VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 1: [1H3-1-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình hộp ABCD.ABCD Biết MA  k.MC , NC  l.ND Khi MN song song với BD khẳng định sau đúng? A k  l   k  l  2 C k  l  4 B k  l  3 D Lời giải Chọn C Đặt AB  a , AD  b , AA  c  Từ MA  k.MC  AA  AM  k AC  AM    AM   NC  l.ND  AC  AN  l AD  AN  AN  Vậy MN  AM  AN    k a  b  c 1 k    AA  k AC k a  b  c  1 k 1 k AC  l AD a  b  c  lb  1 l 1 l a  b  c  lb 1 l    k  k       1 b    a  c  1 k 1 l   1 k   1 k 1 l  Mặt khác, BD  AD  AB  a  b  c k  k  2k 1  k   l    k  1  k   l  1 Để MN //BD MN // BD    k 1   k    1 1     k 1  k  l 1 k 1 l  3k  1   l  1  2  k  3 Từ ta có: 1 l 1 k Vậy k  l  4 (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh bên cạnh đáy a ABCD hình vng Câu 2: [1H3-1-3] Gọi M trung điểm CD Giá trị MS.CB A a2 B  a2 C a2 D 2a Lời giải Chọn A Do tất cạnh hình chóp nên hình chóp S.ABCD hình chóp SO  ( ABCD)   AC  BD  Do M trung điểm CD nên ta có: 1 MS  OS  OM   OC  OD  OS , CB  OB  OC  OD  OC 2 Do OC; OS ; OD đôi vng góc với nên ta có: 1 a2 MS CB  OC  OD  OC  2 S A D M O B Câu 3: [1H3-1-3] C (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Trong không gian xét m , n , p , q véctơ đơn vị (có độ dài ) Gọi M giá trị lớn 2 2 2 biểu thức m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q Khi M  M thuộc khoảng sau đây?   A  4;   13   2 19   2 B  7; D 10; 15 C 17; 22  Lời giải Chọn D 2 2 Đặt S  m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q   Ta có  m  n  p  q   m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q Từ suy m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q  2 2 2 Mặt khác, ta có m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q   12  m.n  m p  m.q  n p  n.q  p.q  Vậy m  n  m  p  m  q  n  p  n  q  p  q  12   2   16 2 2 2 Dấu xảy chẳng hạn m  n  1;0;0  p  q   1;0;0  Vậy M  M  16   12  10;15  Câu 4: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng? A BD , BD1 , BC1 đồng phẳng B CD1 , AD , A1 B1 đồng phẳng C CD1 , AD , A1C đồng phẳng D AB , AD , C1 A đồng phẳng Lời giải Chọn C D A C B D1 A1 C1 B1  M , N , P , Q trung điểm AB , AA1 , DD1 , CD Ta có CD1 //  MNPQ  , AD //  MNPQ  , AC //  MNPQ   CD1 , AD , A1C đồng phẳng Câu 5: [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b , y  a  b  c , z  3b  2c Chọn khẳng định đúng? A Ba vectơ x , y , z đồng phẳng B Hai vectơ x , a phương C Hai vectơ x , b phương phương D Ba vectơ x , y , z đơi Lời giải Chọn A Ta có: y    x  z nên ba vectơ x , y , z đồng phẳng Câu 6: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AB  B1C1  DD1  k AC1 A k  D k  C k  B k  Lời giải Chọn B D A C B D1 A1 C1 B1 + Ta có: AB  B1C1  DD1  AB  BC  CC1  AC1 Nên k  Câu 7: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC   u , CA  v , BD  x , DB  y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A 2OI   (u  v  x  y ) B 2OI   (u  v  x  y ) C 2OI  (u  v  x  y ) D 2OI  (u  v  x  y ) Lời giải Chọn A K D C J A B O D’ C’ A’ B’ + Gọi J , K trung điểm AB , CD + Ta có: 2OI  OJ  OK    1 OA  OB  OC  OD   (u  v  x  y ) Câu 8: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi I K tâm hình bình hành ABBA BCCB Khẳng định sau sai? 1 AC  AC  2 A Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng B IK  C Ba vectơ BD; IK ; BC không đồng phẳng D BD  2IK  2BC Lời giải Chọn C A Đúng IK , AC thuộc  BAC  B Đúng IK  IB  BK  C Sai IK  IB  BK        1 1 a  b   a  c  b  c  AC  AC  2 2       1 a  b  a  c  b  c 2  BD  2IK  b  c  b  c  2c  2BC  ba véctơ đồng phẳng D Đúng theo câu C  BD  2IK  b  c  b  c  2c  2BC  2BC Câu 9: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M , N cho AM  3MD , BN  3NC Gọi P , Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Các vectơ BD , AC , MN đồng phẳng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng C Các vectơ AB , DC đồng phẳng phẳng D Các vectơ AB , DC , MN