ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 23 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 ln 2 x. Tập xác định x > 0 y  = 2x. ln 2 x + x 2 .2. 1 x ln x = 2x ln x(ln x + 1) y  = 0 ⇔ ln x(ln x + 1) = 0 ⇔  x = e −1 x = 1 y  = 2 ln 2 x + 2x.2. 1 x ln x + 2 ln x + 2x. 1 x = 2(ln 2 x + 3 ln x + 1) = 2  ln x − −3 − √ 5 2  ln x − −3 + √ 5 2  y  = 0 ⇔ x = exp  −3 + √ 5 2  ∨ x = exp  −3 − √ 5 2  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 23 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 ln 2 x. Tập xác định x > 0 y  = 2x. ln 2 x + x 2 .2. 1 x ln x = 2x ln x(ln x + 1) y  = 0 ⇔ ln x(ln x + 1) = 0 ⇔  x = e −1 x = 1 y  = 2 ln 2 x + 2x.2. 1 x ln x + 2 ln x + 2x. 1 x = 2(ln 2 x + 3 ln x + 1) = 2  ln x − −3 − √ 5 2  ln x − −3 + √ 5 2  y  = 0 ⇔ x = exp  −3 + √ 5 2  ∨ x = exp  −3 − √ 5 2  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 23 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 3 / 23 Không có Tiệm cận đứng vì lim x→0 + x 2 ln 2 x = lim t→+∞,t=1/x ln 2 t t 2 = 0. Không có Tiệm cận ngang vì lim x→+∞ x 2 ln 2 x = +∞. Không có tiệm cận xiên vì lim x→+∞ x 2 ln 2 x x = +∞. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 4 / 23 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 5 / 23 Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x + y = 2, (x − 1)(y + 2) = 2. Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 − x và y = 2 x − 1 − 2 2 − x = 2 x − 1 − 2 ⇔ (4 − x)(x −1) = 2 ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔  x = 2 x = 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 23 Câu 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x + y = 2, (x − 1)(y + 2) = 2. Phương trình hoành độ giao điểm của y = 2 − x và y = 2 x − 1 − 2 2 − x = 2 x − 1 − 2 ⇔ (4 − x)(x −1) = 2 ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔  x = 2 x = 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 23 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 23 Diện tích hình phẳng cần tìm S =  3 2  2 − x − 2 x − 1 + 2  dx = =  3 2  4 −x − 2 x − 1  dx =  4x − x 2 2 − 2 ln |x − 1|  3 2 = 3 2 − 2 ln 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 23 [...]... m + 1 > 1 Vậy I hội tụ khi m > 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 11 / 23 +∞ dx √ = (x 2 + 2) x 2 − 1 1 +∞ 1 xdx Đặt t = 1 − 2 ⇒ x 1 1 2 (x 2 + 2) 1 − x x2 tdt 1 x 1 +∞ ⇒ xdx = , x2 = 1 − t2 (1 − t 2)2 t 0 1 Khi m = 2 thì I = 1 I = 0 tdt 1 1 + 2 t (1 − t 2)2 1 − t2 1 − t2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 = TP HCM — 2 013 12 / 23 1 I = 0 1 1 =... 1 0 ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 √ √ 1 = √ ln( 3+ 2) 6 TP HCM — 2 013 13 / 23 Câu 4 Giải phương trình √ 2x y y 4 arctan x = √ √ − y 1 + x2 1 + x2 y + 5y − 14 y = (12 x + 21) cos 2x − (64x + 81) sin 2x 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 14 / 23 Câu 4 Giải phương trình √ 2x y y 4 arctan x = √ √ − y 1 + x2 1 + x2 y + 5y − 14 y = (12 x + 21) cos 2x − (64x + 81) sin 2x 1 2 1. .. Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 9 / 23 Khi x → 1+ 1 1 √ ∼ √ (x m + 2) x 2 − 1 3 2(x − 1) 1/2 Do đó I1 hội tụ Khi x → +∞ và m < 0 1 1 √ ∼ (x m + 2) x 2 − 1 2x Do đó I2 phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 10 / 23 Khi x → +∞ và m = 0 1 1 √ ∼ (x m + 2) x 2 − 1 3x Do đó I2 phân kỳ Khi x → +∞ và m > 0 1 1 √ ∼ m +1 (x m + 2) x 2 − 1 x I2 hội tụ vì... 1 = −2, λ2 = 1, λ3 = 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 19 / 23 Ứng  với 1 = −2 ta xét hệ   2  3p1 − 3p2 + p3 = 0 3p1 − p2 − p3 = 0 ⇒ P1 =  3   3p1 − 5p2 + 3p3 = 0 3 Ứng với λ2 = 1 ta xét hệ    1  2p1 − 3p2 + p3 = 0 3p1 − 2p2 − p3 = 0 ⇒ P2 =  1   3p1 − 5p2 + 2p3 = 0 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 20 / 23 Ứng ... 