bài tập ôn tập cuối kỳ môn giải tích 1 có hướng dẫn giải phần 2

Bài tập Tìm vẽ miền xác định hàm số sau x  3y  xy a) z= c) z= c) z = arccos b) ln(x  y ) x xy z= d) d) x  y2  x 2x  x  y z=y z = arcsin cos x x y2 + (1 – y)x Biến đổi biểu thức hàm y a) Cho f( ) = x x  y2 x (x > 0) Tìm f(x) b) Cho z = x + y + f(x – y) z = x2 y = Tìm f(x) z c) Cho f(x + y, y ) = x2 – y2 Tìm f(x, y) x d) Cho f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = x2 – y2 Tìm f(g(x, y), y2) g(f(x, y), g(x, y)) Khảo sát giới hạn hàm f(x, y) điểm (0, 0) a) c) ( x  y) x  y2 xy b) 1 cos(xy ) y2 d) (x  y ) x  y2 e) x y4 (x  y )3 f) ( x  y)( y  x ) xy Khảo sát tính liên tục hàm f(x, y) sau a) 1  x  y x  y   x2  y  0 c) x  y e) | x || y | | x || y|  x2y  x  y2 0 ( x , y)  (0, 0) b) 1  xy  x sin  y sin y x  0 xy  d) xy    (x  y ) 0 f) (x, y)  (0, 0)  x-y   (x  y ) 0 ( x, y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) ( x , y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp hàm số sau a) z = x5 + y5 – 5x3y3 c) z= e) z = ln(x + b) xy x  y2 x  y2 ) z = xy + y x d) z = xe–xy f) z = arcsin y x  y2 Tính đạo hàm riêng điểm x y a) Cho f(x, y) = xyesin(xy) + (y – 1)arccos Tính b) Cho f(x, y) = x3y + xy2 – 2x + 3y Tính f x (x, 1) f x , f y , f xx , f xy  f yy điểm (3, 2) x  y2 t e  dt Tính f x , f y , f xx , f xy c) Cho f(x, y) =  f yy điểm (1, 2) x  , f xxy   , f xyy e x y Tính f xxx d) Cho f(x, y) =  f yyy điểm (0, 1) Khảo sát tính chất lớp Ck hàm số sau a) x y ln(x  y ) ( x, y)  (0, 0) 0 (x, y)  (0, 0)  b) sin( x  y ) ( x , y)  (0, 0)  2  x y 0 (x, y)  (0, 0) c)  xy  x  y2 0 d) e)  y3   x  y4 0   xy  x  y2 0 ( x, y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) ( x, y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) ( x , y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) f) g) h)  y4  x  y2 0 ( x , y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0)  (x - y )   x  y2 0 e x - e y   x-y e x ( x , y)  (0, 0) (x, y)  (0, 0) xy xy Tính vi phân cấp hàm số sau y x a) z = x3 + 3x2y – y3 b) z= – c) z= x  2xy d) z= e) z = (x + y)exy f) z = xln x y y x  y2 y x Tính đạo hàm cấp một, cấp hai hàm hợp a) z = e2x–3y với x = tant, y = t2 – t b) z = ln(ex + ey) với y = x3 + x c) z = u2lnv với u = d) z = u2v – uv2 với u = xsiny, v = ycosx y , v = x2 + y2 x f) z = f(xy, x2 – y2) với f hàm lớp C2 g) z = f(xsiny, ycosx) g) z = f( h) z = f(ln(x2 – y2), xy3) 2y , x2 – 3y) xy 10 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai hàm ẩn a) x2e2y – y2e2x = b) ysinx – cos(x – y) = c) x – y + arctany = d) z3 – 2xy + y2 – = e) zln(x + z) = f) yz = arctan(xz) g) f(x + y + z, x2 + y2 + z2) = h) f(yz, exz) = với hàm f thuộc lớp C2 xy z 11 Tìm vi phân cấp một, cấp hai hàm ẩn a) yz = arctan(xz) z c) x+y+z=e e) xu  yv  x  y  u  v   g) x = ucosv, y = eu–v z = uv h) x = eu+v, y = usinv z = v i) x = u + v, y = u2 +v2, z = u3 + v3 b) xz – ez/y + x3 + y3 = d) x  y  z   2 x  y  z 1  f) uv  3x  y  z v  x  y  z  j) x = acosuchv, y = bsinuchv, z = cshv 12 Biến đổi phương trình a) (1 – x2)y” – xy’ = với x = cost b) x4y” + 2x3y’ – y = với x = c) y” + 2yy’2 = với x = x(y) d) 3y”2 – y’y”’ – y”y’2 = với x = x(y) e) (xy’ – y)2 = 2xy(1 – y’2) với x = rcos, y = rsin f) w = x z x + y z y với x = rcos, y = rsin g)  – y2 zyy = với u = xy, v = x2 z xx t h) (x + y) z x – (x – y) z y = với u = ln 𝑥 𝑦 x  y , v = arctan(𝑦𝑥) 13 Chứng minh y x thỏa phương trình x z x + y z y = xy + z a) z = xy + x e b) z = z(x, y) với x = ucosu, y = usinv thỏa phương trình y z x – x z y = – zu c) z = z(x, y) với (cx – az, cy – bz) = thỏa a z x + b z y = c d) z = x(x + y) + y(x + y) với ,  lớp C2 thỏa z xx  + – zxy  zyy =0 e) 𝑥 z = (xy) + ( ) với ,  lớp C2 thỏa 𝑦  – y2 zyy + x z x – y z y = x2 z xx f) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 u = f(x) + g( ) Tính A = xy 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + y2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 +x 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +y 𝜕𝑢 𝜕𝑦 Giải  u’x = f(x) + 𝑦 u’y = − 𝑥 u”yy = 𝑦 f’(x) − 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 g’( ) 𝑥 f(x) + g’( ) 𝑦2 u”xy = − 𝑥 𝑦2 f(x) + − 𝑥 𝑦2 2𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 f(x) + 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 f’(x) − 2g’( ) − g”( ) g”( ) 14 Tìm cực trị địa phương 1 + với x, y > x y a) z = 4xy + b) z = xy2(1 – y) với x, y > c) z = x3 + xy2 – x2y – y3 e) z = xyln(x + y ) g) z = z(x, y) xác định phương trình d) z = 2x4 – 3x2y + y2 f) z = (2x + y ) e 2 ( x  y ) 2x2 + 2y2 + z2 + 8xy – z + = 14 Tìm cực trị có điều kiện x a) z = xy2 với x + 2y = c) z = x + 2y với x2 + y2 = d) u = 2x + y – 2z với x2 + y2 + z2 = 36 e) u = xy2z3 với x + 2y + 3z = 12 f) u = xyz với x+y+z = 4, xy+yz+zx = b) z= + y với x + y = 15 Tìm trị lớn nhất, bé a) z = x2 – xy + y2 miền | x | + | y |  b) z = x3 + y3 – 3xy miền  x  2, –1  y  c) z = x2 + y2 – 12x – 16y miền x2 + y2  25 2 e ( x  y ) miền x2 + y2  d) z = (2x + 3y ) e) u = x + y + z miền x2 + y2  z  16 Lập phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong a) x = t – t3, y = t2 – t4 t = b) x = t2 + ,y=t+ t t t = –1 te t et ,y= t 1 t 1 t = c) x= e) y2 = 2px A(1, 2p) g) x2y2 + x + y – = A(0, 1) g) r = sin3  = i) r =cos + cos2  = d) f)  y= x + x3 24 x = y3 = x2(x – 6) A(2, –2) h) r = + 2cos  =  17 Tìm hình bao họ đường cong phẳng a) x – ysin – cos = với   ℝ b) x + y + = với ,   ℝ cho 2 + 2 = c) Cho (H ) : xy = điểm A, B thuộc (H) cho hoành độ điểm hai lần hoành độ điểm Tìm hình bao họ đường thẳng (AB) d) Cho a > 0, b > điểm A(a, b), P(x, 0) Q(0, y) cho AP vuông góc AQ Tìm hình bao họ đường thẳng (PQ) e) Cho (P) : y2 = 2px điểm M thuộc (P) có hình chiếu lên Oy N I trung điểm OM Tìm hình bao họ đường thẳng (IN) f) Cho P(cost, 0) Q(0, sint) Tìm hình bao đường trung trực PQ 18 Tìm dạng tắc mặt bậc hai sau a) 7x2 + 4xy – 4xz + 4y2 – 2yz + 4z2 – 2x + 8y – 14z + 16 = b) 11x2 –16xy – 4xz + 5y2 – 20yz + 2z2 + + 30x – 66y + 24z + 45 = c) x2 – 2xy + y2 + 2z2 + 2x – = d) 2(x + y)(y – z) – 3x = e) xy + yz = f) xy + xz + yz + 2y + = 19 Lập phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong a) z = y2(x3 – 1) A(0, 1) c) z3 – xy = A(1, 1, 1) d) x2z2 – (x2 + y2) = A(1, 0, 1) e) x2 + 4y2 + 2z2 = A(0, 1, 1) f) x2 – y2 + 2z2 = –1 A(1, 2, 1) g) y2(y2 + z2) = (x2 – 1)2 A(1, 0, 1) h) xy + yz + zx + xyz = A(1, 1, 0) i) x = u + v, y = uv, z = u3 + v3 u = 1, v = j) x=u+ k) x = cosu – vsinu, y = sinu + vcosu, z = u(u+2v) u = 0, v = l) x = 3u + v, y = 2u2 + 2uv, z = u3v u = 1, v = – b) 1 u ,y=v+ ,z= u v v + z = 2x2 + 4y2 A(1, 1) v u u =1, v = 20 Lập phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong a) x = t4, y = t + t3, z = t2 t = b) x = t3, y = (t + 1)3, z = 3t t = –1 10 , z = lnt t t = c) x = t, y = d) x = etcost, y = etsint, z = et t = e) x =cost + sin2t, y = sint(1– cost), z = –cost t = f) x = t – sint, y = – cost, z = 4cos g) z = x2 – y2, y = x x = 1, y = 1, z = h) x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = x = 1, y = 1, z = i) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x x = 1, y = –1, z = j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x x = 1, y = –1, z = k) y2 = x, x2 = z x = 1, y = –1, z = l) x2 + y2 + z2 = 4, x + y – z = x = 0, y = t t =  2, z = 11 Bài giải Đạo hàm vi phân 1) f(x, y) = arctan( 𝑥+𝑦 ) Tính df 𝑥−𝑦 Giải  df = f’xdx + f’ydy  f’x = 1+𝑢2 ( 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 )’x = f’y = 2) Tính z’x, z’y biết xyz = x + y + z Giải  f = xyz – x – y – z = z’x = - f’x / f’z , z’y = - f’y / f’z  f’x = , f’z =   d(xyz = x + y + z) yzdx + zxdy + xydz = dx + dy + dz (xy – 1)dz = (1 – yz)dx + (1 – zx)dy xy –  : dz = A.dx + B.dy 3) Tính z’x, z’y biết z = x + arctan( 𝑦 𝑧−𝑥 ) Giải  f = z – x – arctan( 𝑦 𝑧−𝑥 ) 12  (z = x + arctan( z’x = + 𝑦 𝑧−𝑥 ) )’x 𝑦(𝑧 ′ 𝑥 −1) 1+𝑢2 (𝑧−𝑥)2 4) Tính z’(x), y’(x) biết x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Giải   d(x + y + z = 0) d(x2 + y2 + z2 = 1)  dy + dz = - dx ydy + zdz = - xdx (y – z)dy = (z – x)dx (z – y)dz = (y – x)dx  y–z0: 5) Tính u’x, u’y dy = A.dx, dz = B.dx biết u = 𝑥+𝑧 𝑦+𝑧 , zez = xex + yey Giải  d(zez = xex + yey) (1 + z)ezdz = (1 + x)exdx + (1 + y)eydy dz = A.dx + B.dy  u’x = (1+𝑧 ′ 𝑥)(𝑦+𝑧)−(𝑥+𝑧)𝑧 ′ 𝑥 = (𝑦+𝑧)2 = (𝑦+𝑧)+(𝑦−𝑥)𝑧 ′ 𝑥 (𝑦+𝑧)2 (𝑦−𝑥)(1+𝑥) 𝑥−𝑧 𝑒 1+𝑧 (𝑦+𝑧)2 (𝑦+𝑧)+ u’y = 13 6) Tính z’(x) biết z = x2 + y2, x2 – xy + y2 = Giải  d(x2 – xy + y2 = 1) d(z = x2 + y2),  dz = 2xdx + 2ydy,  dy =  2𝑥−𝑦 𝑥−2𝑦 (2x – y)dx + (2y – x)dy = dx, dz = A.dx y’(x) = - f’x / f’y z’(x) = 2x + 2y.y’(x) Phương trình hàm 1) F(x – z, y – z) = 0, F’u2 + F’v2  CMR z’x + z’y = Giải  u = x – z, v = y – z dF = F’udu + F’vdv = F’u(dx – dz) + F’v(dy – dz) =  dz = A.dx + B.dy  A+B=1 2) –x + y + z = (x2 + y2 + z2) CMR (y – z)z’x – (z + x)z’y = x + y Giải  d(–x + y + z = (x2 + y2 + z2)) –dx + dy + dz = ’(v)(2xdx + 2ydy + 2zdz) 14  dz = A.dx + B.dy  3) 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 u = f(x) + g( ) TínhA = 𝑥𝑦 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 2𝜕 𝑢 𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑢 +𝑥 𝜕𝑥 +𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 Giải 𝑦  f, g  C2, v =  u’x = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2 u’y = −  𝑥 2𝑥 𝑦3 𝑔′(𝑣) 𝑦2 u”xy = − u”yy =  𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑔′(𝑣) 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥3 ( ) 2𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥) + 𝑥2 ′( ) 2𝑓 𝑥 − ′( ) 2𝑔 𝑣 − 𝑔′′ (𝑣) 𝑔′′(𝑣) A = = 4) Cho z’x + z’y = u = x – y, v = 2x + 3y Tìm z(x, y) Giải  z’x = z’uu’x + z’vv’x = z’u + 2z’v z’y = z’uu’y + z’vv’y = –z’u + 3z’v z’x + z’y = 5z’v =  z’v = 15 z = v + f(u) = 2x + 3y + f(x – y) 5) Cho z’x = 2x + y2 z(x, x2) = Tìm z(x, y) Giải  z(x, y) = ∫ 𝑧′𝑥 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 = x2 + xy2 + C(y)  z(x, x2) = x2 + x(x2)2 + C(x2) =  C(x2) = – x2 – x.x4  y = x2 : C(y) = – y – 𝑦 6) Cho z”xx = 2, z(0, y) = 1, z’x(0, y) = y Tìm z(x, y) Giải  z’x(x, y) =  z”xx dx =  2dx = 2x + C(y) z’x(0, y) = + C(y) = y  z(x, y) =  z’x