(e,/)e J9. V V p.. Do đó 3xx,x2,...,xk e5 sao cho
(e,X l)zp„h,x2)G . v.^/>.,...,(**,/)e .v.^. =>M*2*2_1)e ■e Ta có («.«')e0=>(*. vr‘)efl.ivr'.w)e ...(*Ã'./)e .v^p, Me’f)*pl v vMPt và /ee(A' Vj V/Ịnỉ, v „ỉí * A) n E* = e(p' v ^/)n ^
Tương tự, ta cũng chứng minh được
e{p' vJ.x„^)n£‘ se(p‘ vz*p>hE’
Do đó vơ. „ = V p' „ và í V p., V p\ I e 9. Vây ta có (iii).
ilr* Es ilr‘ E> W ie/ ' / J v '
2.5. Hê hat nhân chuẩn tắc• • • •
Cho s là một nửa nhóm ngược và định nghĩa p trên ĂS') như
trong định lý 2.6.
Định nghĩa 2.7. Cho T là một nửa nhóm, p là đồng dư trên T và
BẹzT. Khi đó T\3b&B:(b,x)&p).
Bổ đề 2.8. Cho T là một nửa nhóm, px, y02 là đồng dư trên T và
B ^ T . Khi âỏ[[B]p1]p2=[[B]p2]p1=>[[B]p1]p2=B(p1vp2). Chứng minh'.
(i) Theo định nghĩa ta có [[-ßjyojyo, c: B(p1 V yơ2). Thật vậy
Lấy X e [[ß]pJ/?2 => 3% e [B]p,: (b^x) e /?2
=^>3b2eB: (b^G A,(M) e p2
=^> 3b2 G B: (b2,x) G px V p2 => X GB(p1 V yơ2)
^[[5]A]A<=5(AVA)
^>3xỉ,x2,...,xk^T sao cho #,(*!,X2)ej02,...,(*t,*)ey02
=>^i eMPi =>*2 SDAIA]A=[[5]A]A (theo giả thiết).
Ta có [[[ßjpjpjpj = [[#]p2]/v Thật vậy: • [[MA] A] A <=[[£] A] A Lấy X e[[[5] A] A] A => e [M A] A : (^1 ’ *)e A => e [5]A: (Ml) e Ạ(M)e A =^> 3b2 e [5] A : (ft,,*) e pl (Do pl có tính chất bắc cầu) =>xe[[fi]p2]A =>[[MA]A]A <=[[#]A]A • [[51A]AC[[[%]A]A Lấy * e [[#] A] A => e MA: e A
=^>3^ e[B]p2,b2 GT:(bl,b2)epl,(b2,x)epl (Do p1 bắc cầu) => 3 b2 e [[5]a]Pi :(b2’X) ep\
=> xe [[[5] A] A] A =>[[*] A] A
C[[[Ä]A]A]A =>[[[5]A]A]A=[WA]A
Do đó, ta có
*3 e[[[fl]A]A]A =[MA]A =[[5]A] A
xk s[[Ma]a]a =[[£]a]a =[[ä]a]a *s[[Ma]a]a=[Ma]a=[Ma]a
^>£(AVA)<=[[5]A]A- Vậy
Bổ đề 2.9. Cho yơ, cre Ăs) sao cho (yơ,cr)eớ và Ịm I ae/| tương ứng là
các hệ hạt nhân chuẩn tắc của p và ơ. Ta định nghĩa
(iVvM) {^1 N , m&M :kk_ 1 &E , kn — mị Khi đó,
( N v M ) = [ Na] ơ = [ Ma] p . Chứng minh:
(ị)(NvM\s,[N„}cjn[M„\p
^kk~'&E , eE (Do &N , (n_1) (« ')
lũy đẳng); i|«4Ị gM (Dokn = m&M ) =>(fc,n_1)ecr =>£e[iV ]ơ\ Do fce[Af ] cr=>ElaeAf sao cho { k , à ) e<7 với
a1 a eE =>k~lk e E ^ k ^ k & N =>(k^k,n) e p =>ịkk~lk,h|ep(Do p tươngthích trái). Khi đó thích trái). Khi đó
( k , m ) = (kk~1k,kn)Gp=>k e [ Ma] p ^ k e [ Na] ơ n [ Ma] p .
