25.Tốn KHĨ Bài 1: Tổng tích số tự nhiên liên tiếp Tính tích S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13 Giải Cách 1: S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13 3S=1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ……… + 11x12x3 + 12x13x3 Ta lấy K = 1x2x3 +2x3x4 + 3x4x5 + …… + 11x12x13 + 12x13x14 - 3S = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ……… + 11x12x3 + 12x13x3 -K – 3S = + 2x3x1 + 3x4x2 + …… + 11x12x10 + 12x13x11 K – 3S = K – 12x13x14 Từ suy ra: 3S = 12x13x14 S = 4x13x14 = 728 Cách 2: S x = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + … + 11x12x(13-10) + 12x13x(14-11) S x = 1x2x3 + 2x3x4 – 2x3x1 + 3x4x5 – 3x4x2 + … + 11x12x13 – 11x12x10 +12x13x14 – 12x13x11 S x = 12 x 13 x14 S = x 13 x 14 S = 728 Bài 2: Tổng phân số Cho A= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 Giải Cách 1: Cách 2: Bài 3: Tổng phân số Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 Giải Bài 4: Tổng phân số Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + + 1/n Biết A= 49/50 Tìm n Giải Bài 5: Bài 6: Tính A = 2008+2007/2+2006/3+2005/4+ +2/2007+1/2008 1/2 + 1/3 + 1/4 +………… + 1/2008 + 1/2009 Ta có tử số bằng: 2008+2007/2+2006/3+2005/4+… +2/2007+1/2008 (Phân tích 2008 thành 2008 số đưa vào nhóm) = (1 + 2007/2) + (1 + 2006/3) + (1 + 2005/4) + + (1 + 2/2007) + ( + 1/2008) + (1) = 2009/2 + 2009/3 + 2009//4 + …… + 2009/2007 + 2009/2008 + 2009/2009 = 2009 x (1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009) Mẫu số: 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009 Vậy A = 2009 Bài Bài 8: Bài 9: Cho A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + .+ 1/16 + 1/17 Chứng minh A số tự nhiên Giải Ta có: A = (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + (1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11) + (1/12 + 1/13 + 1/14) + (1/15 + 1/16 + 1/17) < (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + 3(1/6) + 3(1/9) + 3(1/12) + 3(1/15) = 2(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) < 2(1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4) = Mặt khác A = (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12) + (1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + 1/17 > (1/2 + 1/3 + 1/4) + 4(1/8) + 4(1/12) + 4(1/16) = 2(1/2 + 1/3 + 1/4) > 2(1/2 + 1/4 + 1/4) = Vậy A không số tự nhiên => < A < Bài 10: Tính: A=1x2x3+2x3x4+…+100x101x102 A = 1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102 Nhân A với ta có : A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4 A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + + 100x101x102x(103 - 99) A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102 Sau cộng - trừ giản ước ta có : A x = 100x101x102x103 A = 100 x101x102x103 : = 26527650 Bài 11: Cho số tự nhiên có 2014 chữ số Biết với hai chữ số liên thứ tự viết tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc chia hết cho 23 Nếu chữ số cuối số chữ số chữ số chữ số nào? Ta suy luận dần này: Chữ số cuối chữ số liền trước phải để 51 chia hết cho 17 (51:17=3) ………51 Trước chữ số phải để có 85:17=5 ……….851 Trước chữ số phải để có 68:17=4 ……….6851 Trước chữ số phải để có 46:23=2 ……….46851 Trước chữ số phải để có 34:17=2 ……….346851 Trước chữ số phải để có 23:23=1 ……….2346851 Trước chữ số phải