Ôn tập cuối năm Giải tích 12

TỔNG ÔN TẬP TIẾT : 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99 – 100 – 101 – 102 – 103 – 104 – 105 – 106 I : ĐẠO HÀM 1) Cho P(x) = ( ) 1−x ln9 & Q( x ) = x Cmr : P’(1) = Q’(1) P' ( x ) = = x −1 ln ln Q' ( x ) = x x −1 ' ⇒ P’(1) = Q’(1) ⇒ P' (1) = 31−1 ln = ln ln ⇒ Q' (1) = = ln 2) Hàm số P(x) = ax2 + bx + lấy giá trò dương ∀ x Tìm tất giá trò nguyên a b cho P’(1) = P’(x) = 2ax + b ⇒ P’(1) = 2a + b = ⇔ b = − 2a (1) P(x) = ax2 + bx + > ∀x ⇒ a > & b2 − 16a < (2) Từ (1) (2) ⇒ a2 − 8a + < ⇔ − < a < + Mà a∈ Z ⇒ a = 1,2,3,4,5,6,7 ⇒ b = 2,0,−2,−4,−6,−8,−10 3) Cho hàm số y = x.sinx Cmr : x.y’’ − (y’ − sinx) + x.y = y’ = sinx + x.cosx ; y’’ = 2.cosx − x.sinx ⇒ x.y’’ − (y’ − sinx) + x.y = x.(2.cosx − x.sinx) − (sinx + x.cosx − sinx) + x.(x.sinx) = x cosx − x2 sinx − x cosx + x2 sinx = ⇒ đpcm II : TIẾP TUYẾN 1) Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò biết : a) Tiếp điểm (1 ; 1) b) Tung độ tiếp điểm c) Tiếp tuyến song song với y = − x + d) Tiếp tuyến vuông góc với y = x + e) Tiếp tuyến qua điểm (0 ; −1) y = x2 ⇒ y’ = 2x a) Tại (1 ; 1) pttt (∆) : y − y1 = y’(x1) ( x − x1) y’ (1) = 2.1 = ⇒ (∆) : y − = (x − 1) ⇔ y = 2x − b) Tung độ tiếp điểm ⇒ = x2 ⇔ x = ± Tại (−2 ; 4) ⇒ y’(−2) = −4 ⇒ (∆) : y − = − (x + 2) ⇔ y = −4x−4 Tại (2 ; 4) ⇒ y’(2) = ⇒ (∆) : y − = (x − 2) ⇔ y = 4x − c) (∆) // y = − x + ⇒ (∆) : y’(x1) = − ⇔ 2x1 = −1 ⇔ x1 = −1/2 y1 = ¼ ⇒ (∆) : y − ¼ = − (x + ½ ) ⇔ y = − x − ¼ d) (∆) ⊥ y = ½ x + ⇒ y’(x1) = −2 ⇔ 2x1 = −2 ⇔ x1 = −1 ; y1 = ⇒ (∆) : y − = − (x + 1) ⇔ y = − 2x − e) (∆) qua (0 ; −1) (∆) qua (0 ; −1) có hệ số góc k (∆) : y + = k (x − 0) (∆) tiếp tuyến ⇒ k = y’(x1) x1 toạ độ tiếp điểm x = kx − x1 = −1 ⇒ k = −2 ⇒ ( ∆ ) : y = −2x − 1 ⇒ x1 = ⇒  ⇔  k = 2x1 x1 = ⇒ k = ⇒ ( ∆ ) : y = 2x − 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thò y = điểm có hoành π/ độ ∫ cosx.dx −π / y' = x0 = − 2x + 4x − x π /6 = 2− x 4x − x2 π /6 ∫ cos x.dx = sin x −π / = 1 ⇒ y ' (1) = ⇒ y0 = −π / ( ) 1 ( x − 1) + = ( x + 2) Vậy pttt Δ : y = 3 III: KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ 1) Tìm khoảng đơn điệu cực trò hàm số x −1 − x + 2x + a) y = D = R ; y’ = = ⇔ x = 1± 2 x +4 ( x + 4) ; lim y = x → ±∞ BBT : x −∞ 1− y’ − + y −(+1) / Lập bảng xét dấu y’ 1+ +∞ + − (−1)/8 π 3π  ) y = cos 3x − 15 cos x + đoạn  ;     y’ = − sin 3x + 15 sin x = ⇔ sinx = sinx − sin3x ⇔ sinx (1 + sin2 x) = ⇔ sin x = ⇒ x = π BBT : x −∞ y’ − y π/3 + −∞ π 3π/2 − 22 −∞ +∞  π 3π  2) y = cos 3x − 15 cos x + đoạn  ;   y’ = − sin 3x + 15 sin x = ⇔ sinx (1 + sin2 x) = BBT : x −∞ y’ y π/3 − ⇔ sinx = sinx − sin3x ⇔ sin x = ⇒ x = π 3π/2 π + − 22 −∞ −∞ +∞ b) y = y' = x +4 x y y' = x +4 BBT : x −∞ y’ − đoạn [ − ; ] −1 − x x +4 0 =0⇔ x=0 + +∞ 13 ⇒ y = x = ; max y = 13 x = V : KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Khảo sát hàm số y = x3 − 3x + (1) Từ điểm M (0 ; 4) kẻ tiếp tuyến đồ thò (1) Viết pttt D=R ; y’ = 3x2 − 6x = ⇔ x=0;x=2 y’’ = 6x − = ⇔ x = ; qua y’’ đổi dấu ⇒ y có điểm uốn (1;2) lim y = −∞ ; lim y = +∞ x → −∞ x → +∞ BBT x −∞ y’ y + 0 − −∞ +∞ − + +∞ −1 O x 3) Khảo sát y = + 2x2 − x ( 1) Dựa vào đồ thò ,biện luận số nghiệm phương trình theo m : x4 − 8x2 + − m = D = R ; y’ = −x3 + 4x = ⇔ x = ; x = ± lim y = −∞ ; lim y = −∞ y’’ = −3x2 + = ⇔ x = ± / x → −∞ x → +∞ Xét dấu y’’ x y’’ Đthò y − ∞ −2/ 2/ + ∞ 250 − + − lồi U lõm U lồi y(U) = 29 /9 BBT x −∞ y’ −2 − + y Điểm cắt trục toạ độ : y = ⇒ x = ± x=0⇒y=1 + 20 +∞ + −∞ − −∞ y1 = − m 2− m y1 = − m − 4+ 20 -2 y41 += 220− m 4 m x = − 2) Biện luận x − 8x + − m = ⇔ − + 2x +   4 4     •1 < − m/4 < ⇔ −12 < m < •2 − m/4 < ⇔ m > •2 − m/4 > ⇔ m < −12 •2 − m/4 = ⇔ m = −12 •2 − m/4 = ⇔ m = y ⇒ ptr có nghiệm đơn ⇒ ptr có nghiệm đơn ⇒ ptr vô nghiệm ⇒ ptr có kép x = ± ⇒ ptr có nghiệm kép , đơn y1 x +x+1 4) Cho hàm số y = ( 1) x+1 a) Khảo sát hàm số (1) b) Tìm điểm đồ thò (1) mà toạ độ chúng số nguyên a) Khảo sát D = R\{−1} ; y’ = x + 2x ( x + 1) lim y = ∞ ⇒ TCĐ : x = −1 x → −∞ BBT: x y’ y = ⇔ x = ; x = −2 = ⇒ TCX : y = x x →∞ x + ; lim x → −1 lim y = −∞ ; lim y = +∞ x → +∞ −∞ +∞ + −2 −3 −1 − − +∞ + +∞ y b) Tìm toạ độ nguyên y= x+ x +1 -2 -1 ⇔ -1 -3 x ∈Z x+1= ±1 x=0 ⇒ y=1 Vậy có điểm phải tìm (−2 ; − 3) ; (0 ; 1) § : TÍCH PHÂN I : NGUYÊN HÀM 28) 29) ∫ x − dx dx ∫ ( x + 3) = ( x − ) + C = ∫ ( x + 3) dx = − ( x + 3) + C −2 −1 1 x2 x2 30) ∫ x.e dx = ∫ e dx = e + C 2 x2 31) 32) ∫ cotg x.dx cos x d ( sin x ) =∫ dx = ∫ sin x cos x ∫ sin3x.cos5x.dx = = ln ( sin x ) + C [ sin x + sin ( − x ) ].dx ∫  cos x cos x  = − + +C 2  33) ∫ tg x.dx = ∫ (1 + tg x − 1).dx =  − 1.dx = tgx − x + C ∫  cos x  II : TÍCH PHÂN u = x  Đặt  34) I = x.e 2x dx 2x dv = e dx   1 e 1 I = x.e 2x − ∫ e 2x dx = − e 2x 20 0 → du = dx ∫ 35) I = e ∫x u = lnx Đặt  dv = x dx  lnx.dx e e 1 I = x lnx − ∫ x dx 41 4 e e x = − 4 e 2x → v= e2 = + 4 → du = dx/x → = v = x /4 e + 16 16 36) I = ∫ x − x − dx  x − x − với x < −2 V x >  x2 − x − =   −2 < x 0) b) Xác đònh số mũ n , biết hệ số nói lập thành cấp số cộng theo thứ tự a) Tìm hệ số đầu n 1 −    1 Cn  x   x  ⇒ Cn0 =   2  n −1 1 −    4 n    Cn  x   x  ⇒ Cn1 = 2   2    Cn  x    n−2  − 14  n ( n − 1)  x  ⇒ Cn2 = 2  b) Tìm n ? hệ số lập thành cấp số cộng ⇔ n≥3 n ( n − 1) 1+ n = ⇔ n − 9n + = 2 ⇔ n = 1( L ) ; n = Vậy n = BÀI TỔNG HP x3 − m x2 + (2m − 1) x − m + (C ) Bài : Cho hàm số y = m a họ (C ) a) Tìm điểm cố đònh củ b) c) d) e) m Xác đònh m để hàm số có cực trò có hoành độ dương Khảo sát m = (C2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C2) qua A(4/9 ; 4/3) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C2) ; y = ; x = ; x = quay