Cách 1: Chọn ra chữ số khác trong chữ số từ đến và sắp xếp chúng theo thứ tự có cách.. Để hai chữ số không đứng cạnh nhau ta có vị trí để xếp do chữ số vừa chọn tạo ra vị trí.. Vì giữa
Trang 1Câu 41 [1D2-2.2-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Có bạn nam và
bạn nữ được xếp vào một ghế dài có vị trí Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau?
Lời giải
Chọn B
Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ
Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số hoặc một nam ngồi ở vị trí số Ứng với mỗi trường hợp sắp xếp bạn nam và bạn nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau có
Vậy có
Câu 43 [1D2-2.2-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Một thầy giáo
có cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có cuốn sách văn học, cuốn sách âm nhạc và cuốn sách hội họa Thầy muốn lấy ra cuốn và đem tặng cho em học sinh mỗi em một cuốn Thầy giáo muốn rằng sau khi tặng xong, mỗi một trong thể loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi thầy có tất cả bao nhiêu cách tặng?
Lời giải Chọn D
Số cách chọn cuốn bất kì tặng cho em học sinh:
Số cách chọn để tặng hết một trong ba loại:
Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán:
Câu 26 [1D2-2.2-3] (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự nhiên
có chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số , , và chữ số đứng cạnh chữ
số và chữ số ?
Lời giải Chọn D
Gọi số cần tìm là Vì chữ số cạnh chữ số và chữ số nên có lựa chọn là và
TH1:
-Nếu là , thì có cách sắp xếp
Chọn : Có cách
Vậy có cách
TH2:
- Nếu không là và
Chọn : Có cách (Loại )
Còn lại chữ số, chọn thêm chữ số: Có cách
Ba chữ số cạnh nhau coi là một khối, hoán vị với chữ số vừa lấy thêm có cách Vậy có cách
Câu 47 [1D2-2.2-3] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Từ tập hợp các
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau, chọn ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số đó chia hết cho
Trang 2A B C D
Lời giải Chọn D
Một số chia hết cho khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó là một số chia hết cho
Từ các chữ số ta chia thành cặp , , , ,
Một số tự nhiên thoả mãn đề bài khi số đó là một hoán vị từ cặp số trên
TH 1: cặp số không có chữ số tạo được số
TH 2: cặp số có chữ số thì có cách chọn Mỗi cách chọn bộ số có chữ số vừa rồi
có số thoả mãn được tạo ra
Kết luận: Có số thoả mãn yêu cầu
Số các số tự nhiên có chữ số khác nhau là
Vậy xác suất chọn được số thoả mãn đề bài bằng
Câu 38: [1D2-2.2-3] (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên sao cho , , theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng Tính tổng tất cả các phần tử của
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có
Vậy chọn D.
học sinh và thầy giáo , , Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ người đó ngồi trên một hàng ngang có chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh
Lời giải Chọn C.
Sắp học sinh thành một hàng ngang, giữa học sinh có khoảng trống, ta chọn khoảng trống và đưa giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán
Vậy tất cả có : cách
Câu 39 [1D2-2.2-3] (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có tám
chữ số trong đó có ba chữ số , không có hai chữ số nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần
Lời giải
Trang 3Chọn D
Cách 1: Chọn ra chữ số khác trong chữ số (từ đến ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có
cách
Để hai chữ số không đứng cạnh nhau ta có vị trí để xếp (do chữ số vừa chọn tạo ra vị trí)
Do chữ số không thể xếp ở đầu nên còn vị trí để xếp số
Khi đó xếp 3 số vào vị trí nên có cách
Vậy có số cần tìm
Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng
+) Chọn vị trí của chữ số trong vị trí (trừ ) Vì giữa chữ số luôn có ít nhất chữ
số khác nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số , sau đó thêm vào giữa số gần nhau vị trí nữa
Suy ra số cách chọn là
+) Chọn các số còn lại, ta chọn bộ chữ số trong chữ số từ đến , có cách chọn Vậy có tất cả số cần tìm
chữ cái trong cụm từ ‘THANH HOA” thành một hàng ngang Tính xác suất để
có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau
Lời giải Chọn D
Cách 1
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt như sau
- Có cách chọn vị trí và xếp có chữ cái H
- Có cách chọn vị trí và xếp có chữ cái A
- Có cách xếp chữ cái T, O, N
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau”
- Nếu có ba chữ H đứng cạnh nhau, có cách xếp chữ H
- Nếu đúng hai chữ H đứng cạnh nhau thì
Khi hai chữ H ở hai vị trí đầu hoặc cuối có cách xếp chữ cái H còn lại
Khi hai chữ H đứng ở vị trí giữa thì có cách xếp chữ cái H còn lại
Do đó có cách xếp chữ H sao cho có đúng hai chữ H đứng cạnh nhau
Như vậy có cách xếp chữ H, ứng với cách xếp trên ta có cách chọn vị trí và xếp chữ cái A và cách xếp T, O, N
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố là
Trang 4Cách 2 Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “có ít nhất hai chữ H đứng cạnh nhau”
Đầu tiên ta xếp chữ A và ba chữ T, O, N có cách
Tiếp theo ta có vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp chữ H và không có chữ H nào đứng liền nhau, có cách
Vậy xác suất của biến cố là
gồm học sinh trong đó có hai bạn A và B, đứng ngẫu nhiên thành một hàng Xác suất để hai bạn A và B đứng cạnh nhau là
Lời giải Chọn A.