để có 92:23=4 ……….92346851 Trước chữ số phải để có 69:23=3 ……….692346851 ………… Tiếp tục: ………….92346 92346 92346 851 Ta thấy quy luật lập nhiều lần lại chữ số: 9;2;3;4;6 cuối 851 Bỏ chữ số cuối (851) lại: 2014-3=2011 (chữ số) Chia nhóm được: 2011 : = 402 (nhóm 5) dư Chữ số cuối nhóm chữ số Vậy chữ số dạy (6 92346 92346 92346 ………… 92346 92346 851) Bài 12: Tính tổng : A=38/25 + 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 - +197/4851199/4950 Từ: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950 Ta viết lại: (9/10 - 11/15) + (13/21 - 15/28) + 17/36 – 19/45 + (197/4851 199/4950) Ta thấy : (9/10 - 11/15) = 1/6 = 1/(2x3) = 1/2 – 1/3 (13/21 – 15/28) = 1/12 = 1/(3x4) = 1/3 – 1/4 (17/36 – 19/45) = 1/20 = 1/(4x5) = 1/4 – 1/5 ……………… (197/4851 – 199/4950) = 1/2450 = 1/(49x50) = 1/49 – 1/50 Ta được: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950 = 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+ … + 1/49-1/50 = 1/2 – 1/50 = 24/50 Vậy : A = 38/25 + 24/50 = A=2 Bài 13: Cho dãy số: 4/3;9/8;16/15;25/24;36/35; Hãy tìm số hạng thứ 98 tính tích 98 số hạng dãy số Giải Bài 14: Trong giải bóng đá có k đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (2 đội thi đấu với trận).Đội thắng điểm Đội hòa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải, người ta nhận thấy số trận thắng-thua gấp đơi số trận hòa tổng số điểm đội 176 Hãy tìm k ? Trận thắng điểm, trận hòa điểm (vì đội điểm) số trận thắng-thua gấp đôi số trận hòa Tổng số điểm 176 điểm Tỉ số điểm cho trận thắng-thua hòa là: (3x2) / (2x1) = 3/1 Tổng số phần nhau: + = (phần) Số điểm cho đội hòa là: 176 : = 44 (điểm) Số trận hòa là: 44 : = 22 (trận) Số điểm cho trận thắng thua : 176 – 44 = 132 (điểm) Số trận thắng thua : 132 : = 44 (trận) Tổng số trận đấu : 22 + 44 = 66 (trận) Do k số đội nên số trận đấu : k x (k-1) : Ta : k x (k-1) : = 66 k x (k-1) = 66x2 = 132 Do k (k-1) số tự nhiên liên tiếp 132 = 12 x 11 nên k = 12 (Hay có 12 đội thi đấu.) Bài 15: Tinh: A = 9+99+999+ +9 9(co 50 chu so 9) Ta thấy: = 10 - 99 = 100 - 999 = 1000 - 99 99 = 100 00 - (50 chữ số 0) Suy ra: + 99 + 999 + 9999 + 99 99 (50 chữ số 9) = (10 - 1) + (100 - 1) + + (100 00 - 1) = (10 + 100 + + 100 00) - (1 + + + + 1) (50 chữ số cộng với nhau) = 111 10 - 50 (50 chữ số 1) = 111 1160 (48 chữ số 1) Bài 16: Cho A = 671 x 999…997 + 2013 (thừa số 999…997 có tất 99 chữ sớ 9) Tính tổng chữ số A A = 671 x 99…997 + 2015 ( thừa số 99…997 có 99 chữ số 9) = 671 x 100 00 – 671 x + 2015 ( số 100 00 có 100 chữ số ) = 67100…00 – 2013 + 2015 = 67100…00 + = 67100 02 Vậy tổng chữ số A là: + + + = 16 Đáp số: 16 Bài 17: Tinh: A = 9+99+999+ +9 (co 50 chu so 9) Ta thấy: = 10 - 99 = 100 - 999 = 1000 - 99 99 = 100 00 - (50 chữ số 0) Suy ra: + 99 + 999 + 9999 + 99 99 (50 chữ số 9) = (10 - 1) + (100 - 1) + + (100 00 - 1) = (10 + 100 + + 100 00) - (1 + + + + 1) (50 chữ số cộng với nhau) = 111 10 - 50 (50 chữ số 1) = 111 1060 (48 chữ số 1) Bài 17b: Tính: A=5+55+555+ .+55 55(co 50 chu so 5) A = 5/9 x (9+99+999+…+99…99) (có 50 chữ số 9) =5/9 x (10-1 + 100-1 + 1000-1 +…+ 100 00-1) =5/9 x (10+100+1000+…+100 00 – 50) =5/9 x (111 110 – 50) (111…110 có 50 chữ sớ 1) = 5/9 x 111…060 (có 48 chữ sớ 5) = 555…55300/9 (có 48 chữ số 5) Công thức tổng quát: A = a+aa+aaa+…+aa…aa A= (có n chữ sớ a)