ngược Định lý 2.6. Cho s là nửa nhóm ngược và cho
0 = {(A>A)GA(5)XA(5):A|£S = A|£s}
Khi đó
(i) 9 là đồng dư trên Ăs);
(ii) Mỗi ớ —lớp là một dàn con môđun đầy đủ của Ă5) (với một phần tử
lớn nhất và nhỏ nhất);
(iii) Dàn thương Ăs)/ớ là đầy đủ và đồng cấu tự nhiên 0* của
Ă5) lên Ăs)/ớ là đồng cấu dàn đầy đủ.
Chứng minh'.
(i) Ta có s là nửa nhóm ngược => s là nửa nhóm chính quỵ Theo định lý 2.2 =^>ớ là giao tương đương tương thích trên Ăs). Để chứng
minh 9 là đồng dư ta chỉ cần chứng minh nếu (yơ15yơ2) e 6, yơ3 e Ă5) thì
Cho e E Es và f €= e(yơj V yơ3) n Es. Khi đó / e Es và (e,f) G px V . Do đó 3xvx2,...,xk&s sao cho (e,x1)&p1,(x1,x2)&p3,...,(xk,f)ep3
=> ePiịxixi’x2x~i)e A—’OvC’/)e A •
Do (PpA)e<9 =>(ế?,**1) eA,( W’W) eẠ-.(W./) € p3
^>(e,/)e/?2vp3 và /ee(AVẠ)n£s =>e(A Vp3)n£s ce(p2 Vp3)nEs
Tương tự, ta cũng chứng minh được e{p2 V p^)c\Es Vyơ3)rì£5.
và (A VA’A VA)g ớ-
(ii) Ta có s là nửa nhóm ngược => s là nửa nhóm chính quy => mỗi ớ
—lớp là một dàn con môđun đầy đủ của Ă5)(với một phần tử lớn
nhất và nhỏ nhất) (theo định lý 2.2)
(iii) Để chỉ ra Ă5)/ớ là đầy đủ và đồng cấu tự nhiên 0* của
Ăs) lên Ăs)/ớ là đầy đủ (tức là, 0* bảo toàn bất kì hợp và giao cũng như
cặp hợp và giao) nó là đủ để chỉ ra 6 là đồng dư đầy đủ theo nghĩa: nếu tồn
tại tập chỉ số I,p, p1 eĂ5), Vỉ'e/ và Ịp.,//jeớ, Vỉe/thì
Do đó )Ơ1 V yơ3
00 (n n
V
và
<b>
Thật yậy, ta có ịp„p'^ê> p, n(EsxEs) = p' r,(EsxEs)
=> n n )
Cho ểe£j và /eeỊyỌV V Khi đó f ^ Es và
(e,/)e J9. V V p.. Do đó 3xx,x2,...,xk e5 sao cho
(e,X l)zp„h,x2)G . v.^/>.,...,(**,/)e .v.^. =>M*2*2_1)e ■e Ta có («.«')e0=>(*. vr‘)efl.ivr'.w)e ...(*Ã'./)e .v^p, Me’f)*pl v vMPt và /ee(A' Vj V/Ịnỉ, v „ỉí * A) n E* = e(p' v ^/)n ^
Tương tự, ta cũng chứng minh được
e{p' vJ.x„^)n£‘ se(p‘ vz*p>hE’
Do đó vơ. „ = V p' „ và í V p., V p\ I e 9. Vây ta có (iii).
ilr* Es ilr‘ E> W ie/ ' / J v '
2.5. Hê hat nhân chuẩn tắc• • • •
Cho s là một nửa nhóm ngược và định nghĩa p trên ĂS') như
trong định lý 2.6.
Định nghĩa 2.7. Cho T là một nửa nhóm, p là đồng dư trên T và
BẹzT. Khi đó T\3b&B:(b,x)&p).
Bổ đề 2.8. Cho T là một nửa nhóm, px, y02 là đồng dư trên T và
B ^ T . Khi âỏ[[B]p1]p2=[[B]p2]p1=>[[B]p1]p2=B(p1vp2). Chứng minh'.
(i) Theo định nghĩa ta có [[-ßjyojyo, c: B(p1 V yơ2). Thật vậy
Lấy X e [[ß]pJ/?2 => 3% e [B]p,: (b^x) e /?2
=^>3b2eB: (b^G A,(M) e p2
=^> 3b2 G B: (b2,x) G px V p2 => X GB(p1 V yơ2)
^[[5]A]A<=5(AVA)