Định nghĩa 2.5. Cho s là một nửa nhóm ngược vầ P = {E : a e y} là
một phân hoạch của Es. Khi đó, p là phân hoạch chuẩn tắc của Es
nếu
(i) a,ß e J thì 3ỵ e J sao cho EaEp C Eỵ
(ii)CXGJ và a&s thì 3 ß&J sao cho aEaãl C Ep.
Ví dụ 2.1. (R là nửa nhóm ngược và p = {£'1,£'2} với E1 = joj, E2 =
{1} là phân hoạch chuẩn tắc của ER. Thật vậy
(i) Ta có 0.1 = 0=> EXE2 CZ Ex
- ơ
và ĩ'£Ấ. Ta có:
= <T
aE2a =ạ.a = ạa =lc£2
= |£,
|,£’2| là phân hoạch chuẩn tắc của ER.
Nếu s là một nửa nhóm ngược, p = ịE : a e 7} là một phân hoạch
chuẩn tắc của Es thì E là tập lồi, Va G J. Thật vậy, cho e,g gE với e< f < g và f ^Ep. Khi đó e<f^>ef=êEEj SczẸ Do đó
f = sf e EEß C Ea => Ea là tập lồị
Kí hiệu 7ĨP là quan hệ tương đương trên Es sinhbởi
p. Định lý sau
đây chỉ ra rằng tồn tại đồng dư p trên s sao cho p
tả các đồng dư lớn nhất và nhỏ nhất.
Định lý 2.3. Cho P = \E :aeJ} là phân hoạch chuẩn tắc của nửa dàn
của các phần tử lũy đẳng của nửa nhóm ngược s. Đặt
Ể7 = {(a,ồ)eSxS| 3 a G J : a a ~l, b b1 GE ; 3 e GẼ : e a = ebI
/7 = |(a,z?)e5x,s a&J =>EỰ?e7:aE a1, bE
Khi đó, ơ và p tương ứng là các đồng dư nhỏ nhất và lớn nhất trên s sao
cho
E . ■
Chứng minh'.
Ta có ơ là quan hệ tương đương. Thật vậy
(i) Ta có Vfle5, 3ae/:afl“1e£' ; :ea = ea=>(a,a)ecr
=>ơ có tính chất phản xạ
(ii) Nếu (a,b)&ơ =^>3a eJ :aã\ bb1 eE và 3e&E :ea = eb
=^3a e7 :bb~\ aãl &E và EleeE1 \eb — eâ>{b,à)&ơ =>ơ có tính chất đối xứng.
(ii) VữeR ta có aÊa = ạ0.a =0c£,
„ và nó còn mô
b.C r
= p
(iii) \/(a,b),(b,c)eS xS. Nếu (a,b),{b,c)^ơ thì
3a e J: aãl, bb~l e E và 3e e E :ea=eb El/? e J:
bb~l, CC1 e Eß và EỊ\f &Eß: fb = fc Do ồỉr1 e £■ , Eß=>a = ß. Ta có e,f e £ . Giả sử e < f =>ef = fe = ẹ Ta có:
flĩ - fc => ẹfb — efc => eb — ec Mà ea — eb^ea — ec. Vậy Bae/iflfl"1, cc"1 e£ và 3eeE \ea-ec => (a,c) e <T=>
cr có tính chất bắc cầụ Vậy CT là quan hệ tương đương. Lấy (a,b)eơ,
ce5. Khi đó, ta có
3ae7:aa- 1, e£ và 3 eeE1 : e a = e b.