quanh trục Ox a) Tìm điểm cố đònh y − x3 /3 + x − = m (−x2 + 2x − 1) ⇔ Để ∀m ∈ R x = − x + x − =   ⇔   y=  y − x + x − =   điểm cố đònh b) Tìm m ? Hàm số có cực trò hoành độ dương ⇔ y’ = có nghiệm dương y’ = x2 − 2mx + (2m − 1) = có < x1 < x2 ( m − 1) > ∆ ' >  m > ⇔  P > ⇔ m > ⇔ m ≠ S > 2 m − >   c) Khảo sát m = ⇒ y = x − 2x2 + 3x (C2) D = R ; y’ = x2 − 4x + = ⇔ x = ; x = y’’ = 2x − = ⇔ x = ; qua y’’ đổi dấu ⇒ y điểm uốn (2;2/3) [...]... b = 1 III : DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 43) y = x2 − 2x + 4 và y − 4 = x x2 − 2x + 4 = x + 4 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 3 3 3 9  x 3x  ⇒ S = − ∫ x − 3x dx = − −  = ( đvdt )  3 2 2 0 0  ( 2 ) 3 2 44) y = x ; y = 0 ; y = 4 − x 2 Hình biểu diễn ( x 4 − x) S = ∫ x.dx + ∫ ( 4 − x ).dx = + 2 0 2 0 2 = 2+2 = 4 2 4 2 2 2 4 O 2 2 4 x b) Tính thể tích vật thể tròn... 0 ⇔ y = 0 ; y = 4 4 V = π ∫ x12 − x 22 0 4 2  y2  = π ∫   − y 2 dy 4 0  4 4  2 y4   y3 y5  = π ∫  y − .dy = π  −  = 128 π ( đvtt ) 16   3 80  0 15 0 § 3 : ĐẠI SỐ TỔ HP 48) Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu : a) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau b) Số có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ? c) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ? a) Số chẵn có... \ {c} ⇒ có 4 cách b được chọn {1,2,3,4,5} \{a , c} ⇒ có 3 cách Vậy các số phải tìm có : 2.4.3 = 24 số ≤ 345 2 bc có 4.3 = 12 sốù Dạng 1bc có 4.3 = 12 số 3bc ≤ 345 ⇒ b chọn từ : {1,2,4} : 3 cách ; c chọn từ :{1,2,3,4,5} \ {b,3} ; có 3 cách ⇒ có 9 số Vậy tổng số cách là : 12 + 12 + 9 = 33 số c) Số abc chẵn ≤ 345 Xét các trường hợp có thể xảy ra : Dạng 1b2 b được chọn từ : {3 , 4, 5} ⇒ có 3 cách 1b4... 2 − m 4 5 2− m 4 y1 = 2 − m 4 1 − 4+ 20 -2 y41 += 220− 2 m 4 4 m x 2 4 2 = 2 − 2) Biện luận x − 8x + 4 − m = 0 ⇔ − + 2x + 1   4 4     •1 < 2 − m/4 < 5 ⇔ 12 < m < 4 •2 − m/4 < 1 ⇔ m > 4 •2 − m/4 > 5 ⇔ m < 12 •2 − m/4 = 5 ⇔ m = 12 •2 − m/4 = 1 ⇔ m = 4 y ⇒ ptr có 4 nghiệm đơn ⇒ ptr có 2 nghiệm đơn ⇒ ptr vô nghiệm ⇒ ptr có 2 kép x = ± 2 ⇒ ptr có 1 nghiệm kép , 1 đơn y1 2 x +x+1 4) Cho hàm... cặp điểm mà tại đó các tiếp tuyến song song với nhau từng đôi một a) Khảo sát D = R \ {1} ; y’ = −2 ( x − 1) 2 ... 24 số ≤ 345 bc có 4.3 = 12 sốù Dạng 1bc có 4.3 = 12 số 3bc ≤ 345 ⇒ b chọn từ : {1,2,4} : cách ; c chọn từ :{1,2,3,4,5} {b,3} ; có cách ⇒ có số Vậy tổng số cách : 12 + 12 + = 33 số c) Số abc... = −2 2b ∫ a.dx = a 2b ⇔ ax a = ⇔ 2a = −2 ⇒ a = ⇔ a ( 2b − a ) = ⇔ b = III : DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn : 43) y = x2 − 2x + y − = x x2 − 2x + = x + ⇔ x2 − 3x =... luận x − 8x + − m = ⇔ − + 2x +   4 4     •1 < − m/4 < ⇔ 12 < m < •2 − m/4 < ⇔ m > •2 − m/4 > ⇔ m < 12 •2 − m/4 = ⇔ m = 12 •2 − m/4 = ⇔ m = y ⇒ ptr có nghiệm đơn ⇒ ptr có nghiệm đơn