Toán tính nhanh tiểu học

20.TÍNH NHANH Bài 1: Tính nhanh 999999999:81-123456789:10+11111111,1 Giải 999999999:81-123456789:10+11111111,1 = 12345679 – 12345678,9 + 11111111,1 = 0,1 + 11111111,1 = 11111111,2 (9 chữ số chữ số 1) Bài 2: Giải a) 2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 = 2/9 x = 4/3 b) (1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)= x x x ……… x 97 = 3/99 x x x ……….x 99 c) Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024 Nhân A với 2: Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+…… +1/512 Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+…… +1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024) A = – 1/1024 = 1023/1024 Cách 2: (1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) = – 1/1024 = 1023/1024 Bài 3: Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 99x100 Giải Gọi biểu thức A, ta có : A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 99x100 A x = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + + 99x100x3 A x = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + + 99x100x(101-98) A x = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + + 99x100x101 98x99x100 A x = 99x100x101 A = 99x100x101 : A = 333300 Bài 4: Tính nhanh 8/9 x 15/16 x 24/25 x x 2499/2500 Giải 8/9 x 15/16 x 24/25 x x 2499/2500 = (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x x (49x51) / 50x50) = 2x4x3x5x4x6x x49x51 / 3x3x4x4x5x5x x50x50 (giản ước tử mẫu) = (2x51) / (3x50) = 17/25 Bài 5: Tính nhanh: A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/98x99x100 Giải 1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3) 1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4) 1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5) …………………………… 1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100) A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5 + …… + 1/98x99 – 1/99x100) A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900) = ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900 A = 4949/19800 Hoặc : Nhân A với ta được: A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + + 2/98x99x100 = (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5) + …… + (1/98x99 – 1/99x100) = 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800 Vậy: A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/98x99x100 = 9898/19800 : A = 4949/19800 Bài 6: Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102 Giải A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102 Nhân A với ta được: A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4 A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + + 100x101x102x(103 - 99) A x = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102 Sau cộng - trừ giản ước ta có : A x = 100x101x102x103 A = 100 x101x102x103 : = 26527650 Bài 7: Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + x 34 + 102) Tính nhanh: 11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] = 11x34 – 10x34 = 34 Bài 8: Tính nhanh: 2x3+3x4+4x5+5x6+ +29x30 Giải Gọi biểu thức A, ta có : A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 29x30 A x = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + + 29x30x3 A x = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + + 29x30x(31-28) A x = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + + 29x30x31 – 28x29x30 A x = 29x30x31 A = 29x30x31 : A = 8990 Bài 9: So sánh A B biết: A= 163% X 167% B= 165% X 165% Giải Nhân A B với 10000 A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161 B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165 Do 161 < 165 nên A x 10000 < B x 10000 Hay: A < B Bài 10: Tính tổng : A = + + + 16 + .+ 100 Giải A = + + + 16 + … + 100 A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10 A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + … + 10x(11-1) A = 1x2 – + 2x3 – + 3x4 – + …… + 10x11 – 10 A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 10x11) – (1+2+3+ … + 10) A = (10x11x12) : – (1+2+3+ … +10) A = 440 – 55 A = 385 Bài 11: Tính nhanh: B = x + x + x + + 100 x 100 Giải B = x + x + x + + 100 x 100 = x (2 - 1) + x (3 - 1) + x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1) = x – + x – + x – + + 100 x 101 – 100 = (1 x + x + + 100 x 101) – (1 + + + + 100) = (100 x 101 x 102) : - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 B = 338350 Bài 12: Tính tổng : A = + 16 + 36 + 64 + + 10000 Giải A:4 = + + + 16 + … + 2500 A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50 A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + … + 50x(51-1) A:4 = 1x2 – + 2x3 – + 3x4 – + …… + 50x51 – 50 A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 50x51) – (1+2+3+ … + 50) A:4 = (50x51x52) : – (1+2+3+ … +50) A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577 A = 45 577 x A = 182 380 Bài 13: Tính M = + + 25 + 49 + + 9801 Giải Cộng vế với: 4+16+36+….