Xếp ngẫu nhiên học sinh thành một hàng có cách
Gọi biến cố “Xếp học sinh thành một hàng sao cho A và B đứng cạnh nhau”
Xem A và B là nhóm
Xếp và học sinh còn lại có cách
Hoán vị A và B trong có cách
Vậy có cách
Xác suất của biến cố là:
Cách khác:
Xếp học sinh rồi mới xếp học sinh A, B có
bài thi trắc nghiệm khách quan có câu Mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng thì được điểm, trả lời sai thì bị trừ điểm Một thí sinh do không học bài nên làm bài bằng cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời Xác suất
để thí sinh đó làm bài được số điểm không nhỏ hơn là
Lời giải Chọn D.
Chọn ngẫu nhiên phương án trả lời cho câu hỏi ta được không gian mẫu
có số phần tử là
Gọi là biến cố thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn
Trang 5Một thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn thuộc một trong các trường hợp sau:
+ Đúng câu (được điểm) có: cách chọn
+ Đúng câu và sai câu (được điểm) có: cách chọn
(nhân thêm là do mỗi phươn án sai có cách chọn)
+ Đúng câu và sai câu (được điểm) có: cách chọn
Vậy xác suất để thí sinh làm bài được số điểm không nhỏ hơn là
Chú ý:
Gọi là số câu đúng (với , ), là số câu sai thì điểm của
Vì nên nên Do đó ta có trường hợp như trong lời giải
của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái qua phải) bằng:
Lời giải Chọn A
Số nguyên cần lập có chữ số đôi một khác nhau Xét hai trường hợp:
+ TH1: Các chữ số tăng dần từ trái qua phải
Khi đó chữ số được chọn từ tập
Với một cách chọn chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: + TH2: Các chữ số giảm dần từ trái qua phải
Khi đó chữ số được chọn từ tập
Với một cách chọn chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: Vậy số các số cần tìm là: số
2017 – 2018) Từ chữ số và lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ
số sao cho không có chữ số đứng cạnh nhau?
Lời giải Chọn C.
TH1: Có chữ số
Có 1 số
TH2: Có chữ số , chữ số
Có cách xếp chữ số nên có số
Trang 6TH3: Có chữ số , chữ số
Xếp số ta có cách
Từ 6 số ta có có 7 chỗ trống để xếp số
Nên ta có: số
TH4: Có chữ số , chữ số
Tương tự TH3, từ chữ số ta có 6 chỗ trống để xếp chữ số
Nên có: số
TH5: Có 4 chữ số , 4 chữ số
Từ 4 chữ số 8 ta có chỗ trống để xếp chữ số
Nên có:
bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho và
Lời giải Chọn A.
Số chia hết cho và là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho
Gọi là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho và được lập từ các chữ số , , , , , ,
Trường hợp 1:
Khi đó các chữ số được lập từ các tập , , , , ,
Trường hợp này có số
Trường hợp 2:
Khi đó các chữ số được lập từ các tập , , , ,
Trường hợp này có số
Trường hợp 3:
Khi đó các chữ số được lập từ các tập , , ,
Trường hợp này có số
Trường hợp 4:
Khi đó các chữ số được lập từ các tập , , , ,
Trường hợp này có số
Vậy có tất cả số cần tìm
Câu 38: [1D2-2.2-3] (SỞ GD-ĐT HÀ NỘI -2018)Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có
ba chữ số , không có hai chữ số nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần
Hướng dẫn giải Chọn D.
Chọn ra chữ số khác trong chữ số (từ đến ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có cách
Trang 7Để hai chữ số không đứng cạnh nhau ta có vị trí để xếp (do chữ số vừa chọn tạo ra vị trí)
Do chữ số không thể xếp ở đầu nên còn vị trí để xếp số
Khi đó xếp 3 số vào vị trí nên có cách
Vậy có số cần tìm
lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
Lời giải Chọn B.
Gọi là số cần tìm
Ta có và
Mỗi trường hợp có số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả số cần tìm