D05 sử dụng định lý tỉ số thể tích muc do 3

Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác và đỉnh là một điểm bất kì Lời giải Chọn D Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng cũng bằng khoảng cách từ đỉnh đến

Trang 1

Câu 8: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho tứ diện

có thể tích Gọi , và lần lượt là trung điểm của , và Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác và đỉnh là một điểm bất kì

Lời giải Chọn D

Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng

cũng bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng

Câu 31: [2H1-2.5-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Cho

hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với

lần lượt tại , , Thể tích khối chóp là:

Lời giải Chọn C

Trang 2

Ta có:

Tam giác vuông cân tại nên là trung điểm của

Câu 37 [2H1-2.5-3](THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hình chóp Gọi

, lần lượt là trung điểm của , Tính tỉ số

Lời giải.

Chọn A

Câu 47 [2H1-2.5-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Trong không gian

cho các điểm , , lần lượt thay đổi trên các trục , , và luôn thỏa mãnđiều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác và thể tích khối tứ diện bằng Biếtrằng mặt phẳng luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng

Lời giải Chọn B

Trang 3

Ta có

Vậy mặt phẳng luôn tiếp xúc mặt cầu tâm , bán kính

Câu 27 [2H1-2.5-3](Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho khối tứ diện

có thể tích Gọi , , , lần lượt là trọng tâm của các tam giác , ,, Tính theo thể tích của khối tứ diện

Trang 4

có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên tạo với đáy một góc Gọi là trung điểmcủa Mặt phẳng đi qua và song song với cắt tại và cắt tại Tính thể tích

Câu 36 [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp có đáy

là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy, Gọi , là hình chiếu của lầnlượt lên , Mặt phẳng cắt tại Thể tích khối chóp là:

Trang 5

Ta có:

Vì , là hình chiếu của lần lượt lên , nên ta có

.Tam giác vuông cân tại nên là trung điểm của

Câu 37 [2H1-2.5-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thoi và có thể tích bằng Gọi , lần lượt là các điểm trên cạnh và sao cho Tìm giá trị của để thể tích khối chóp bằng

Ta có

Mà

Trang 6

Câu 38 [2H1-2.5-3] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-Lần 1-2018) Cho khối tứ diện có thể tích và điểm trên cạnh sao cho Tính thể tích khối tứ diện theo

Lời giải Chọn A

Câu 36: [2H1-2.5-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy

là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt đáy Gọi là trung điểm Mặtphẳng đi qua và vuông góc với cắt , lần lượt tại , Biết

Tính thể tích của khối chóp

Ta có Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Do

và đi qua

Trang 7

Vậy là trung điểm cạnh Suy ra vuông cân tại .

Câu 39: [2H1-2.5-3] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho tứ diện có thể tích

, gọi , , , lần lượt là trọng tâm tam giác , , và Thể tích khối

tứ diện bằng

Gọi , , lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng , ,

Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy , góc giữa haimặt phẳng và bằng Gọi , lần lượt là trung điểm của , Tínhthể tích khối chóp

Trang 8

Gọi là tâm của hình vuông Khi đó ta có là góc giữa hai mặt phẳng và

Câu 37: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác

đáy là hình bình hành có thể tích bằng Lấy điểm , lần lượt là trung điểmcủa cạnh và Mặt phẳng qua cắt cạnh tại Khi đó thể tích khối chóp

bằng

Gọi là giao điểm của hai đường chéo và thì Khi đó là trung

Trang 9

Trong mặt phẳng : Ta kẻ và cắt tại Khi đó áp dụng tính đồng

Câu 45: [2H1-2.5-3](Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp đều có đáy

là hình vuông cạnh , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng Kí hiệu , lầnlượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho Tính tỉ số

Gọi là tâm hình vuông Suy ra Và góc giữa cạnh bên với mặtđáy là góc Theo giả thuyết , nên tam giác đều, suy ra

Gọi là trung điểm Trong , đường trung trực của cạnh cắt tại

Khi đó, nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông nên

có bán kính đáy và chiều cao

Trang 10

Suy ra

Câu 33: [2H1-2.5-3](Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho khối chóp tứ giác Mặt

phẳng đi qua trọng tâm các tam giác , , chia khối chóp này thành hai phần cóthể tích là và Tính tỉ lệ