dx =  (2x + y)dx = x2 + xy + B(y) z(0, y) = + + B(y) = Cực trị  Cực trị địa phương 1) f(x, y) = x2y + y3 – 4x – 5y – 16 Giải a)  f = x2y + y3 – 4x – 5y –  C1(D = ℝ2)   f’x = 2xy – = (x = 2, y = 1) (x = 1, y = 2) f’y = x2 + y2 – = b)  f”xx = 2y, f”xy = 2x, f”yy = 2y,  = 4(x2 – y2)  Tại A(x = 2, y = 1) :  = 4(4 – 1) > A cực trị  Tại B1(x = 1, y = 2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = > B1 CT fmin = f(1, 2) =  Tại B2(x = –1, y = –2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = –4 < B2 CD fmax = f(–1, –2) = 2) f(x, y) = x2 + xy + y2 – 4lnx – 10lny Giải  f  C1(D : x > 0, y > 0) 3) f(x, y) = (5 – 2x + y)𝑒 𝑥 −𝑦 Giải  f  C1(D = ℝ2) 17  f’x = (– 4x2 + 2xy + 10x – 2)𝑒 𝑥 −𝑦  Cực trị có điều kiện 4) f(x, y) = lnx + 3lny với x + 3y = Giải  x + 3y =  g(y) = ln(1 – 3y) + 3ln(y) , < y < g’(y) = −  1−3𝑦 x = – 3y 3(1−4𝑦) 𝑦 𝑦(1−3𝑦) + = =0  y= y g’ + 1 – g  Hàm g(y) CD y = 4 nên f(x, y) CĐK x = – , y = 1 fmax = f( , ) = 4 5) f(x, y) = 3x + y – với 9x2 + 4y2 = Giải  9x2 + 4y2 =  x= √5 cos(t), y= 𝑥2 + 𝑦2 √5 sin(t), =1 t  [0, 2] 18  g(t) = = √5cos(t) + √5 sin(t) g’(t) = −√5sin(t) + √5 cos(t)  tan(t) = – 1, t  [0, 2] =0  t = ,  +  y  g’ + + - 2 + g  g(t) CD t = , CT t = + 3 4 t =  : y = x, 9x2 + 4( x)2 =  L = (3x + y – 1) + (9x2 + 4y2 – 5) L’x = + 18x =  x=− L’y = + 8y = L’ = 9x2 + 4y2 – =  6 y=− 8 = L”xx = 18, L”xy = 0, L”yy = 8 d2L = 2(9dx2 + 4dy2) d = 9xdx + 4ydy =  Tại  = , d2L > : CT  Tại  = − , d2L < : CD 19 6) f(x, y) = cos2x + cos2y với x – y = 𝜋 Giải  y=x– 𝜋 1 𝜋 2 g(x) = + cos(2x) + cos(2x – )  Trị lớn nhất, bé 7) f(x, y) = xy2, D : x2 + y2  Giải  x2 + y2 < f’x = y2 = 0, f’y = 2xy =  f(x, 0) =  x2 + y2 =  y2 = – x2 g(x) = x(3 – x2) = 3x – x3, g’(x) = – 3x2 = f(x = 1, y = √2) = 2  8) f(x, y) = xy2(4 – x – y), D : x = 0, y = 0, x + y = Giải  D:  f(x, y) = 4xy2 – x2y2 – xy3 20 f’x = = f’y = =  O(0, 0), A(6, 0), B(0, 6)  x = 0, < y < y= y=6–x Hình vi phân  Pháp tuyến tiếp diện 1) 𝑦 𝜋 𝑥 z = arctan( ), A(1, –1, − ) Giải  𝑛⃗ = (–z’x, –z’y, 1) z’x = z’y =  𝜋 A(1, –1, − )  (D) = A + vect(𝑛⃗) (P) = A + 𝑛⃗ 2) x2 + 3y2 – 2z2 + 2xy + yz + zx + = 0, A(0, 1, 2) Giải 21  𝑛⃗ = (f’x, f’y, f’z) f’x =  A(0, 1, 2) 𝑥 3) 𝑦 𝑧 + 𝑧 = 8, A(2, 2, 1) Giải  𝑥 f = u + v, 𝑦 u = 2𝑧 , v = 𝑧 f’x = u’x + v’x  Tiếp tuyến pháp diện 4) x = 2sin2t, y = sint cost, z = cos2t, t = 𝜋 Giải  ⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t)) 𝑇  t= 𝜋 1 A(1, , ) 2  ⃗) (D) = A + vect(𝑇 ⃗ (P) = A + 𝑇 5) x2 + y2 + z2 = 6, x – y + z = 0, A(1, 2, 1) 22 Giải  (C) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – = g(x, y, z) = x – y + z = ⃗ = (f’x, f’y, f’z)  (g’x, g’y, g’z) 𝑇 23 [...].. .1 , z = 2 lnt t tại t = 1 c) x = t, y = d) x = etcost, y = etsint, z = et tại t = 0 e) x =cost + sin2t, y = sint (1 cost), z = –cost tại t = 0 f) x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos g) z = x2 – y2, y = x tại x = 1, y = 1, z = 0 h) x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = 3 tại x = 1, y = 1, z = 2 i) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x tại x = 1, y = 1, z = j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x tại x = 1, y = 1, z = 2 k)... = x2 + xy + B(y) z(0, y) = 0 + 0 + B(y) = 1 3 Cực trị  Cực trị địa phương 1) 1 f(x, y) = x2y + y3 – 4x – 5y – 1 3 16 Giải a)  1 f = x2y + y3 – 4x – 5y – 1  C1(D = 2) 3   f’x = 2xy – 4 = 0 (x = 2, y = 1) (x = 1, y = 2) f’y = x2 + y2 – 5 = 0 b)  f”xx = 2y, f”xy = 2x, f”yy = 2y,  = 4(x2 – y2)  Tại A(x = 2, y = 1) :  = 4(4 – 1) > 0 A không phải cực trị  Tại B1(x = 1, y = 2) :  = 4 (1 –... = 4 > 0 B1 là CT và fmin = f (1, 2) =  Tại B2(x = 1, y = 2) :  = 4 (1 – 4) < 0,  = –4 < 0 B2 là CD và fmax = f( 1, 2) = 2) f(x, y) = x2 + xy + y2 – 4lnx – 10 lny Giải  f  C1(D : x > 0, y > 0) 3) f(x, y) = (5 – 2x + y)𝑒 𝑥 2 −𝑦 Giải  f  C1(D = 2) 17  f’x = (– 4x2 + 2xy + 10 x – 2) 𝑒 𝑥 2 −𝑦  Cực trị có điều kiện 4) f(x, y) = lnx + 3lny với x + 3y = 1 Giải  x + 3y = 1  g(y) = ln (1 – 3y) +... 3 1 3𝑦 x = 1 – 3y 3 3 (1 4𝑦) 𝑦 𝑦 (1 3𝑦) + = 1 3 =0  y= y 0 g’ + 1 4 1 1 4 3 0 – g  Hàm g(y) CD tại y = 1 3 1 4 4 nên f(x, y) CĐK tại x = 1 – , y = 4 1 1 fmax = f( , ) = 4 4 5) f(x, y) = 3x + y – 1 với 9x2 + 4y2 = 5 Giải  9x2 + 4y2 = 5  x= √5 cos(t), 3 y= 2 5 9 + 2 √5 sin(t), 2 5 4 =1 t  [0, 2 ] 18  g(t) = = √5cos(t) + √5 sin(t) 2 g’(t) = −√5sin(t) + √5 cos(t) 2  tan(t) = 1 2 – 1, t  [0, 2 ]... 𝜋 4 Giải  y=x– 𝜋 4 1 1 𝜋 2 2 2 g(x) = 1 + cos(2x) + cos(2x – )  Trị lớn nhất, bé nhất 7) f(x, y) = xy2, D : x2 + y2  3 Giải  x2 + y2 < 3 f’x = y2 = 0, f’y = 2xy = 0  f(x, 0) = 0  x2 + y2 = 3  y2 = 3 – x2 g(x) = x(3 – x2) = 3x – x3, g’(x) = 3 – 3x2 = f(x = 1, y =  2) = 2  8) f(x, y) = xy2(4 – x – y), D : x = 0, y = 0, x + y = 6 Giải  D:  f(x, y) = 4xy2 – x2y2 – xy3 20 f’x = = 0 f’y =... diện 1) 𝑦 𝜋 𝑥 4 z = arctan( ), A (1, 1, − ) Giải  𝑛⃗ = (–z’x, –z’y, 1) z’x = z’y =  𝜋 A (1, 1, − ) 4  (D) = A + vect(𝑛⃗) (P) = A + 𝑛⃗ 2) x2 + 3y2 – 2z2 + 2xy + yz + zx + 3 = 0, A(0, 1, 2) Giải 21  𝑛⃗ = (f’x, f’y, f’z) f’x =  A(0, 1, 2) 𝑥 3) 𝑦 2 𝑧 + 2 𝑧 = 8, A (2, 2, 1) Giải  𝑥 f = u + v, 