Giả sử [ac){acỴ =acc~lãl & E , ịbc){bcỴ = bcc~lb~l &ES. Do
(aãl^acc~lãl^GE E nên
ịacT1 )(acc_1ôf1) = ịaâà^ịcc ^a1) = acc la l e E ^>EaEr^Er
Tương tự, ta có E Eế^Eế. Thật vậy, do (bb~1 >)(bcc~1b~1 >) e E Es, ịbb ^ịbcc^b1) = ịbb tyịcc^b1) = bcc lb l eEä=>E E c Eg
Ta có eacc la l — eeacc 'a ' (Do e là phần tử lũy đẳng)
= eacc~xãle (Do trong s các phần tử lũy đẳng giao hoán)
= ebcc~1b~le (Do ea = eb,ịeà)1= { e b ) 1 )
= eebcc 'b ' (Do trong s các phần tử lũy đẳng giao hoán) = ebcc xb ' (Do e là phần tử lũy đẳng)
Mà eacc~lãl GẼ E , ebcc 'b1 &E EX<^EX=^>E = Ex. Măt
a Ỵ — Y a o — ô ỵ Ổ •
ựè)ac = f{eà)c = f (eb)c = ựe)bc => (ac,bc) e ơ
Do p là phân hoạch chuẩn tắc nên 3ỵ G J, cE c”1 c E
=> (cữ)(cữ) 1 = cacTlc~l GCE c~l czE ,
(cb){cb) 1 = cbb~lc~l e cE c~l c E
Nếu / = caa Ảec Ả thì /ec£c“'c£ và fca = caãlec~lca = caa Ac Acea
(Do trong s các phần tò lũy đẳng giao hoán) = caãlc~lceb — caa xec
xcb — fcb => {ca,cb) e ơ Vậy <T là đồng dư trên s. Hơn nữa, ta có <7 E
=7ĩp.
Giả sử Tlà đồng dư bất kì trên s sao cho T
= ĩtp. Lấy
(a,fc)ecr ta có aal,bbl,e&E . Do đó aal7ĩp=bbl7ĩp=e7ĩp. Do aãlT =
bb\ = ex
E =ơ ịE =7ip=>aa T = bb T = er ar = (aâajr = ịaãl >}TaT = erat = {ea)x = (eb}r ịaãl >}TaT = erat = {ea)x = (eb}r
= exbz - bb lrbr - br
=>(a,z?)er
=> Ơcz Tvà ơlà đồng dư nhỏ nhất trên s sao cho ơ
Tương tự ta cũng chứng minh được rằng p là đồng dư lớn nhất trên s và
p E = 7ĩp. Thật vậy, ta có p là quan hệ tương đương. Vì
(i) Ta có Va e s,a e J luôn 3/3 e J sao cho aE ãx C Ep (Do p là
phân hoạch chuẩn tắc của Es) có tính chất phản xạ
(ii) Nếu (a,b) e yơthì với a G 7,3/? e J sao cho aEaãl,bEab~l C Ep
=>3/?e7 sao cho bE b~x,aE ãx C I = > ( f r , f l ) eyơ=>p có tính
chất đối xứng
(iii) y{a,b),{b,c)€:S'x.S. Neu (a,b),{b,c) e yơ thì
Vae 7 => Eự? ẹ/: ã\bEb~lcEß
VaeJ=>3ßeJ:bEb 1,cE c 1 <=£
• a 7a — i
= ơ
Es np •
^>\/aeJ,3/3eJ:aEaãl,cEac~lC;E/3
^>(a,c)ep Vậy p là quan hệ tương đương.
Lấy (a,z?)ecr, ceS1. Với a&J thì 3ỵe7 :cE c~l czis (Do p là phân
hoạch chuẩn tắc của Es). Do đó ta có
acE (ac) 1 = acE c~lãl CỊaiì a”1 CỊ £■ (Theo giả thiết (a,b) e p) bcE ịbc) 1 = bcE b~1ã1 CỊ «£■ ữ_1 CỊ £■ (Theo giả thiết (a,b) e p) =>\/a gJ,3ĩj gJ :acE [acỴ,bcE ipc)1 czE =>(ac,èc)ep Doe (7=> Va € e /: fl£aữ_1> bEab~l ẹzEf i. Do đó, ta có
caE ịcà) 1 = caE ãlc~l c cEpcl c E (Do p là phân hoạch chuẩn tắc) cbE (cư) 1 = cbE b~lc~l c cEpc~l c E => (ca,c&) e p Vậy p là đồng dư trên s.