Gọi , , lần lượt là trọng tâm các tam giác , ,

Gọi , lần lượt là trung điểm của , thì

.Chứng minh tương tự ta có

Qua dựng đường song song với , cắt , lần lượt tại ,

Qua dựng đường song song với , cắt tại

Thiết diện của hình chóp khi cắt bới là tứ giác

Trang 11

Câu 45: [2H1-2.5-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho

điểm nằm trên cạnh , điểm nằm trên cạnh của hình chóp tam giác saocho , Mặt phẳng qua và song song với chia khối chóp thành 2phần Gọi là thể tích của khối đa diện chứa , là thể tích của khối đa diện còn lại Tính tỉ

số

Lời giải

Chọn B

- Trong mặt phẳng dựng song song với cắt tại Trong mặt phẳng

dựng song song với cắt tại Gọi là giao điểm của và Dựng song song với cắt tại (như hình vẽ)

Trang 12

Và

.Vậy

Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Cho khối chóp

có đáy là tứ giác lồi, tam giác đều cạnh , tam giác

và vuông góc với cắt các cạnh , , lần lượt tại , , Tính

Gọi là trọng tâm tam giác đều và là trung điểm thì ;

Khi đó

Do đó

Trang 13

Lại có

Tam giác vuông tại có

Câu 5: [2H1-2.5-3] (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

vuông góc với mặt phẳng đáy và Điểm thuộc cạnh sao cho

Khi đó giá trị của để mặt phẳng chia khối chóp thànhhai phần có thể tích bằng nhau là

Giả sử cắt tại Khi đó suy ra

khi

Câu 22: [2H1-2.5-3] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho hình chóp có là hình bình

hành có là trung điểm Mặt phẳng qua và song song với cắt , lầnlượt tại và Khi đó bằng

Trang 14

Chọn A

Trong gọi là giao điểm của và

Trong từ vẽ đường thẳng song song với cắt , lần lượt tại , , suy ra

mp là mp

+ Ta thấy là giao điểm của hai đường trung tuyến và của tam giác là trọng tâm tam giác , Suy ra: (định lý ta lét vì )

Ta có:

Câu 34: [2H12.53] (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang HKII 2016 2017

-BTN) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại với , Hai mặt và cùng vuông góc với mặt phẳng Biết , , lần

Trang 15

Do

Câu 4: [2H1-2.5-3] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có

đáy là hình bình hành và có thể tích là Điểm là trung điểm của , một mặt phẳng qua cắt các cạnh và lần lượt tại và Gọi là thể tích khối chóp Tìm giá trị nhỏ nhất của ?

Trang 16

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng

Câu 45: [2H1-2.5-3] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Cho khối chóp tam giác

có thể tích bằng 6 Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Thể tích của khối chóp là?

Câu 38 [2H1-2.5-3] (Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho khối tứ diện với

trung điểm của hai cạnh Thể tích của khối tứ diện tính theo bằng:

Trang 17

Ta có (đvtt)

Câu 1910: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp Gọi , , , lần lượt là trung điểm của ,

, , Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp và là:

Trang 18

Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm sao cho

suy ra là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra

Khi đó Lại có

Câu 1940: [2H1-2.5-3] Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc

với đáy, hợp với đáy một góc , lần lượt là hình chiếu của lên , mặt

phẳng , cắt tại Khi đó thể tích của khối chóp là:

Trang 19

A B C D

Câu 1988 [2H1-2.5-3] Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, có thể tích

bằng Gọi I là trọng tâm tam giác Một mặt phẳng chứa và song song với cắt các cạnh lần lượt tại Khi đó thể tích khối chóp bằng:

Trang 20

Trên các cạnh lần lượt lấy sao cho Ta có: ,

Suy ra vuông tại Hạ vuông góc với mp thì

Trang 21

Vậy:

Câu 227: [2H1-2.5-3][THTT-477-2017] Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng , cạnh

bên bằng và tạo với mặt phẳng đáy một góc Thể tích của khối chóp có đáy là đáy củalăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là

Gọi là hình chiếu của trên Khi đó

.Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng nên

 Cách 1:

Phân tích: tứ diện và khối chóp có cùng đường cao là khoảng cách từ đến mặt phẳng Do là trọng tâm tam giác nên ta có

(xem phần chứng minh)

Trang 23

Nên

Câu 15: [2H1-2.5-3] [2017] Cho hình lập phương cạnh Gọi lần lượt là

trung điểm của các cạnh Mặt phẳng chia hình lập phương thành 2 phần.Gọi là thể tích của phần chứa đỉnh là thể tích của phần còn lại Tính tỉ số

Thiết diện tương ứng là ngũ giác

.Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng thì:

; Vậy thì phần đa diện chứa có thể tích là:

Suy ra phần đa diện không chứa có thể tích là:

Câu 38: [2H1-2.5-3] (THPT Lê Hoàn - Thanh Hóa - Lần 1 -

2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp có đáy là hình bình

Trang 24

hành Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , Mặt phẳng chứa cắt các cạnh , lần lượt tại , Đặt , là thể tích

(vì ).

Câu 1: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Cho

hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên vuông góc vớimặt đáy và Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trêncác cạnh Mặt phẳng cắt cạnh tại Tính thể tích củakhối chóp

Trang 25

Câu 46 [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp

, và song song với chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của haikhối đa diện đó ( số bé chia số lớn )

Hướng dẫn giải Chọn D

Trang 26

Cách 1: Ta có mặt phẳng cắt các mặt theo giao tuyến và cắt mặt theo giao tuyến Thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp là hình thang

Trang 27

Câu 49: [2H1-2.5-3] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp có

đáy là hình bình hành Gọi , , , lần lượt là trọng tâm các tam giác ,, , Biết thể tích khối chóp là , khi đó thể tích của khối chóp là:

Trang 28

Mà

Câu 18: [2H1-2.5-3] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy Gọi , là trung điểm của , Mặt phẳng chia hình chóp đã cho thành hai phần tỉ số thể tích hai phần và

là:

Câu 6535: [2H1-2.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho tứ diện đều Gọi , , lần

lượt là trọng tâm của các tam giác , Tính

Trang 29

Gọi , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , Ta có.

bằng:

Trang 30

bằng:

Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có

Trang 31

Câu 6609: [2H1-2.5-3] [Cụm 1 HCM năm 2017] Cho hình chóp tam giác có

Trang 32

Gọi là tâm hình bình hành đáy

Trang 33

Câu 6652: [2H1-2.5-3] [THPT Chuyên LHP - 2017] Cho khối chóp có đáy là hình

bình hành và có thể tích là Trên các cạnh , lần lượt lấy các điểm sao cho

Mặt phẳng cắt cạnh tại điểm Tính thể tích của khối

Câu 6653: [2H1-2.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03 - 2017] Cho tứ diện có các cạnh

lượt là hình chiếu của trên Tính thể tích của tứ diện

Trang 34

Câu 6654: [2H1-2.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2 - 2017] Cho hình chóp có đáy là

tam giác vuông cân tại , , vuông góc với mặt phẳng , góc giữa hai mặtphẳng và bằng Gọi là trung điểm của cạnh Thể tích của khối

Trang 35

Ta có:

Câu 6655: [2H1-2.5-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa - 2017] Cho hình chóp tứ giác

có thể tích bằng Trên cạnh lấy sao cho Mặt phẳng qua vàsong song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh , , lần lượt tại , , Tínhthể tích khối chóp

.

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

.

Câu 6658: [2H1-2.5-3] [Sở Hải Dương - 2017] Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại

của Tính thể tích của khối tứ diện

Cách 1 (Tính trực tiếp).

Trang 36

Gọi là trung điểm , mà và

đáy:

Câu 6660: [2H1-2.5-3] [BTN 173 - 2017] Cho tứ diện có cạnh và đôi một

vuông góc với nhau, và Gọi và lần lượt là trung điểm của

Tính thể tích của tứ diện

Trang 37

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

Câu 40: [2H1-2.5-3] (THPT Phan Chu Trinh - ĐăkLăk - 2017 - 2018 - BTN)

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hai mặt phẳng

và cùng vuông góc với đáy, biết Gọi , , , lầnlượt là trung điểm các cạnh , , , Tính thể tích khối chóp

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	4,86 MB