Do ánh xạ p^pịơ là ánh xạ tự nhiên 1-1 nên px r\p2,p^ V/?2 e R =>R là dàn con của Ă5).
Cho R/ơ là một dàn con của các đồng dư giao hoán của Ă5/cr). Lấy
p,T e R và (a,b) e p 0 .Khi đó 3CGS sao cho (a,c) er, (c,è)eyơ => (acr,cơ") e rị <J,{cơ,bờ) ep/ơ (theo định nghĩa)
=>(ÔỂ7,ZKT) e p/cr
Do các phần tử của /?/<T giao hoán nên pl<J° 0
=>3dơeS/ơ sao cho (aơ,dơ)^p/ơ,(dơ,bơ)£T/ơ =3>(ữ,d)eyơ, (d,b)&T ^(fl,è)er° =>yơ° °
=> ỉ là một dàn con của các đồng dư giao hoán của A (5)
Cuối cùng, cho R/ơ là một dàn con đầy đủ và C'czR. Khi đó
p/ơczR/ơ. Đặt rjơ = \/ p <_c p ơ. Ta có p/crcr/ơ, VpeC ^pcĩ. Mặt khác yơcr', VyơeC=>p/crcr'/cr, Vpec
^7/ơ = V^cr'/ơ.
Dođó rcr' và V cp = T&R.
Tương tự, ta có n^peÂ. Vậy R là dàn con đầy đủ của Ăs). Chú ý 2.1.
Trong bổ đề 2.5 nếu R là dàn con (dàn con của các đồng dư giao hoán, dàn
con đầy đủ) của Ăs) thì hiển nhiên R/ơ là dàn con
(dàn con của các đồng dư giao hoán, dàn con đầy đủ) của Ăs/<r).
Người ta chứng minh được các kết quả sau liên quan đến đồng dư trên nửa nhóm chính quy:
Bổ đề 2.6. Cho p là một đồng dư trên nửa nhóm chính quy s. Khi đó,
p — lớp lũy đẳng chứa một phần tử lũy đẳng của s.
Với bất kì nửa nhóm s, đặt x(ỉỉ) = jyP e Ăs): /)C fíj .
Bổ đề 2.7. Cho s là một nửa nhóm chính quỵ Khi đó s(-ơ) là một dàn con của ĂS') của các đồng dư giao hoán với phần tử lớn nhất và nhỏ nhất.
Định nghĩa 2.4. Đồng dư p trên nửa nhóm s được gọi là lũy đẳng tách
được nếu mỗi p — lớp chứa nhiều nhất một phần tử lũy đẳng.
Người ta đã chứng minh được rằng bất kì đồng dư p trên nửa nhóm mà
nhóm chính quy đều nằm trong H. Vì vậy với bất kì nửa nhóm chính quy s, z(#) là tập các đồng dư lũy đẳng tách được trên s.
Với bất kì tập con lồi cùng với phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của một dàn đầy đủ là một dàn con đầy đủ. Do đó, với bất kì nửa nhóm chính quy s, vì z(#) là tập con lồi của ĂS') nên theo bổ đề 2.7, s(-ơ) (tập
các đồng dư lũy đẳng tách được trên S) là dàn con đầy đủ của Ă5). Định lý 2.2. Cho s là một nửa nhóm chính quy và đặt
ớ = {(A’A)eA(5)xA(5):eAn£5=ep2r>Es,YỞi mỗi eeEs}
= {(Pi5A)eA(5)xĂ5):A|£s = A|£s}-
Khi đó
a) 0 là giao tương đương tương thích trên A (5)
b) Mỗi ớ —lớp là một dàn con môđun đầy đủ của Ă5) (với một phần tử lớn nhất và nhỏ nhất).
(e,/)ep. Do p,T&0-lớp =>p
=>(e,/)eơ-=>yơ
Ngược lại, nếu (e,/)ecr thì (e,/)er,Vre A=>(e,/)eyơ
£ . Mà y9eẤ=>ơeẤ. Vậy A có một
phần tử nhỏ nhất.
Với bất kì /JGẨ, pỊơ là lũy đẳng tách được. Thật vậy, giả sử /j
và /2 là các phần tử lũy đẳng của s / ơ sao cho (/15/2)spị<J. Theo
bổ . Do đó JƠ
Chứng minh'.
a) Ta có ớ là quan hệ tương đương trên Ă5). Thật vậy
VA>A>AGA(S)
(i) Ta có P1 E = P1 E => (yOp/?j) e 9 => 6 có tính chất phản xạ
(ii) Nếu p,
6 có tính chất đối xứng
(iii)Nếu (p„p2)&9 và (/?2,JƠ3) £<?=>#
^ (yơj,/73) e 0 => ớ có tính chất bắc cầu Vậy
ớ là quan hệ tương đương trên Ăs). Lấy (pj,p2) eớ và /?3 e Ăs). Khi đó, ta có:
Px (£s X £s) = A n(Es XEs)
=> A np3 n(£s x£s) = /72 n/>3 n(£5 x£s) =>(/?! np3,p2np3)& 9.
Vậy ớ là giao tương đương tương thích trên Ăs).
b) Cho A là một ớ —lớp, peẠ Đặt <T = n AT. Lấy e,feEs và
= A = A (p2,A)eớ - A -A = A ■ A = A Khi đó (e,/)er,VreA = r = cr
đề 2.6, 3eí,e2 e Es sao cho /x = ex<j, /2 = e2ơ (gjCT, e2ờ) G pịơ
nên ta có (e1,e2)ecr^>/1 —êa — e/T — f^
Do đó pỊơ là lũy đẳng tách được.
Mặt khác, với bất kì đồng dư T trên s/ơ thì
T' = {(a, b) e s X s : (aơ, bơ) e rỊ
là một đồng dư trên s. Giả sử T là lũy đẳng tách được. Nếu e,f GES thì
(e,/)er'. Khi đó (eơ, fơ)er. Do T là lũy đẳng tách được
\e„ e2)<=p. Mà p
■ecr = /cr=>(e,/)eơ\ Do đó Tf
r'/<T = 7-
=>{yơ/cr :peẤ| là dàn con của các đồng dư lũy đẳng tách được trên s/ơ.
Theo bổ đề 2.7 và nhận xét bên dưới ta có A/ơ là dàn con đầy đủ của
A{s/cr) của các đồng dư giao hoán. Theo bổ đề 2.5, A là dàn con đầy đủ của ĂiS) của các đồng dư giao hoán. Do đó A là dàn con môđun đầy đủ của
Ă5). Do A là dàn con đầy đủ của Ă5) nên V A/?eẨ và Ấ có một phần tử lớn
nhất.