Giáo án ôn tập cuối năm Giải tích 12 soạn theo phương pháp mới

Phương pháp tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn: -Tính đạo hàm cấp 1, tìm nghiệm của đạo hàm cấp 1 trên đoạn đang xét... MỞ RỘNG, TÌM TÒI, SÁNG TẠO Ứng dụng giá trị lớn

Trang 1

Ngày soạn:

Ngày dạy:

Tiết PPCT: 67 – 76

BÀI: ÔN TẬP CUỐI NĂM

I Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học sinh nắm được:

1 Kiến thức:

 Ôn lại toàn bộ lí thuyết của cả bốn chương

2 Kĩ năng:

 Làm thanh thạo các bài tập phần Ôn tập cuối năm trong SGK trang(145-148)

3 Thái độ: Rèn luyện tính tích cực trong học tập, tính toán cẩn thận, chính xác.

II Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề

III Chuẩn bị:

1 GV: Giáo án, vẽ sẵn một số đồ thị mà bài tập yêu cầu.

2 HS: Sgk, chuẩn bị bài ở nhà, đồ dùng học tập

IV Tiến trình bài dạy:

A KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi 1:

Cho hàm số yf x( )xác định trên R có đồ thị như hình vẽ trên Từ đây có thể tìm được?

+ Tính đơn điệu của hàm số?

+ Cực trị của hàm số?

+ Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn K ?

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành ?

Câu hỏi 2:

Nêu một số cách giải phương trình mũ – phương trình logarit, bất phương trình mũ – bất phương trình logarit đơn giản.

Câu hỏi 3:

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay đã học.

Câu hỏi 4:

Nhắc lại định nghĩa số phức, số phức liên hợp, mô đun số phức Biểu diễn hình học của

số phức

Trang 2

B HÌNH THÀNH KIẾN THỨC + LUYỆN TẬP.

1 BÀI TẬP 1 TRANG 145.

+ Nhận xét dạng của hàm

số đã cho Dấu hiệu nào để

biết được dạng đó.

+ Phương trình bậc hai có

nghiệm thực khi nào?

+ Tính   ' ?

+ Còn cách khác tìm

nghiệm hay không?

+ Giáo viên treo bảng có vẽ

sẵn đồ thị hàm số S và P

+ Là phương trình bậc hai

vì đã có điều kiện a khác 0

+ Phương trình bậc hai có nghiệm thực khi  0.

+  ' b2 ac1 + Tổng hệ số a b c   0

nên phương trình có hai nghiệm x1 1;x2 c

a

+ Quan sát đồ thị

BT1: Cho hàm số

a)Chứng tỏ pt f x ( ) 0 luôn có nghiêm thực và tính các nghiệm đó

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm Khảo sát sự bt và vẽ đồ thị S và P theo a

Giải

a)  = 1 với mọi a nên pt ( ) 0

thực phân biệt 1 2

2 1; 1

a

Đồ thị S

Đồ thị P

Trang 3

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU

a) Khi a 0 thì hàm số thành?

+ Học sinh thực hiện các bước

khảo sát

+ Giáo viên giới thiệu đồ thị

hàm số (C) sau khi học sinh

khảo sát

b) Xác định hình phẳng đã

cho trên đồ thị, nhìn vào đó,

cho biết trên đoạn đã cho, đồ

thị có cắt trục Ox hay không,

cắt tại điểm nào, qua đó

nhận xét xem khi đi qua

nghiệm đó, giá trị của hàm

số có đổi dấu không

a) Khi a=0

3 4 3

TXĐ : D=R

2

1 ' 0

3

x y

x





   



+ Bảng biến thiên

b) Nhận xét được rằng trên đoạn đã cho, đồ thị không cắt trục Ox tại những điểm khác hai đầu mút, đồ thị luôn nằm dưới trục hoành

1

3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a=0

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng

Giải TREO ĐỒ THỊ

b)

 

1

1 1

3 2 1

1

3 26 3





     





a) Cách tìm hệ số a, b?