𝑦 u = 2 , v = 2 𝑧 f’x = u’x + v’x  Tiếp tuyến và pháp diện 4) x = 2sin2t, y = sint cost, z = cos2t,... = 1 15 z = v + f(u) = 2x + 3y + f(x – y) 5) Cho z’x = 2x + y2 và z(x, x2) = 1 Tìm z(x, y) Giải  z(x, y) = ∫ 𝑧′𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = x2 + xy2 + C(y)  z(x, x2) = x2 + x(x2 )2 + C(x2) = 1  C(x2) = 1 – x2 – x.x4  5 y = x2 : C(y) = 1 – y – 𝑦 2 6) Cho z”xx = 2, z(0, y) = 1, z’x(0, y) = y Tìm z(x, y) Giải  z’x(x, y) =  z”xx dx =  2dx = 2x + C(y) z’x(0, y) = 0 + C(y) = y  z(x, y) =  z’x dx =  (2x... yey Giải  d(zez = xex + yey) (1 + z)ezdz = (1 + x)exdx + (1 + y)eydy dz = A.dx + B.dy  u’x = (1+ 𝑧 ′ 𝑥)(𝑦+𝑧)−(𝑥+𝑧)𝑧 ′ 𝑥 = (𝑦+𝑧 )2 = (𝑦+𝑧)+(𝑦−𝑥)𝑧 ′ 𝑥 (𝑦+𝑧 )2 (𝑦−𝑥) (1+ 𝑥) 𝑥−𝑧 𝑒 1+ 𝑧 (𝑦+𝑧 )2 (𝑦+𝑧)+ u’y = 13 6) Tính z’(x) biết z = x2 + y2, x2 – xy + y2 = 1 Giải  d(x2 – xy + y2 = 1) d(z = x2 + y2),  dz = 2xdx + 2ydy,  dy =  2 −𝑦 𝑥 2 (2x – y)dx + (2y – x)dy = 0 dx, dz = A.dx y’(x) = - f’x / f’y z’(x) = 2x... - 0 2 + g  g(t) CD tại t = , CT tại t = + 3 3 4 4 t =  : y = x, 9x2 + 4( x )2 = 5  L = (3x + y – 1) + (9x2 + 4y2 – 5) L’x = 3 + 18 x = 0  x=− L’y = 1 + 8y = 0 L’ = 9x2 + 4y2 – 5 = 0  1 6 y=− 1 8 1 = 4 L”xx = 18 , L”xy = 0, L”yy = 8 d2L = 2 (9dx2 + 4dy2) d = 9xdx + 4ydy = 0 1  Tại  = , d2L > 0 : CT 4 1  Tại  = − , d2L < 0 : CD 4 19 6) f(x, y) = cos2x + cos2y với x – y = 𝜋 4 Giải. .. j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x tại x = 1, y = 1, z = 2 k) y2 = x, x2 = z tại x = 1, y = 1, z = 1 l) x2 + y2 + z2 = 4, x + y – z = 0 tại x = 0, y = t 2 tại t =  2 2, z = 2 11 Bài giải 1 Đạo hàm và vi phân 1) f(x, y) = arctan( 𝑥+𝑦 ) Tính df 𝑥−𝑦 Giải  df = f’xdx + f’ydy  f’x = 1 1+ 2 ( 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 )’x = f’y = 2) Tính z’x, z’y biết xyz = x + y + z Giải  f = xyz – x – y – z = 0 z’x = - f’x / f’z , z’y = ... y2, y = x x = 1, y = 1, z = h) x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = x = 1, y = 1, z = i) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x x = 1, y = 1, z = j) x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x x = 1, y = 1, z = k) y2 = x, x2... + 2y + = 19 Lập phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong a) z = y2(x3 – 1) A(0, 1) c) z3 – xy = A (1, 1, 1) d) x2z2 – (x2 + y2) = A (1, 0, 1) e) x2 + 4y2 + 2z2 = A(0, 1, 1) f) x2 – y2 + 2z2 =... bậc hai sau a) 7x2 + 4xy – 4xz + 4y2 – 2yz + 4z2 – 2x + 8y – 14 z + 16 = b) 11 x2 16 xy – 4xz + 5y2 – 20 yz + 2z2 + + 30x – 66y + 24 z + 45 = c) x2 – 2xy + y2 + 2z2 + 2x – = d) 2( x + y)(y – z) –