Vậy (JVvM)oc[/VjCTn[M„]yơ.
(Ü) [ Na] a ^ ( N w M \
Cho k G [N ]cr. Khi đó 3n e N sao cho (&,n)ecr =>3yỡe7 sao cho kk~\nrflGEß và k r f1G Mß. Do ĩ i g N =>nn“1G£' =>£■ = Eß
=>knl gM =>Ả:e(iVvM) . Vậy [N ]crc(iV VM ) .
(iii) [ M ]ap ^ [ N v M ]a
Cho k e [ M ]yơ=>(fc,m)eyO với m e M . Khi đó ram1€ E (Do ram 1 e M , m m1 lũy đẳng) =>kk l & E . Ta có k z [ M . ] p ^’) s p =>(rVw'm) ep (Do p tương thích phải). Mà m 'm e E => fc *ra e N . Đặt n - k~lm. Khi đó kn = kk lm gE M CZ M = > f c e [ N v M ] . V ậ y
[M] p cf i V v A i ] .
Từ (ii) và (iii) => [ N „ ] a n [ M „ ] p Ị z ( N v M ị .
Vậy { N v M \ = [N']a = [ M ' ] p .
Định lý 2.7. Cho {# I a e j j , ỊM I a e j | tương ứng là các hệ
hạt nhân chuẩn tắc của ]o và ơ , trong đó (p,<y)eớ. Cho
( i V v M ) ={k\3n&N , m&M : k kl& E , k n = m ) \ ( N / \ M ) = N
n M . K h i đ ó { ( # v M ) I a e j | là hệ hạt nhân chuẩn tắc của p v ơ và
{ ( N aM) I a e j | là hệ hạt nhân chuẩn tắc của pr\<7. Chứng minh:
Ta có Veeis , e(yơncr) = eyơnecr. Thật vậy, lấy bất kỳ Jcee(pncr)=>(jc,e)e pc\ơ
\ x , e ) e p Ị x s e p = > í ' ' => <
=>xeepnecr=>eípnơjcepnecr (x,e)eff [jceecr
Ngược lại, lấy x^epr\eơ
\ x z e p \ ( x , e ) & p ___
X =^1 x,e)t pr\ơ=> x & e y p r \ ơ yx&eơ [(jc,e)ecr
=>ỂpneơCỂ(pnơ)^>e(pnơ)=ỂpnỂơ Mà epc\eơ = Na
r\Ma =>e(pncr) = Afa nMfl
=*{(JV AŨí) I a e j | là hệ hạt nhân chuẩn tắc của pc\ơ.
Nếu eeE thì ep = \E ]p = N và eơ = [E ]er = M . Do ớ - l ớ p là
dàn con của ẶS'), e&E =>e(yơVcr) = [£■ ](/?vcr). Theo bổ đề 2.9 ta có
[ Na] ơ = [ Ma] p ^ [ [ Ea] p ] ơ = [ [ Ea] ơ ] p =>[£■ ](/?vcr) = [[£' ]yơ]cr (theo bổ đề 2.8)
= [JV ]ơ = ( J V v M ) (theo bổ đề 2.9) vM) ữ €= </j là hệ hạt nhân
chuẩn tắc của p V ơ.
KẾT LUẬN
•
Trong khóa luận này em đã tập trung nghiên cứu về “Đồng dư trên nửa nhóm chính quy”. Đóng góp chính của khóa luận là trình bày một cách có hệ thống, chi tiết hóa một số Bổ đề, Định lý như: Bổ đề 2.1, 2.2,
2.3, 2.5, 2.9, Định lý 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, tìm hiểu thêm một số
khái niệm mới và đưa ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm đó mà trong chương trình Đại học chưa đề cập tới và mối liên hệ của chúng với các kiến thức có liên quan đến đề tàị Như vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt rạ
Để hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cũng như các thầy cô trong tổ Đại số nói riêng và đặc biệt là thầy Nguyễn Huy Hưng - Người thầy đã tận tình giúp
đỡ, chỉ bảo cho em trong suốt thời gian quạ
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài của em được hoàn thiện hơn.