Tính đơnđiệucủahàmsố A. Lý Thuyết: Hàmsốđơn điệu: Cho hàmsố f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng. * f đồng biến trên K nếu với mọi * f nghịch biến trên K nếu với mọi Điều kiện cần để hàmsốđơn điệu: Giả sử hàmsố f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó : * Nếu hàmsố f đồng biến trên khoảng I thì với mọi * Nếu hàmsố f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi Điều kiện đủ để hàmsốđơn điệu: Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange) Nếu hàmsố f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a) Định lý 2:1) Giả sử hàmsố f có đạo hàm trên khoảng I * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thìhàmsố đồng biến trên I. * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thìhàmsố nghịch biến trên I. * Nếu thìhàmsố f không đổi trên I 2) Giả sử hàmsố f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b). * Nếu với mọi thìhàmsố f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b) * Nếu với mọi thìhàmsố f không đổi trên nửa khoảng [a,b) B. Bài Tập : Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn Bài giải: Xét hàmsố liên tục trên đoạn Ta có Vì sinx > 0 nên Hàmsố đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn * Hàmsố f liên tục trên đoạn , ta có , nên phương trình cho không có nghiệm * Hàmsố f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàmsố liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàmsố f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc Bài tập 2: Tìm m để hàmsố sau đồng biến trên R Bài giải: Để hàmsố đồng biến trên R thì * !/ m = -2 thì không thỏa !!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa * , khi đó để thì Vậy hàmsố đổng biến trên R Bài tập 3: Cho hàmsố : . Tìm m để hàmsố nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 Bài giải : * Tập xác định : D = R * * , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Để hàmsố luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn Bài tập tự luyện: 1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 2/Cho hàmsố có đồ thị là ( Cm); m là tham số. a. Tìm m để hàmsố đồng biến trên R. b. Tìm m để hàmsố nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4. c. Tìm m để hàmsố đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Bài tập 4:Với giá trị nào của m thìhàmsố luôn luôn đồng biến? Bài giải: * Tập xác định D = R * ; với * Để hàmsố đồng biến trên D khi Bài tập 5:Cho hàmsố . Tìm m để hàmsố đồng biến trong khoảng Bài giải: . Để hàmsố đồng biến trong khoảng PP1: , do đó PP2: * m = 0 khi đó . Thế m = 0 có nhận không nhỉ ??? * !/ Hàmsố đồng biến trên D khi Do đó với thìhàmsố cũng đồng biến trong khoảng !!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt Hàmsố đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm Bài tập tự luyện: 1/Định m để hàmsố luôn luôn nghịch biến ?. 2/Định m để hàmsố luôn luôn đồng biến ?. 3/ Định m để hàmsố luôn luôn giảm 4/ Cho hàmsố . Tìm m để 5/ Định m để hàmsố đồng biến trong khoảng 6/ Định m để hàmsố nghịch biến trong khoảng . hàm số luôn luôn đồng biến ?. 3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm 4/ Cho hàm số . Tìm m để 5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng 6/ Định m để hàm số. kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó : * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi * Nếu hàm số f nghịch