Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.[r]
(1)Giải SBT Tốn 12 tập ơn tập cuối năm - Giải Tích 12 Bài 5.1 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12
a) Xác định a, b, c, d để đồ thị hàm số: y = x2 + ax + b y = cx + d
cùng qua hai điểm M(1; 1) B(3; 3)
b) Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị a, b, c d tìm mặt phẳng tọa độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong
c) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục hồnh
Hướng dẫn làm
a) a b thỏa mãn hệ phương trình:
b) (H.90) Ta có hai hàm số tương ứng là: y = x2 – 3x + y = x
Vậy S=3∫
1(−x2+4x−3)dx=4/3 (đơn vị diện tích)
c) V = V1 – V2, V1 thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình
thang ACDB quanh trục Ox, V2 thể tích vật thể trịn xoay sinh quay
(2)Ta có V1=π3∫1x2dx=26/3π
V2=π3∫1(x2−3x+3)2dx=22/5π
Vậy V=26/3π−22/5π=64/15π (đơn vị thể tích)
Bài 5.2 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y=−x+2/x+2
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết vng góc với đường thẳng y=1/4x−42
Hướng dẫn làm a) y=−x+2/x+2
+) Tập xác định: D = R\{-2} +) Ta có: y′=−4/(x+2)2
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−2),(−2;+∞) +) Tiệm cận đứng x = -2 limx→−2+y=+∞,limx→−2−y=−∞
Tiệm cận ngang y = -1 limx→±∞y=−1
(3)b) Tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc k = -4 (vì vng góc với đường thẳng y=1/4x−42)
Hồnh độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình: −4/(x+2)2=−4=>[x
1=−3;x2=−1
Ứng với x1=−3, ta có tiếp tuyến y = - 4x – 17
Ứng với x2=−1, ta có tiếp tuyến y = - 4x –
Bài 5.3 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y=4x−5/x−1
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), tiếp tuyến (C) A(2; 3) đường thẳng x =
Hướng dẫn làm
a) Tập xác định: D = R\{1} Đạo hàm: y′=1/(x−1)2
Bảng biến thiên:
(4)Tiệm cận đứng x = limx→1+y=−∞;limx→1−y=+∞
Tiệm cận ngang y = limx→±∞y=4
Giao với trục tọa độ: (0; 5) (5/4;0) Đồ thị
b) Ta có: y’(2) = Phương trình tiếp tuyến y = x +
Diện tích miền cần tìm là: S=4∫
2(x+1−4+1/x−1)dx=4∫2(x−3+1/x−1)dx=ln3
Bài 5.4 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau:
a) y=5x+3/−x+2 b) y=−6x+2/x−1
c) y=2x2+8x−9/3x2+x−4
d) y=x+2/−2x+5 Hướng dẫn làm
a) Tiệm cận đứng: x = 2; Tiệm cận ngang: y = -5 b) Tiệm cận đứng: x = 1; Tiệm cận ngang: y = -6
c) Ta có:
(5)Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang y=2/3 Ta có y=2x2+8x+9/(x−1)(3x+4)
Từ đồ thị có hai tiệm cận đứng x = x=−4/3 d) Tiệm cận đứng: x=5/2 Tiệm cận ngang: y=−1/2
Bài 5.5 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Tìm điểm cực trị hàm số sau:
a) y=−x3−6x2+15x+1
b) y=x2√x2+2
c) y=x+ln(x+1)
d) y=x−1+1/x+1 Hướng dẫn làm
a) y′=−3x2−12x+15;y′′=−6x−12
y′=0 3x⇔ 2+12x−15=0 [x=1;x=−5⇔
y′′(1)=−18<0;y′′(−5)=18>0
Vậy với x = -5 hàm số đạt cực tiểu yCT = -99
Với x = hàm số đạt cực đại yCĐ =
b) Tập xác định D = R Hàm số có cực tiểu x = 0, yCT = c) Tập xác định: x>−1;y′=1+1/x+1;y′>0, x>−1;∀
Hàm số ln đồng biến nên khơng có cực trị d) Tập xác định: R\{-1};
y′=1−/1(x+1)2;y′=0 [x=0/x=−2⇔
y′′=2/(x+1)3;y′′(0)=2>0′y′′(−2)=−2<0
Hàm số đạt cực đại x = -2 yCĐ = -
(6)Bài 5.6 trang 219 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Tìm a (0;2π) để hàm số y=1/3x∈ 3−1/2(1+2cosa)x2+2xcosa+1 đồng biến trên
khoảng (1;+∞)(1;+∞) Hướng dẫn làm
Tập xác định: D = R; y′=x2−(1+2cosa)x+2cosa
y′=0 [x=1;x=2cosa⇔
Vì y’ > ngồi khoảng nghiệm nên để hàm số đồng biến với x > 2cosa≤1 cosa≤1/2 π/3≤a≤5π/3 (vì a (0;2π).⇔ ⇒ ∈
Bài 5.7 trang 220 sách tập (SBT) - Giải tích 12 Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) ex+cosx≥2+x−x2/2, x R∀ ∈
b) ex−e−x≥2ln(x+√1+x2), x≥0∀
c) 8sin2x/2+sin2x>2x, x (0;π]∀ ∈
Hướng dẫn làm
a) Xét hàm số f(x)=ex+cosx−2−x+x2/2, có tập xác định R.