b) Yêu cầu học sinh khảo sát

Với a, b tìm được thì hàm số

trở thành?

a)Thay tọa độ điểm A và B vào hàm số và giải hệ ta được a=1,b=-1

b) Với a, b tìm được thì:

y x x  x ;

y x ax bx

a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1;2)và B(-2;-1) b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị a và b tìm được

c)Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=0,x=0,x=1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành

Trang 4

c) Lập công thức tính thể tích:

2 ' 3 2 1,

1

3

x y

x







 

 

 +B¶ng biÕn thiªn:

c)

 

1 2 0 1

3 2 0

134 1

105







Giải

b) TREO ĐỒ THỊ

a) Lập công thức v t a t( ), ( )

b) v(t) = 0 ? ta cần giải phương

trình nào ?

a)

v t S t  t t  t ;

  '( ) 3 2 6 1

Nên v(2)=-5 ; a(2)=1

b)

v t  t t  t   t

BT4: Xét chuyển động thẳng xác

định bởi phương trình:

 

2

4 3 1

3

t

a) tính v(2), a(2) biết v t a t( ), ( )

lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0

4 2

y x ax b

a) Tìm a và b để hàm số có cực

Trang 5

Một giá trị x0 là cực trị của

hàm số khi nào?

Tiếp tuyến cần tìm là  Theo

giả thiết, đã biết được gì?

Khi x0 đó là nghiệm của phương trình y’ = 0 Với y' 4 x32ax

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm trùng phương đã cho

Biết y0 là tung độ của tiếp điểm, từ đó, tính được x0

chính là hoành độ của tiếp điểm f (x0) = 1

0

1 x 2









Do đó có 3 tiếp điểm là (0;

1);

trị bằng 3

2 khi x=1 b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1, 1

2

c) Viết PTTT của (C) tại điểm có tung độ bằng 1

Giải:

a) a và b phải thỏa mãn

y '(1) 0 a 2



b) Với giá trị của a và b như trên,

ta có hàm số 4 1 2

1 2

0

2

x







 



+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

c)  

0

2

x













Có ba tiếp tuyến thỏa mãn bài toán:

y = 1; 12

2

x

Trang 6

1 1

;1 ; ;1



Nêu các bước khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị hàm

số nhất biến.

Theo giả thiết, đã biết được

gì của tiếp tuyến?

Khảo sát hàm số đã cho

Đã biết được tọa độ của tiếp điểm Từ đó, viết được phương trình của tiếp tuyến.

1

x y

x m





 

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

b) Viết PTTT d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a 1

Giải

1

x





3

1

x



Bảng biến thiên

Đồ thị:

b)

 

a



PTTT :

1 1

a

a a





2

y

x





a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

Trang 7

Giao điểm của hai đồ thị

được xác định như thế nào?

c) Công thức tính?

b) Viết phương trình hoành

độ giao điểm của hai đường:

2

x 1

2 x





    

Ta có hai tiếp điểm (0; 1)

và (1; 2)

2 1

0 ( )

b) Tìm giao điểm của đồ thị (C) với đồ thị hàm số 2

1

y x  Viết PTTT của (C) tại mỗi giao điểm c)Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y=0,x=0 x=1 xung quanh trục Ox

Giải

a) Học sinh tự khảo sát

Có đồ thị như sau:

b) Phương trình hoành độ giao

1 2

x x





    

và  

2 '

2

f x

x





0 1; ' 0

2 1

2

 

1 2; ' 1 2

: 2

c)

2 1

0

2

2 2

x





Phương pháp tính giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất trên

đoạn:

-Tính đạo hàm cấp 1, tìm

nghiệm của đạo hàm cấp 1

trên đoạn đang xét.

- Tính giá trị của hàm số tại

các điểm đầu mút của đoạn

BT8: Tìm GTLN,GTNN của các

hàm số a) f x 2x3 3x212x1trên đoạn 2;5

2



b) f x x2lnx trên đoạn 1;e

Giải:

Trang 8

và tại các điểm là nghiệm

của y’.

