Yới nửa nhóm s bất kì, kí hiệu A (5) là dàn của các đồng dư trên s. Nếu <T và p là các đồng dư trên nửa nhóm s sao cho crc/7 thì họ pịơ
ữên s/ơ được định nghĩa bởi
pỊơ = \^xơ, jcr)e1s/crx5,/ơ:(x,j)ep| là một đồng dư trên
s/ơ. Hơn nữa, ánh xạ p —> p/<T là ánh xạ 1-1 bảo toàn thứ tự của các đồng
dư ]o trên s chứa ơ tới các đồng dư trên s/ơ.
Nếu <j,p,T G và CTCZyơ,r thì
(pnr)/ơ = p/ơnĩ/ơ, (p V r)/cr = (p/cr) V (r/cr) .
nếu c là tập con khác rỗng của Ă5) thì V cp có thể miêu tả như là I(x,3;)e5,x5:3xj,x2,...,x eS và yơ15yơ2,...,/?+1 eC (không nhất thiết tất cả phải phân biệt) sao cho (*,*x) epx,(jiq,jc2) & p2,...,{x ,y)e/?+1Ị.
Định nghĩa 2.1. Cho 0^ỉcĂ5). Khi đó, R được gọi là dàn con của Ă5) nếu px np2,px V p2 € R, V/Tj,/^ € R.
Định nghĩa 2.2. Một dàn con R của ĂS') được gọi là một dàn con
môđun nếu các đồng dư trong R giao hoán, nghĩa là có p,T^R thì p° ° .
Định nghĩa 2.3. Một dàn con R của Ă5) là dàn con đầy đủ nếu cho
CcÄ thì V cp, n c p không chỉ tồn tại trong A (S') mà còn thuộc R.
Bổ đề 2.5. Cho s là một nửa nhóm và R — {p.: ỉ e /} là tập con của
Ăs) sao cho cr = n ,/?. e/ỉ. Nếu R/ơ = {p /ơ:i e/} là một dàn con (dàn con
của các đồng dư giao hoán, dàn con đầy đủ) của Ăs/ơ) thì R là một dàn con (dàn con của các đồng dư giao hoán, dàn con đầy đủ) của A (S').
Chứng minh:
Lấy PVP2^R. Do R/Ơ là một dàn con của Ă5/cr) =^>pxỊơc\p2Ịơ^Rịơ
và plỊơvP2ỊƠGR/Ơ. Mà:
pjơr\pjơ = (plr\p2 )Ịơ