f′(x)=ex−sinx−1+x;f′(x)=0 x=0⇔
Ta lại có f′′(x)=ex+1−cosx>0, x 1−cosx≥0 e∀ x>0
Như vậy, f’(x) đồng biến R Từ đó: f′(x)<f′(0)=0, x<0;f′(x)>f′(0)=0, x>0∀ ∀
Ta có bảng biến thiên
Hàm số f(x)=ex+cosx−2−x+x2/2≥f
(7)Từ suy điều phải chứng minh
b) x≥0 x≥0 xét hàm số f(x)=e∀ ∀ x−e−x−2ln(x+√1+x2), ta có
f′(x)=ex+e−x−2/√1+x2
Từ f ‘(x) > với x > (vì ex+e−x>2 2/√1+x2<2 f‘(x)=0 x=0⇔
Vậy f(x) đồng biến [0;+∞), tức là: f(x)≥f(0)=e0−e0−2ln1=0
Từ suy điều cần chứng minh
c) Xét hàm số f(x)=8sin2x/2+sin2x−2x, x (0;π]∀ ∈
f′(x)=4sinx+2cos2x−2=4sinx(1−sinx)
f′(x)=0 [x=π/2;x=π⇔
Với x (0;π] ta có f′(x)≥0 dấu xảy hai điểm.∈
Vậy f(x) đồng biến nửa (0;π] Mặt khác, f(0) = nên f(x) > Từ suy điều phải chứng minh
Bài 5.8 trang 220 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau khoảng, đoạn tương ứng:
a) g(x) = |x3 + 3x2 – 72x + 90| đoạn [-5; 5]
b) f(x) = x4 – 4x2 + đoạn [-1; 2]
c) f(x) = x – ln x + khoảng (0;+∞) Hướng dẫn làm
a) Xét hàm số f(x)=x3+3x2−72x+90 đoạn [-5; 5]
f′(x)=3x2+6x−72;f′(x)=0 [x=4;x=−6 [−5;5]⇔ ∉
f(−5)=400;f(5)=−70;f(4)=−86
Ngoài ra, f(x) liên tục đoạn [-5; 5] f(−5).f(5)<0 nên tồn x0∈(−5;5)
(8)Ta có g(x)=|f(x)|≥0 g(x0)=|f(x0)|=0;g(−5)=|400|=400
g(5)=|−70|=70;g(4)=|f(4)|=|−86|=86
Vậy ming(x)[−5;5]=g(x0)=0;maxg(x)[−5;5]=g(−5)=400
b) minf(x)[−1;2]=f(√2)=−3;maxf(x)[−1;2]=f(2)=f(0)=1
c) minf(x)(0;+∞)=f(1)=4 Khơng có giá trị lớn
Bài 5.9 trang 220 sách tập (SBT) - Giải tích 12
Cho hàm số y=1/3x3−(m−1)x2+(m−3)x+4.1/2 (m tham số) (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(0;4.1/2)
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hồnh đường thẳng x = x =
d) Xác định m để đồ thị (1) cắt đường thẳng y=−3x+4.1/2 ba điểm phân biệt
Hướng dẫn làm bài:
a) y=1/3x3+x2−3x+4.1/2
+) Tập xác định: D = R
+) Sự biến thiên: y’ = x2 + 2x – 3
y′=0 [x=1;x=−3⇔
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến khoảng (-∞; -3) (1; +∞), nghịch biến khoảng (-3; 1)
Hàm số đạt cực đại x=−3;yCD=13.1/2;yCT=2.5/6x=−3; x =
(9)b) Tiếp tuyến với (C) qua A(0;4.1/2) có phương trình là:y=f′(0)x+4.1/2, f(x)=1/3x3+x2−3x+4.1/2
Ta có f ’(0) = -3
Vậy phương trình tiếp tuyến y=−3x+4.1/2 c) S=2∫
0(1/3x3+x2−3x+4.1/2)dx=7 (đơn vị diện tích)
d) Hoành độ giao điểm đường thẳng y=−3x+4.1/2 với đồ thị (1) thỏa mãn phương trình
1/3x3−(m−1)x2+(m−3)x+4.1/2=−3x+4.1/2 (2)
Ta có (2) 1/3x⇔ 3−(m−1)x2+mx=0
⇔x[x2−3(m−1)x+3m]=0
Để (2) có ba nghiệm phân biệt phương trình f(x) = x2– 3(m – 1)x + 3m = 0
phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
Bài 5.10 trang 220 sách tập (SBT) - Giải tích 12
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y=4x+4/2x+1
b) Từ (C) suy đồ thị hàm số y=|4x+4/2x+1|
(10)Hướng dẫn làm bài: a) y=4x+4/2x+1
Tập xác định: D=R {−1/2}∖ Ta có y′=−4/(2x+1)2
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−12) (−12;+∞) Tiệm cận đứng: x=−1/2; Tiệm cận ngang: y =
Giao với trục tọa độ: (0; 4) (-1; 0) Đồ thị:
(11)c) Tiếp tuyến có hệ số góc −1/4
Hồnh độ tiếp điểm phải thỏa mãn phương trình −4/(2x+1)2=−1/4
⇔(2x+1)2=16 [x=−5/2;x=3/2⇔
Hai tiếp tuyến cần tìm y=−1/4x+7/8 y=−1/4x+23/8