-Tìm GTLN, GTNN trong

các số ở trên.

Tính GTLN, GTNN trên

khoảng, nửa khoảng:

-Tính y’, tìm nghiêm của y’

-Lập BBT

-Dựa vào BBT để kết luận.

HỌC SINH LÀM BÀI TẬP

a)

 

2 3;

f x



  





 

   

  GTLN:8 ; GTNN:-19 b)

 

: 1 0;

:

GTNN f

  



+ Khi giải phương trình

logarit, phải đặt điều kiện

chi biểu thức dưới dấu loga

dương

+ Khi giải phương trình mũ

bằng phương pháp đặt hàm

số mũ ẩn phụ, phải đặt điều

kiện cho ẩn phụ dương.

Phương pháp thường dùng:

- Đặt ẩn phụ

- Đưa về cùng cơ số.

-Logarit hóa (mũ hóa) hai

vế.

BT9: Giải các pt sau:

a) 132x 1 13x 12 0

b) 3x 2x 3x 3.2x 8.6x

c)

3 log x 2 log x2.log x 2

d) 2

log x 5log x 6 0

Giải:

a) 2 13.13x13x12 0 13x  1 x0 b) Chia cả hai vế với 4x

2

3 2

3

2 0

1

log 3 3

x

x t

   

        

 











c)

3 5

5 log 1

x x





2

PT



10.BÀI TẬP 10 TRANG 147.

Trang 9

- Đặt điều kiện cho bất phương

trình có nghĩa

- Đưa bất phương trình về

dạng chứa mũ / logarit có cùng

cơ số

- Đưa về dạng có vế phải bằng

0

- Xét dấu vế trái

BT10: Giải các bpt sau:

a) 2 2

3 2

x



b)  

2 2 log 1 1

1 2

x 

 



 

 

c)log2x 3log 4

d) 4

2

1 log 1

1 log 4

x x







Giải:

a)

2 3

0 1

3

; 3

2 2

x

t bpt

t t t t



 

 



 nghiệm của bpt là: x<0 hoặc x 1 b)

 

2

2 2

2

1 0

x

  



 



      c) ĐK:x>0 đặt t=logx

2

4

3 4 0



   



d) ĐKx>0 đặt tlog2 x

1

3 3

0

1

4 4 1

2

t bpt

t t t

t t













11.BÀI TẬP 11 TRANG 147.

Dùng phương pháp tích phân

từng phần

- Nếu dưới dấu tích phân

chứa hàm lnx thì đặt u bằng

BT11: Tính các tp sau bằng pptp

từng phần:

Trang 10

hàm này, dv là phần còn lại

chứa hàm đa thức thì đặt u

bằng hàm này, dv là phần

còn lại.

chứa hàm đa thức và hàm

lnx thì đặt u bằng hàm lnx,

dv là phần còn lại.

b a

a)

4

1 ln

e

2 2 6 sin

x dx x





c)  

0

sin



 



d)  

0

1

2x 3 e dxx







Giải:

a)

3

ln

; 2 3

dx du













 KQ:4 6 

9 e 

1 sin cot

x







KQ: 3 ln 2 6





cos





KQ:

2

x x







KQ: 3e-5

12.BÀI TẬP 12 TRANG 147.

3

u   x du

b) Đặt 3tan ?

5

c) Đặt u cosx du ?

d) Đặt u 1 tan x du?

1

du   x dx

2

3 1

5 cos

t



u x du xdx

2

1

1 tan 2

cos

x

BT12: Tính các tp sau bằng pp

đổi biến:

a) 24

0

3 x dx







(đặt cos 4

3

u   x

b)

3 5

2 3

5

1

9 25 x dx

 (đặt 3tan

5

c) 2 3 4 0

sin xcos xdx



 (đặt u=cosx)

Trang 11

d)

4

2 4

1 tan cos

x dx x







(đặt u 1 tan x) Giải:

a)

3 2

1 2

ln 3

4 u du 8

b)

4

6

3 5cos t 9 9 tan t dt









4

6

1

15 dt 180



c)

   

2 1

35

d) 2

2

1 tan 2

cos

dx

x

2 2 0

4 2 2

3

u du

13.BÀI TẬP 13 TRANG 148.