1 + x2 1 + x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 14 / 23 Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với x 2 arctan x P(x) = − , Q(x) = √ Nghiệm của 1 + x2 1 + x2 phương trình đã cho z = e− z =e P(x)dx x dx 1+ x 2 = (1+ x 2 )1/ 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) e P(x)dx Q(x)dx + C 2 arctan x √ dx + C 1 + x2 2 arctan x (1 + x 2) 1/ 2 √ dx + C 1 + x2 e − x dx 1+ x 2 ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI... TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 15 / 23 √ = 2 arctan x dx + C x 2 + 1 1 + x2 √ z = x 2 + 1 (arctan x)2 + C y = z 2 = (x 2 + 1) (arctan x)2 + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 2 TP HCM — 2 013 16 / 23 2 Giải phương trình y + 5y − 14 y = (12 x + 21) cos 2x − (64x + 81) sin 2x Phương trình thuần nhất y + 5y − 14 y = 0 Phương trình đặc trưng k 2 + 5k − 14 = 0 ⇔ k1 = −7, k2 = 2 Nghiệm... TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 18 / 23 Câu 5 Giải hệ phương trình   x (t) = x − 3y + z y (t) = 3x − 3y − z  z (t) = 3x − 5y + z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 19 / 23 Câu 5 Giải hệ phương trình   x (t) = x − 3y + z y (t) = 3x − 3y − z  z (t) = 3x − 5y + z Phương trình đặc trưng của hệ 1 λ −3 1 3 −3 − λ 1 = 0 ⇔ −λ3 − λ2 + 4λ + 4 = 0 3 −5 1 λ ⇔ 1. .. − 1 1 (x để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m = 2 Cho tích phân I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 9 / 23 Câu 3 +∞ dx √ Tìm m m + 2) x 2 − 1 1 (x để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m = 2 Cho tích phân I = I vừa là tích phân suy rộng loại 1 vừa là tích phân suy rộng loại 2 Do đó 2 +∞ dx dx √ √ I = + = m + 2) x 2 − 1 m + 2) x 2 − 1 1 (x 2 (x I1 +... −p1 − 3p2 + p3 = 0 3p1 − 5p2 − p3 = 0 ⇒ P3 =  1   3p1 − 5p2 − p3 = 0 7 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 21 / 23 Vậy   x X (t) =  y  = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + C3e λ3t P3 z       2 1 4 −2t  −t  2t  = C1e 3  +C2e 1  +C3e 1 = 3 1 7   2C1e −2t + C2e −t + 4C3e 2t =  3C1e −2t + C2e −t + C3e 2t  3C1e −2t + C2e −t + 7C3e 2t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN. .. cos 2x + (Cx + D)(−4 sin 2x) yr +5yr 14 yr = ( 18 A + 10 C )x cos 2x+ + ( 10 A − 18 C )x sin 2x + ( 18 B + 10 D + 5A + 4C ) cos 2x + ( 10 B + 18 D − 4A + 5C ) sin 2x   18 A + 10 C = 12  A = 1      10 A − 18 C = −64 B = 2 ⇒ ⇒ 18 B + 10 D + 5A + 4C = 21 C = 3      D = 4  10 B + 18 D − 4A + 5C = − 81 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho ytq = ytn + yr = C1 e −7x + C2 e 2x + (x + 2) cos 2x + . = 2 thì I = +∞  1 dx (x 2 + 2) √ x 2 − 1 = +∞  1 xdx x 2 (x 2 + 2)  1 − 1 x 2 . Đặt t =  1 − 1 x 2 ⇒ x 2 = 1 1 − t 2 ⇒ xdx = tdt (1 −t 2 ) 2 , x 1 +∞ t 0 1 . I =  1 0 tdt (1 − t 2 ) 2 . 1 1. t 2 ) 2 . 1 1 − t 2 .  1 1 −t 2 + 2  .t = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2 013 . 12 / 23 I =  1 0 dt 2( 3 /2 −t 2 ) = 1 2 . 1 2  3 /2  ln       3 /2 + t  3 /2 −t       1 0 = 1 √ 6 ln( √ 3+ √ 2) TS TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2 013 . 14 / 23 Câu 4 Giải phương trình 1 y  √ y − 2x √ y 1 + x 2 = 4 arctan x √ 1 + x 2 2 y  + 5y  − 14 y = ( 12 x + 21 ) cos 2x −(64x + 81) sin 2x 1. Đây