương pháp đã học

Đề tài này sẽ nghiên cứu một cách tổng quan về bất đẳng thức AM-GM và

một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM

2 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức có

liên quan để thực hiện đề tài

3 Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài bao gồm:

Chương I: Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả Chương II: Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM

3

1 Bất đẳng thức AM-GM và các hệ quả 1.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM

Với n số không âm a a a1, 2, 3, ,a n ta có:

1 2 3

1 2 3

n n

n

a a a a n

   



Dấu “=” xảy ra  a1 a2 a3  a n

1.2 Các hệ quả

Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM

như sau:

1.2.1 Hệ quả 1

 2

2

a b

Dấu “=” xảy ra  a = b

Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

 2

2 2 2 2

a b  a b  ab  ab  ab

Dấu “=” xảy ra

2 2

a b

a b

a b

 

a  b ab a b a  b ab a b

Do đó ta có:  2

2 2

2

a b

 

Dấu “=” xảy ra  a b

Mặt khác, cũng từ 2 2 2 2  2

a b  aba b  ab ab a b  ab

4

Nên 2

2 2

a b

ab



 Dấu “=” xảy ra  a b

1.2.2 Hệ quả 2

3

a b c

Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Chứng minh

Theo hệ quả 1 trên thì

2 2

2 2

2

2

a b ab

c a ca

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

  





  



Dấu “=” xảy ra

a b

b c a b c

c a







    

 



a b c ab bc ca   a b c  ab bc ca 

3

3

a b c

Dấu “=” xảy ra   a b c

Lại có

2

2 2 2

2

3

3

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c

ab bc ca

 

1.2.3 Hệ quả 3

Cho a b 2, ab>0

b a Dấu “=” xảy ra  a = b

5

hay a 1 2

a

  (a > 0) Dấu “=” xảy ra  a = 1

Chứng minh

Vì ab > 0 nên a, b cùng dấu a b, 0

b a

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

b a b a 

0

a b

ab ab

a b

b a

a b

a b ab





Nếu coi a

blà a thì b

alà 1

a (a > 0) Như vậy ta có: a 1 2

a

 

Dấu “=” xảy ra 2

1

0

1 1

0

a a

a a

a a







 



1.2.4 Hệ quả 4

2

n

a a a  a  a a a a

   

hay

1 2 3

1 2 3

n

n

         

a a a1, 2, 3, ,a n 0

Dấu “=” xảy ra  a1 a2 a3   a n

Chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

6

2

1 2 3

1 2 3

n

n

n

n

a a a a n a a a a

n

     









Chia cả hai vế của bất đẳng thức vừa chứng minh cho a1   a2 a3 a n  0 ta có

2

n

    

   

Dấu “=” xảy ra

1 2 3

1 2 3

1 2 3

n

n n







2 Một số kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Bài toán 1 Chứng minh rằng:  2 2 2 2 2 2 2 2 2

, , 0

a  b b  c c  a  a b c  

Giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta có

2 2

2 2

2 2

0 0 0

2 2 2









 

 

 

0 ,

Bài toán 2

Chứng minh rằng:  8

2

, , 0

64 ( ) a b

a  b  ab a b   

Giải

Ta có

2

7

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm

Bài toán 3

Cho:

, , , 0

1 :

81 3

a b c d

CMR abcd













Giải

Từ giả thuyết suy ra

3

3

1 -1 1 1 = 1b 1c 1d 1 1bcd 1



Tương tự ta có

     

    

     

3

3

3

3

3

3

3

3

1

0

1 1 1 1

1

0

81

1 1 1 1 1 1 1 1 1

0

1 1 1 1

1

0

1 1 1 1

bcd

cda

dca

abc































 1 , , , , 0

81 a b c d

abcd    ( điều phải chứng minh)

Qua đó ta có Bài toán tổng quát 1

Cho:

1 2 3

, , , , 0

n

n

n













Chứng minh rằng

1 2 3

1

1 n n

n





8

Bài toán 4

Cho , , 0

1

a b c

a b c





   

 Chứng minh rằng

    (1)

Giải

Ta có

VT

  

(đpcm)

Từ đó ta có

Bài toán tổng quát 2

Cho: 1 2 3

1 2 3

, , , ,

1

0

n n







1

n

n



Bài toán 5

Chứng minh rằng

3

3

a b c

 

Giải

Ta có: 3 1   1 1  3     

a b c

 

Ta có:   1 a   1 b   1 c 1  ab bc ca   a b c  abc



3

9

3 2 1.3 8

1  abc   abc  abc (3)

Dấu “ = ” (1) xảy ra  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy ra  ab = bc = ca và a = b = c  a = b= c

Dấu “ = ” (3) xảy ra  3abc=1  abc = 1

Từ đó ta có

Bài toán tổng quát 3

Cho x 1 , x 2 , x 3 , , x n  0 CMR:

 

n

n

n

2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Bài toán 6

Chứng minh rằng ab cd  a c b d     a b c d, , , 0 (1)

Giải

(1) 

a c b d ab     a c b d cd    1 Theo BĐT Côsi ta có:

 

1 1 1

VT

 

Bài toán 7

0







 

  (1)

Giải

Ta có (1) tương đương với    

1

c b c

c a c



10

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

1

Bài toán 8

Chứng minh rằng 3 3     

1 abc 1a 1b 1c a b c, , 0(1)

Giải

Ta có biến đổi (1) tương đương

3

3 3

1.1.1

1 1 1 1 1 1

abc

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

3

3

1

3 1 1 1

1 1 1

Cộng (2) và (3) vế theo vế ta có

.3 1

VT

Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c > 0

Từ đó ta có Bài toán tổng quát

CMR:

1 2 n 1 2 1 1 2 2 , 0 1,

a a a  b b b  a  b a  b a  b  a b  i  n

2.3 Kỹ thuật đổi biến kết hợp chọn điểm rơi

Bài toán 9

11

Cho , , 0

1

a b c abc



 Chứng minh rằng 3  3  3 

2

P

Giải

Đặt x 1 , y 1 , z 1 xyz 1

     Bài toán trở thành chứng minh:

P

Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là x    y z 1

Từ đó ta giải được như sau:

2

2

2

4

4 4

x

y z

y

z x

z

x y













Cộng vế theo vế ta được: 3

x y z

P    

dấu bằng xảy ra     x y z 1

Bài toán 10

Cho x  0, y  0, z  0, xyz  1.Tìm GTNN của biểu thức:

P

Giải

Ta có

12

 

 

 

2

2

2

2 2 2

 

 

 

Đặt

2 2 2

b y y z z

c z z x x

  

  



  



suy ra

4 2 9

4 2 9

4 2 9

x x

y y

z z

 





 





 



Do đó

P

Vậy MinP      2 x y z 1.

13

KẾT LUẬN Tiểu luận đã trình bày nội dung về bất đẳng thức AM-GM và một số kỹ thuật

áp dụng bất đẳng thức AM-GM Dù đã hết sức cố gắng nhưng tiểu luận không tránh khỏi nhiều sót Em hy vọng qua bài tiểu luận này sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp về phương pháp giải các bài toán ứng dụng bất đẳng thức AM-GM để tiểu

luận hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành ơn thầy GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã nhiệt tình giảng dạy và

mang đến cho em nhiều kiến thức bổ ích để hoàn thành tiểu luận này

14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo dục