đồng Lời giải Chọn A A P M B D Q N C    MN  MA  AC  CN  MN  MA  AC  CN  A Sai     MN  MD  DB  BN 3MN  3MD  3DB  3BN  MN  AC  3BD  BC  BD , AC , MN không đồng phẳng   MN  MP  PQ  QN  2MN  PQ  DC  MN  PQ  DC B Đúng    MN  MD  DC  CN   MN , DC , PQ đồng phẳng  C Đúng Bằng cách biểu diễn PQ tương tự ta có PQ  D Đúng Biểu diễn giống đáp án A ta có MN    AB  DC 1 AB  DC 4 Câu 10: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: a2 A AD  CB  BC  DA  B AB.BC   C AC AD  AC.CD D AB  CD hay AB.CD  Lời giải Chọn C A C B D Vì ABCD tứ diện nên tam giác ABC , BCD , CDA tam giác A Đúng AD  CB  BC  DA  DA  AD  BC  CB  a B Đúng AB.BC   BA.BC   a.a.cos 60  C Sai AC AD  a.a.cos 60  a2 a2 , AC.CD  CA.CD  a.a.cos 60   2 D Đúng AB  CD  AB.CD  Câu 11: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD Đặt AB  a , AC  b , AD  c gọi G trọng tâm tam giác BCD Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A AG  a  b  c AG   B AG      1 a  b  c C AG  a  b  c D  abc Lời giải Chọn B A B D G M C Gọi M trung điểm BC AG  AB  BG  a  a  2 BM  a  BC  BD 3        1 AC  AB  AD  AB  a  2a  b  c  a  b  c 3 Câu 12: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Gọi M trung điểm AD Chọn đẳng thức A B1M  B1B  B1 A1  B1C1 B C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 1 C C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 2 D BB1  B1 A1  B1C1  2B1D Lời giải Chọn B B A M C D A1 B1 D1 C1 A Sai B1M  B1 B  BM  BB1   BB1       1 B1 A1  B1 A1  B1C1  BB1  B1 A1  B1C1 2 B Đúng C1M  C1C  CM  C1C   C1C   1 BA  BD  BB1  B1 A1  B1D1 2     1 CA  CD  C1C  C1 A1  C1D1 2   1 C1 B1  C1 D1  C1 D1  C1C  C1 D1  C1 B1 2 C Sai theo câu B suy D Sai BB1  B1 A1  B1C1  BA1  BC  BD1 Câu 13: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD điểm G thỏa mãn GA  GB  GC  GD  ( G trọng tâm tứ diện) Gọi G0 giao điểm GA mp  BCD  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A GA  2G0G B GA  4G0G C GA  3G0G D GA  2G0G Lời giải Chọn C A G B D G0 M C Theo đề: G0 giao điểm GA mp  BCD   G0 trọng tâm tam giác BCD  G0 A  G0 B  G0C  Ta có: GA  GB  GC  GD       GA   GB  GC  GD   3GG0  G0 A  G0 B  G0C  3GG0  3G0G Câu 14: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AB , CD G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A MA  MB  MC  MD  4MG B GA  GB  GC  GD C GA  GB  GC  GD  D GM  GN  Lời giải Chọn B M , N , G trung điểm AB , CD , MN theo quy tắc trung điểm: GA  GB  2GM ; GC  GD  2GN ; GM  GN  Suy ra: GA  GB  GC  GD  hay GA  GB  GC  GD Câu 15: [1H3-1-3] Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Hãy tìm mệnh đề sai mệnh đề sau đây: A AB  BC  CD  DA  B AD AB  a C AB.CD  D AC  a Lời giải Chọn A D' A' C' B' D A C B Ta có : AB  BC  CD  DA       AB  AB  CD  BC  DA   AB     AB  (vơ lí) Câu 16: [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Các vectơ x  a  b  2c , y  2a  3b  6c , z  a  3b  6c đồng phẳng B Các vectơ x  a  2b  4c , y  3a  3b  2c đồng phẳng C Các vectơ x  a  b  c , y  2a  3b  c đồng phẳng D Các vectơ x  a  b  c , y  2a  b  3c đồng phẳng Lời giải Chọn B Các vectơ x, y, z đồng phẳng  m, n : x  my  nz Mà : x  my  nz 3m  2n    a  2b  4c  m 3a  3b  2c  n 2a  3b  3c  3m  3n  2 (hệ vô 2m  3n       nghiệm) Vậy không tồn hai số m, n : x  my  nz Câu 17: [1H3-1-3] Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA  (2k 1) IB  k IC  ID  A k  B k  C k  D k  Lời giải Chọn C Ta chứng minh IA  IB  IC  ID  nên k  Câu 18: [1H3-1-3] Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A, B, C  thuộc tia SA, SB, SC cho SA  a.SA, SB  b.SB, SC  c.SC  , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ a, b, c để mặt phẳng  ABC   qua trọng tâm tam giác ABC A a  b  c  a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D Lời giải Chọn A Nếu a  b  c  SA  SA, SB  SB, SC  SC  nên  ABC    ABC   Suy  ABC   qua trọng tâm tam giác ABC => a  b  c  đáp án Câu 19: [1H3-1-3] Cho a  3, b  góc a b 120 