Trích trong Kỷ yếu Gặp gỡ Toán học 2015.AMGM là một bất đẳng thức vô cùng phổ biến, được áp dụng rất rộng rãi trong nhiều cấp học, là một công cụ toán học tuyệt vời. Chính vì thế mà mặc dù đã có cách chứng minh bất đẳng thức này, nhiều cá nhân vẫn luôn tìm tòi một lối đi mới.Khác với những kiến thức thông thường ta đã biết, G. Polya đã đặt một dấu mốc mơi trong việc chứng minh bất đẳng thức AMGM vốn đã thân thuộc. Cách chứng minh vô cùng dễ hiểu, đẹp đẽ và mang lại cho ta nhiều bài học bổ ích, cũng góp phần nâng cao khả năng tư duy và mở rộng hướng suy nghĩ toán học.
Trang 1Chúng ta đều biết bất đẳng thức AM-GM và rất nhiều các cách chứng minh của nó: dùng quy nạp lùi, dùng hàm lồi, dùng khai triển, dùng đồng biến… Tuy nhiên cách chứng minh dưới đây của G.Polya rất đẹp đẽ và đem đến cho ta nhiều bài học bổ ích
Trước hết, ta chứng minh bổ đề:
Bổ đề Nếu
1, , ,2 n
là các số thực dương có tích bằng 1 thì:
1 2 n
x + + + ≥x x n
Ta chứng minh bổ đề bằng cách quy nạp theo n
Với n=1 mệnh đề hiển nhiên đúng Giả sử mệnh đề đúng với n số Ta cần chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n+1 số Xét n+1 số 1 2 1
, , , ,n n
có tích bằng 1
Nếu tất cả các số bằng nhau (và bằng 1) thì bất đẳng thức trở thành đẳng thức Trong trường hợp ngược lại, phải có một số > 1 và một số < 1 Không mất tính tổng quát của bài toán, giả
sử
1
n
x <
và
1 1
n
x+ >
Khi đó ta có:
1
(x n−1)(x n+ − <1) 0
Suy ra
x +x + >x x+ +
Từ đó ta sẽ có:
1 2 n 1 n n 1 1 2 n 1 n n 1 1
x + + +x x − + +x x+ > + + +x x x − +x x + +
(1)
Áp dụng giả thiết quy nạp cho n số
1, , ,2 n 1, n n 1
có tích bằng 1, ta có:
1 2 n 1 n n 1
x + + +x x − +x x+ ≥n
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1 2 n 1 n n 1 1
x + + +x x− + +x x+ > +n
Như vậy, bổ đề đúng đến n+1 Theo nguyên lí quy nạp toán học, bổ đề đúng với mọi n Quay
trở lại với bài toán, ta đặt:
1 1
n n
a a
thì:
1 1
1
1
n
n
a
x x
a a
Áp dụng bổ đề vừa chứng minh trên ta có: 1
n
x + + ≥x n
Trang 2Suy ra:
1
n
a a
n
1
n
a a n
+ +
Vậy bất đẳng thức AM-GM được chứng minh
Trong lời giải này, có hai ý tưởng chính, thứ nhất là bước đưa bài toán về bài toán với điều
kiện chuẩn hóa 1
n 1
và thứ hai là bước sử dụng hằng số 1 để “dồn” 1
,
thành n n 1
x x+
(cụ thể là thay
1
x +x+
bằng
1 1
n n
x x+ +
) Nhờ có bước thay thế này mà ta có thể áp dụng được giả thiết quy nạp