Lập công thức tính:

2

1

a)S x 1dx

b)S ln x dx ln xdx ln xdx





a) S = 6

b) Dùng phương pháp tích phân từng phần

S = 21 1e

BT13: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường:

a) 2

1

y x  ,x=-1,x=2 và trục hoành;

b) y=lnx, x=1/e,x=e và trục hoành

Giải:

2 2 1



b) 1

1

ln ln : 2 1

e

14.BÀI TẬP 14 TRANG 148.

Trang 12

HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU

+ Giao điểm của hai đồ thị là

(0; 0) và (2; 8)

Với x [0; 2], ta có 2x2 x3

nên

 

2

2 3 2

0



Có thể làm cách khác, không

cần so sánh hàm số nào nằm

phía trên:

 

2

2 3 2

0

HỌC SINH LÊN BẢNG LÀM BÀI TẬP

BT14: Tìm thể tích vật thể tròn

xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 ;

Ox Giải:

Giao điểm của hai đồ thị

2; 8



Ta có 2x2x3

   

2

0

256

35

15.BÀI TẬP 15 TRANG 148.

+ Học sinh nêu cách làm câu a,

câu b tương tự

+ Học sinh nêu cách làm câu d

+ Rút z như sau:

(2 5 ) (4 7 )

3 2

z

i





+ Đặt 2 2

6 0

BT15: Giải các pt sau trên tập số

phức:

a) (3+2i)z-(4+7i)=2-5i b) (7-3i)z-(2+3i)=(5-4i)z

c) z2 2z13 0

d)z4 z2 6 0

Giải:

a) ĐA: 22 6

13 13

b) ĐA: 7 4

5 5

c) ĐA: Z  1 2 3i

d) ĐA: Z1,2  3,Z3,4  2i

16.BÀI TẬP 16 TRANG 148.

BT16: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các bđt:

a) |z| < 2

Trang 13

+ Học sinh nhắc lại kiến thức

+ Học sinh lên bảng làm bài

b)|z i | 1

c) |z 1 i| 1

Giải:

a)

2 2

|z| < 2 x 2

y y

vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

z có mô đun nhỏ hơn 2 là hình tròn

có tâm tại gốc tọa độ bán kính bằng 2(không kể biên)

b)

( 1) 1

z là hình tròn có tâm I(0;1)bán kính bằng 1

c)

( 1) ( 1) 1

z là hình tròn có tâm I(1;1)bán kính bằng 1(không kể biên)

D VẬN DỤNG

BT:

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến điểm B trên một hòn

đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây dựng ống trên

bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước B’ là điểm trên bờ biển

sao cho BB’ vuông góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ là 9km.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt x B C km x ' ( ), 0;9 BC x236,AC 9 x

( ) 130000 36 50000(9 )

Hàm C(x) xác định và liên tục trên đoạn 0;9 và '( ) 10000 132 5

36

x

C x

x



Trang 14

Phương trình '( ) 0 5; (0) 1230000, 5 1170000, (9) 1406165

  Vậy chi phí thấp nhất khi x 2,5 Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km

E MỞ RỘNG, TÌM TÒI, SÁNG TẠO

Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào một số bài toán thực tế

1 Bài toán thực tế

Một người thợ xây cần xây một bể chứa nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch,

độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau

2 Phân tích

Toán học hóa

* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây

sẽ ít nhất khi và chỉ khi tổng diện tích bề mặt các thành và đáy của lòng bể là nhỏ nhất.