Chọn khẳng định sai khẳng định sau? A a  b  19 C a  2b  139 B a  b  D a  2b  Lời giải Chọn A   2 2   Ta có: a  b  a  b  2a.b cos a , b  19 a  b  a  b  2a.b.cos a,b  19 Câu 20: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD có AB  a, BD  3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN A MN  MN  a B MN  a 10 C MN  2a 3 D 3a 2 Lời giải Chọn B Kẻ NP //AC  P  AB  , nối MP NP đường trung bình ABC  PN  a AC  2 MP đường trung bình ABD  PM  3a BD  2 Lại có  AC , BD    PN , PM   NPM  90 suy  MNP vuông P Vậy MN  PN  PM  a 10 Câu 21: [1H3-1-3] Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB2  AC  BC   GA2  GB2  GC  B AB  AC  BC  GA2  GB  GC C AB2  AC  BC   GA2  GB2  GC  D AB2  AC  BC   GA2  GB  GC  Lời giải Chọn D Cách Ta có GA  GB  GC  0  GA2  GB  GC  2GA.GB  2GA.GC  2GB.GC   GA2  GB  GC   GA2  GB  AB    GA2  GC  AC    GB  GC  BC    AB  AC  BC   GA2  GB  GC  Cách 2: Ta có: AB MA2 GA AC BC 2 MA GA2 AB AC BC Tương tự ta suy GA GB AB 3 GA2 GC AB AC 2 BC CA2 GB GC AB BC BC BA2 BC 2 AC CA2 CA2 Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi AB BC CA2 2 GA GB GC GA2 GB GC AB BC CB CA2 AB Câu 22: [1H3-1-3] Trong khơng gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P  MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Chọn A G cố định GA GB GC Gọi G trọng tâm tam giác ABC P MG GA MG 3MG 2 MG GA 3MG GA2 GB Dấu xảy M GA2 GB2 Vậy Pmin GB GB MG GC GA2 GC GC GA2 GB GB GC GC G GC với M G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A Câu 23: [1H3-1-3] Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a  26; b  28; a  b  48 Độ dài vectơ a  b bằng? A 25 C 616 B D 618 Lời giải Chọn B  a b  a b  2  2  a  b  2a.b  a  b    a  b  2   a  b   a  b  262  282  482  616    a  b  616 Câu 24: [1H3-1-3] Cho hình hộp ABCD.ABCD Khẳng định sau sai? A AB  B ' C '  DD '  AC ' B BD  D ' D  B ' D '  BB ' C AC  BA '  DB  C ' D  D AC  BA '  DB  C ' D  Lời giải Chọn C C B D A C' B' A' D' Theo t/ c hình hộp: AB  DC  AB  DC; AD  BC  AD  BC ; A A  BB  CC   D D * Ta có: AB  BC   D D  AB  AD  A A  AC  (qui tắc hình hộp)  Phương án A * Ta có: BD  DD  BD  ( BD  BD)  DD   BB  BB  Phương án B * Ta có: AC  BA  DB  CD  AC  BA  CB  AC  DA  BA  DC  BA  AB  AB  AB  Phương án C sai * Ta có: AC  BA  DB  CD  AC  BA  CB  AC  DA  BA  DC  BA  AB  AB   Phương án D Câu 25: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy điểm M, N cho AM  3MD , NB  3NC Gọi P, Q trung điểm AD BC Khẳng định sau sai? A Các vectơ AB, DC, MN đồng phẳng B Các vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng C Các vectơ PQ, DC, MN đồng phẳng D Các vectơ BD, AC, MN đồng phẳng Lời giải Chọn D A P M K B I D Q N C Gọi I trung điểm BD K trọng tâm tam giác ABD Ta thấy AB, DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, DC, MN đồng phẳng AB, MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ PQ, DC, MN đồng phẳng Câu 26: [1H3-1-3] Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Trên cạnh AD BC lấy điểm P, Q cho AP  AD , 3BQ  2BC Các vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng chúng thỏa mãn đẳng thức vectơ sau đây: 3 MP  MQ 2 1 D MQ  MN  MQ 2 2 MP  MQ 3 3 C MN  MP  MQ 4 B MN  A MN  Lời giải Chọn C A M P B D N Q C Ta có AP  AD  AM  3MP  AM  2MD  AM  2MD  3MP 1 3BQ  BC  3BM  3MQ  BM  2MC  BM  2MC  3MQ   Cộng 1   theo vế suy MN  3 MP  MQ 4 ... [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b , y  a  b  c , z  3b  2c Chọn khẳng định đúng? A Ba vectơ x , y , z đồng phẳng B Hai vectơ x , a phương C Hai vectơ x ,... Q trung điểm AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Các vectơ BD , AC , MN đồng phẳng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng C Các vectơ AB , DC đồng phẳng phẳng D Các vectơ AB , DC , MN... 16: [1H3-1-3] Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Các vectơ x  a  b  2c , y  2a  3b  6c , z  a  3b  6c đồng phẳng B Các vectơ x  a  2b 