ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 -2

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 24 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3 √ x 3 − 2x 2 . Tập xác định D = R y  = 3x 2 − 4x 3. 3  (x 3 − 2x 2 ) 2 = 3x − 4 3. 3  x(x − 2) 2 y  = 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x = 4 3 . y  = − 8 9 3  x 2 (x − 2) 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 24 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3 √ x 3 − 2x 2 . Tập xác định D = R y  = 3x 2 − 4x 3. 3  (x 3 − 2x 2 ) 2 = 3x − 4 3. 3  x(x − 2) 2 y  = 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x = 4 3 . y  = − 8 9 3  x 2 (x − 2) 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 2 / 24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 3 / 24 Tiệm cận đứng: không có vì D = R Tiệm cận ngang: không có vì lim x→∞ 3 √ x 3 − 2x 2 = ∞ Tiệm cận xiên: có dạng y = ax + b trong đó a = lim x→∞ 3 √ x 3 − 2x 2 x = 1, b = lim x→∞ ( 3 √ x 3 − 2x 2 − x) = lim x→∞ x   1 − 2 x  1/3 − 1  = lim x→∞ x  − 2 3x  = − 2 3 . Vậy tiệm cận xiên là y = x − 2 3 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 4 / 24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 5 / 24 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e −x 2 , 0  x  +∞ quay quanh trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 24 Câu 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung y = e −x 2 , 0  x  +∞ quay quanh trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 24 S x = 2π  b a |f (x)|  1 + f 2 (x)dx S x = 2π ∞  0 e − x 2  1 + e −x 4 dx. Đặt t = e − x 2 ⇒ dt = − 1 2 e − x 2 dx. x 0 +∞ t 1 0 ⇒ S x = 2π 1  0 √ t 2 + 4dt = = π(t √ t 2 + 4 + 4 ln(t + √ t 2 + 4))    1 0 = = π  √ 5 + 4 ln  1 + √ 5 2  . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 24 Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ I = 1 2  0 dx x α . √ 1 − 4x 2 . Tính tích phân khi α = −2. I = 1 4  0 dx x α . √ 1 − 4x 2 + 1 2  1 4 dx x α . √ 1 − 4x 2 = I 1 + I 2 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 24 [...]... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 19 / 24 Ứng với λ = 2 + i ta xét hệ ( 1 − i)p1 + 2p2 = 0 −1p1 + (1 − i)p2 = 0 1 i 1 ⇒P = = +i 1 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 1 0 = U +iV TP HCM — 2 013 20 / 24 Ứng với λ = 2 + i ta xét hệ ( 1 − i)p1 + 2p2 = 0 −1p1 + (1 − i)p2 = 0 1 i 1 ⇒P = = +i 1 1 Nghiệm cơ bản = U +iV = = 1 i 1 = x y e 2t [cos t + sin... TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 9 / 24 Trường hợp 3: Nếu α > 0 thì I1 và I2 là những tích phân suy rộng loại 2 1 x→0+ 1 √ ∼ α x x α 1 − 4x 2 − x→ 1 1 1 2 √ ∼ 1 x α 1 − 4x 2 2−α +1. ( 1 − x) 2 2 I2 hội tụ nên để I hội tụ thì I1 hội tụ, có nghĩa là α < 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 10 / 24 1 2 x2 Khi α = −2, ta có I = √ dx 1 − 4x 2 0 x 0 1 1 Đổi biến... 0 1 2 π 2 1 2 π sin tdt = 8 32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 11 / 24 Câu 4 Giải phương trình 2 2x + y y = , y (1) = 2 x y − 2y + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 12 / 24 Câu 4 Giải phương trình 2 2x + y y = , y (1) = 2 x y − 2y + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) 1 2 1 Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. .. B = 1 A =1 B =1 Nghiệm riêng yr = e 2x (cos x + sin x) Nghiệm tổng quát y = e x (C1 cos x + C2 sin x) + e 2x (cos x + sin x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 15 / 24 Câu 5 Cách 1 Phương pháp khử 1 Giải hệ phương trình x = x + 2y + e t (1) y = −x + 3y (2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 16 / 24 Câu 5 Cách 1 Phương pháp khử 1 Giải hệ...Câu 3 Tìm α để tích phân sau hội tụ 1 2 dx √ I = Tính tích phân khi α = −2 x α 1 − 4x 2 0 1 4 I = 1 2 dx √ + α 1 − 4x 2 x 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx √ = I1 + I2 α 1 − 4x 2 x 1 4 ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 8 / 24 Trường hợp 1: Nếu α < 0 thì I1 là tích phân xác định còn I2 là tích phân suy rộng loại 2 − x→ 1 1 1 2 √ ∼ 1 x α 1 − 4x 2 2−α +1. ( 1 − x) 2 2 Do đó, I2 hội tụ... Vậy I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 9 / 24 Trường hợp 1: Nếu α < 0 thì I1 là tích phân xác định còn I2 là tích phân suy rộng loại 2 − x→ 1 1 1 2 √ ∼ 1 x α 1 − 4x 2 2−α +1. ( 1 − x) 2 2 Do đó, I2 hội tụ Vậy I hội tụ Trường hợp 2: Nếu α = 0 thì I1 là tích phân xác định còn I2 là tích phân suy rộng loại 2 − x→ 1 1 1 2 √ ∼ 1 1 1 − 4x 2 ( 2 − x) 2 Do đó, I2 hội tụ... Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 12 / 24 y 2 +3 2 √ = C ⇒ ln |x| − √ arctan x 7 7 √ 2 √ arctan 7 Từ điều kiện y (1) = 2 ⇒ C = − 7 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 13 / 24 2 Giải phương trình y − 2y + 2y = e 2x (3 cos x − sin x) Phương trình thuần nhất y − 2y + 2y = 0 Phương trình đặc trưng k 2 − 2k + 2 = 0 ⇔ k1 = 1 + i, k2 = 1 − i Nghiệm thuần... +i 1 i 1 1 0 e 2t (cos t+i sin t) = = e 2t (− cos t + sin t) e 2t sin t ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 20 / 24 Vậy X (t) = = C1 x y e 2t (cos t + sin t) e 2t cos t = e 2t ⇒ = +C2 e 2t (− cos t + sin t) e 2t sin t = (C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t C1 cos t + C2 sin t x = e 2t [(C1 − C2 ) cos t + (C1 + C2 ) sin t] y = e 2t (C1 cos t + C2 sin t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI... cos t +(C2 −C1) sin t]− e t 2 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 18 / 24 Cách 2 Phương pháp biến thiên hằng số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 19 / 24 Cách 2 Phương pháp biến thiên hằng số x = x + 2y y = −x + 3y Phương trình đặc trưng của hệ thuần nhất Hệ thuần nhất tương ứng là 1 λ 2 = 0 ⇔ λ2 − 4λ + 5 = 0 1 3 − λ ⇔ 1 = 2 − i, λ2... được (1) ⇒ e 2t [C1 (t)(cos t + sin t)] + C2 (t)(sin t − cos t)] = e t ⇒ C1 (t)(cos t + sin t) + C2 (t)(sin t − cos t) = e −t (3) (2) ⇒ e 2t [C1 (t) cos t + C2 (t) sin t] = 0 ⇒ C1 (t) cos t + C2 (t) sin t = 0 (4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP HCM — 2 013 22 / 24 Giải (3) và (4) ta được ⇒ C1 (t) = e −t sin t C2 (t) = −e −t cos t C1 (t) = − 1 e −t (cos t + sin t) + C1 2 1 C2 (t) . HCM — 2 0 13 . 1 / 24 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3 √ x 3 − 2x 2 . Tập xác định D = R y  = 3x 2 − 4x 3. 3  (x 3 − 2x 2 ) 2 = 3x − 4 3. 3  x(x − 2) 2 y  = 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x = 4 3 . y  =. CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2 0 13 . 8 / 24 Trường hợp 1: Nếu α < 0 thì I 1 là tích phân xác định còn I 2 là tích phân suy rộng loại 2 1 x α . √ 1 − 4x 2 x→ 1 2 − ∼ 1 2 −α +1 .( 1 2 − x) 1 2 Do. Tính tích phân khi α = −2. I = 1 4  0 dx x α . √ 1 − 4x 2 + 1 2  1 4 dx x α . √ 1 − 4x 2 = I 1 + I 2 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2 0 13 . 8 / 24 Câu 3 Tìm