Hơn nữa, p là đồng dư lớn nhất trên s và
Ẹ •
Định nghĩa 2.6. Cho s là nửa nhóm ngược. Ta gọi N là hệ hạt nhân
chuẩn tắc của s nếu N là một tập hợp của nửa nhóm con của s, N — {iV
:ae/Ị sao cho nếu E =EN thì
(1)\Ea : a e 7} là một phân hoạch chuẩn tắc của Es;
(2)aã\ bb~1 eE và a,ab~l eiV thì beN
(3)aã1, bb1 e E , ab1 e N và aEf ìa1 CI E thì aNf íb l cJV .
\ / 7 a " a ß — Y ß — Ỵ
Định lý 2.4. Cho s là nửa nhóm ngược và = {Afa :ae/Ị là hệ hạt nhân
PN ={(ö,^)s5x5'|3ae J :aa \bb 1&E ,ab 1 eiV I Khi đó PN là
đồng dư trên s và ịN :ae/Ị là tập các phần tử lũy đẳng của S/pN.
Ngược lại, cho p là một đồng dư trên s. Khi đó N = \ep:e G Es} là hệ hạt nhân chuẩn tắc của s và p — PN.
Do đó một đồng dư trên nửa nhóm ngược được xác định duy nhất bởi lớp đồng dư chứa các phần tử lũy đẳng.
Định lý 2.5. Cho s là nửa nhóm ngược và P = {E : a e y}là phân
hoạch chuẩn tắc của Es. Với mỗi a G J, cho
T là nửa nhóm con ngươc lớn nhất của s sao cho ET =E„,
a «-* • Ia a
Ma={x^Ta\ 3e&Ea:ex = e},
Na={xcTa\Ea Eß c Er xEßx~l C Eỵ)
Khi đó M = ịM :ae7| và = :aejỊ là các hệ hạt nhân chuẩn tắc của s, pM—
ơ , pN— p trong đó ơ và p được định nghĩa như trong định lý 2.3.
Chứng minh'.
Với mỗi GCGJ , cho u , V tương ứng là ơ — lớp và p—lớp của s chứa
E . Rõ ràng M cí/ . Do Ev =E => ơ cĩ. Do đó nếu X e u
=>X eT . Hơn nữa, do X, xt”1eUa=>xr”1) e ơ (theo định nghĩa của ơ) nên
3eeE :ex = exx1 => exe = exK~le = exx ' G E (Do e,xx ' G E )
a a v 5
a '
Do đó ịexè)x = exex = ex (Do ex — exx1 lũy đẳng)
= exx1 — exe
=>x<=Ma,Ua^Ma.VặỴ Ma =ua và pM =ơ.
Cho X€LN , ta có XX 1 eE (Do XX 1 eN , XX 1 lũy đẳng). Yớibất kì ß e J,XX1
Erxx~x = (JUT1 ì2E„ = xx~lER c E E„ c E . Khi đó xEf íx~l CI E
• ß \ ) ß ß — a ß — Y ß —Y
(theo định nghĩa của N ) N cV =>JceV . Mặt
khác, do Ev =Ea, Vcĩ và XGVb=> *, AT1 eTa
Cho ß e J , giả sử EaEpc:Er. Cho êEa,f &Ep, g&Eỵ. Khi đó e f e e C £ =^>
(<?/?)(/jo)(eyo) = (gp).
Do ep = xp = x~lp =^> (ực-1)/? = (sp)(/p)(*>) = (ep)(//?)(ep) = g p
=> Jt/3[f1 e £ (theo định nghĩa của N )
Do p là phân hoạch chuẩn tắc của Es =^> xEßx~l c E => G iV
=>Va=Na\k pN=p.