ôn tập giải tích 1.1

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu 2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)e TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH − x2 TP HCM — 2013 / 22 Câu 2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)e − x2 Tập xác định D = R x2 x2 x2 y = 2x.e − + (x + 1)(−x)e − = e − x(1 − x 2)  x =0 y = ⇔ x(1 − x 2) = ⇔  x = x = −1 x2 y = e − (−x 2(1 − x 2) + − 3x 2) = − x2 e (x − 4x + 1) √ y =0⇔x =± 2− 3∨x =± TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2+ √ TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Khơng có Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang y = lim (x + 1)e x→∞ − x2 = lim x→∞ x2 + x2 =0 e Khơng có tiệm cận xiên có tiệm cận ngang phía TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy x[x + 2x − (−1)]dx = VOy = 2π x3 x2 x4 +2 + = 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH = 171π TP HCM — 2013 / 22 Câu +∞ dx √ (x m − 1) 2x − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = Cho tích phân I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Giải phương trình arcsin x + x xy = y − − x2 − x2 y − 2y − 8y = 3e 4x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 11 / 22 Câu Giải phương trình arcsin x + x xy = y − − x2 − x2 y − 2y − 8y = 3e 4x Đây phương trình tuyến tính cấp với x arcsin x + x P(x) = , Q(x) = Nghiệm x −1 − x2 phương trình cho y = e− P(x)dx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) e P(x)dx Q(x)dx + C ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 11 / 22 y =e − x dx x −1 e =√ − x2 arcsin x + x dx + C − x2 |x − 1|1/2 − x2 arcsin xd(arcsin x) − =√ − x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) arcsin x + x dx + C − x2 arcsin x + x √ dx + C − x2 = |x 2−1|−1/2 =√ x dx x −1 (1 − x )−1/2 d(1 − x ) + C arcsin2 x √ − − x2 + C ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 12 / 22 Giải phương trình y − 2y − 8y = 3e 4x Phương trình y − 2y − 8y = Phương trình đặc trưng k − 2k − = ⇔ k1 = −2, k2 = Nghiệm ytn = C1e −2x + C2e 4x Nghiệm riêng phương trình không y − 2y − 8y = 3e 4x có dạng yr = x s e 4x A Vì α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên s = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 13 / 22 −8 yr = Axe 4x Ae 4x + 4Axe 4x −2 yr = yr = 4Ae 4x + 4Ae 4x + 16Axe 4x yr −2yr −8yr = 6Ae 4x = 3e 4x 1 ⇒ yr = xe 4x 2 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho ytq = ytn + yr = C1e −2x + C2e 4x + xe 4x ⇒A= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 14 / 22 Câu Cách Phương pháp khử Giải hệ phương trình x (t) = 3x − 3y + 4e t + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8e t + 8t (2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 15 / 22 Câu Cách Phương pháp khử Giải hệ phương trình x (t) = 3x − 3y + 4e t + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8e t + 8t (2) Từ (1) ta có 3x − x + 4e t + 12t 3x − x + 4e t + 12 y= ⇒y = 3 Thay y , y vào phương trình (2) ta 3x − x + 4e t + 12 3x − x + 4e t + 12t = 4x−5 +8e t +8t 3 ⇒ x + 2x − 3x = 36t + 12 (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 15 / 22 Phương trình đặc trưng k + 2k − = ⇒ k1 = 1, k2 = −3 Nghiệm phương trình (3) xtn = C1e t + C2e −3t Tìm nghiệm riêng (3) xr = At + B ⇒ (xr ) = A, (xr ) = ⇒ A = −12, B = −12 Vậy xr = −12t − 12 Nghiệm tổng quát x = C1e t + C2e −3t − 12t − 12 ⇒ y = 3x − x + 4e t + 12t = C1e t + C2e −3t − 8t − 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 16 / 22 Cách Phương pháp biến thiên số TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 17 / 22 Cách Phương pháp biến thiên số x (t) = 3x − 3y y (t) = 4x − 5y Phương trình đặc trưng hệ Hệ tương ứng − λ −3 = ⇔ λ2 + 2λ − = −5 − λ ⇔ λ1 = 1, λ2 = −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 17 / 22 Ứng với λ1 = ta xét hệ ⇒ P1 = 2p1 − 3p2 = 4p1 − 6p2 = Ứng với λ2 = −3 ta xét hệ ⇒ P2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 6p1 − 3p2 = 4p1 − 2p2 = ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 18 / 22 Nghiệm hệ X1(t) = e λ1t P1 = e t , X2(t) = e λ2t P2 = e −3t Vậy nghiệm tổng quát hệ x y X0(t) = = C1 e t = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + C2 e −3t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 3C1 e t + C2 e −3t 2C1 e t + 2C2 e −3t TP HCM — 2013 19 / 22 Nghiệm hệ khơng có dạng x = 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ⇒ y = 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t x y = 3C1 (t)e t + 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t − 3C2 (t)e −3t = 2C1 (t)e t + 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t − 6C2 (t)e −3t Thay vào hệ phương trình cho ta (1) ⇒ 3C1 (t)e t + 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t − 3C2 (t)e −3t = 3(3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ) − 3(2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t ) + 4e t + 12t ⇒ 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t = 4e t + 12t (3) (2) ⇒ 2C1 (t)e t + 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t − 6C2 (t)e −3t = 4(3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ) − 5(2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t ) + 8e t + 8t ⇒ 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t = 8e t + 8t TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH (4) TP HCM — 2013 20 / 22 Giải (3) (4) ta C1 (t) = 4te −t ⇒ C2 (t) = 4e 4t Vậy  x =   = y =   = C1 (t) = −4te −t − 4e −t + C1 C2 (t) = e 4t + C2 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t = 3(−4te −t − 4e −t + C1 )e t + (e 4t + C2 )e −3t 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t = 2(−4te −t − 4e −t + C1 )e t + 2(e 4t + C2 )e −3t Nghiệm hệ phương trình cho x(t) = (3C1 + 1)e t + C2 e −3t − 12t − 12 y (t) = (2C1 + 2)e t + 2C2 e −3t − 8t − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 21 / 22 THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 22 / 22 ... x→∞ x2 + x2 =0 e Không có tiệm cận xiên có tiệm cận ngang phía TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013... TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH = 171π TP HCM — 2013 / 22 Câu +∞ dx √ (x m − 1) 2x − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = Cho tích phân I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI... −3t − 8t − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 21 / 22 THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 22 / 22