* Bài toán giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng diện tích của mặt đáy và

4 mặt xung quanh là nhỏ nhất Mà “cần tìm gì thì gọi đấy” [ 1 ] thôi

Trang 15

Cần tìm gì thì gọi đấy

Vì thế nếu gọi lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể và là tổng diện tích bề mặt của lòng bể thì ta có:

với

Vấn đề

* Tiếp theo chúng ta cần làm gì? Đó là tìm để nhỏ nhất Đây thật sự là một vấn đề [ 2 ], vì sao? Vì từ trước tới giờ chúng ta chỉ có các quy tắc, phương pháp cho bài toán tìm giá trị nhỏ

nhất của những biểu thức chứa 1 biến mà thôi [ 3 ], trong khi lại là biểu thức chứa 2 biến và

chúng ta chưa có sẵn công thức, định lý, quy tắc hay phương pháp nào cho bài toán 2 biến như thế cả Vậy thì phải làm thế nào?

* Hãy bình tĩnh và cố gắng phát biểu vấn đề một cách rõ ràng, rồi nhớ lại xem trong những tình huống tương tự như vậy thì chúng ta thường tư duy như thế nào?

Vấn đề: Đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 biến và cần tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 biến

Điều này có nghĩa là gì? Chúng ta có một câu hỏi cũ, “tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức”, nhưng cần trả lời trong 1 điều kiện mới là biểu thức đó chứa 2 biến OK? Chính xác là như thế Trong những tình huống như vậy, lời khuyên mà các “sư phụ” của chúng ta thường đưa ra

là gì?

Phương pháp tư duy

* Lời khuyên đó là: Quy bài toán chưa biết giải về bài toán đã biết giải hay còn gọi là “quy lạ

về quen”Cụ thể ở đây, nếu ta có thể đưa biểu thức , từ biểu thức phụ thuộc 2 biến, trở thành biểu thức phụ thuộc vào 1 biến thì bài toán được quy về bài toán quen thuộc Nhưng điều này chỉ xảy ra khi hai biến và phải có một quan hệ nào đó Vậy hai biến này có quan hệ gì không?

* Hãy quay lại đề bài của bài toán, có 1 giả thiết mà chúng ta chưa dùng tới Thật vậy, theo giả thiết thì thể tích của bể là nên ta có phương trình và đây chính là điều chúng ta cần, một phương trình quan hệ giữa và

* Từ (2) ta có thể rút được biến này theo biến kia và thế vào (1), khi đó chỉ phụ thuộc vào 1 biến, đó chính là mục tiêu của chúng ta Nhưng chúng ta sẽ rút biến nào theo theo biến nào, theo hay theo và tại sao?

Trang 16

Chắc bạn đang lẩm bẩm “Sao ông này kì zậy, hiển nhiên là rút theo rồi, rõ như ban ngày vậy còn hỏi lí do làm chi? Phức tạp hóa vấn đề quá haizz.” Ờ, đúng thế, quá hiển nhiên, nhưng mà rõ như ban ngày thì mới khó giải thích chứ tối như ban đêm thì giải thích làm gììì Chém gió thế đủ rồi, tóm lại là “mình thích thì mình rút thôi”

Ta có , thay vào (1) được và bài toán giờ chỉ còn là tìm để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, một bài toán toán học quen thuộc

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Việc giải bài toán này với các bạn học sinh lớp 12 thì dễ dàng thôi, còn với các bạn chưa học đạo hàm thì có thể vất vả hơn chút

* Bảng biến thiên

* Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi

4 Đáp số

Với suy ra nên chiều dài, chiều rộng và chiều cao cần tìm là

5 Quy trình chung

Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết các bài toán thực

tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:

Bước 1: Toán học hóa bài toán.

* Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán

* Từ điều kiện của bài toán thiết lập được 1 hàm số phụ thuộc vào 1 biến

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của bài

toán

Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng công cụ khác nhưng có thể khó khăn hơn

Bước 3: Kết luận bài toán ban đầu

Trong thực tế có rất nhiều bài toán tương tự như bài toán trên, dưới đây là một vài ví dụ

6 Bài toán tương tự

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	2,45 MB