+10000 M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + …… + 100x100 = x (2 - 1) + x (3 - 1) + x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1) = x – + x – + x – + + 100 x 101 – 100 = (1 x + x + + 100 x 101) – (1 + + + + 100) = (100 x 101 x 102) : - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350 M + (4+16+36+….+10000) = 338350 Ta thầy : 4+16+36+….+10000 = 4x(1 + + + …… + 2500) = 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …… + 50x50) = 4x(1 x (2 - 1) + x (3 - 1) + x (4 - 1) + + 50 x (51 – 1)) = 4x(1 x – + x – + x – + + 50 x 51 – 50 ) = 4x[(1 x + x + + 50 x 51) – (1 + + + + 50)] = 4x[(50 x 51 x 52) : - (50 x 51 : 2)] = 171700 Vậy: M + 171700 = 338350 M = 338350 – 171700 M = 166 650 Bài 14: Tính nhanh: (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100) Giải Xét mẫu số: 1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100) = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/99 – 1/100 = (1 + 1/3 + + 1/99) – (1/2 + 1/4 + + 1/100) = (1 + 1/3 + + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ + 1/100)x2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + +1/50 ) = 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100 (Đơn giản số trừ) Vậy: (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100) = (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) =1 Bài 15: Tính nhanh: 1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + + 1/ (2013 x 2014) Giải Ta thấy: 1/(1x2) = – 1/2 1/(2x3) = 1/2 – 1/3 1/(3x4) = 1/3 – 1/4 …………… Nên: 1/1 x2 + 1/ x + 1/ x + + 1/ 2013 x 2014 = – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + + 1/2013 – 1/2014 = – 1/2014 = 2013/2014 Bài 16 Tính A= 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/2013x2014x2015 Giải Nhân vế với 2: Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + + 2/2013x2014x2015 = 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + +1/2013x2014 - 1/2014x2015 = 1/1x2 - 1/2014x2015 = 4056194 / 8116420 A = 4056194 / 8116420 : A = 2028097 / 8116420 Mở rộng: Mẫu số có tích số tự nhiên liên tiếp trường hợp sau ta vế với Chú ý là: = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ……… A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30 A x = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + + 3/27x28x29x30 A x = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + + 1/27x28x29 - 1/28x29x30 A x = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160 A = 48718 / 146160 Bài 17: Tính: S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+ -1998x1999+1999x2000 Giải S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+ -1998x1999+1999x2000 S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+…… +(1999x2000 – 1998x1999) = + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998) = + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2 = x (1+3+5+7+… + 1999) S = x 1000000 = 000 000 Bài 18: Tính nhanh 8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x x 99/100 Giải Ta thấy: 8/9 = (2x4)/(3x3) ; 15/16 = (3x5)/(4x4) ; 24/25 = (4x6)/(5x5) ; … ; 99/100 = (9x11)/ (10x10) Nên viết lại : (2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10) (2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15 Bài 19: Tính nhanh: 1x4+2x5+3x6+ +99x102 Giải 1x4+2x5+3x6+ +99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + … + 99x(100+2) = (1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) = Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) = 1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 = 99x100x101 = 999900 Vậy : 1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : = 333300 Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng) Tổng : (198+2)x99 :2 = 9900 Kết : 1x4+2x5+3x6+ +99x102 = 333 300 + 900 = 343 200 Bài 20: Tính nhanh A = + + + + + 4096 + 8192 Giải Cách 1: A x = + + + + 16384 A x – A = 16384 – = 16383 Vậy A = 16383 Cách 2: Ta thấy: Tổng số hạng đầu là: 1+2+4=3+4 Tổng số hạng đầu là: 1+2+4+8=7+8 Tổng số hạng đầu là: + + + + 16 = 15 + 16 Theo quy luật ta tính kết tổng là: A = + + + + + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383 Vậy A = 16383 Cách 3: Nhận xét từ TỔNG số hạng đầu sau ta được: 1+2+4 = 3+4 1+2+4+8 = 7+8 1+2+4+8+16 = 15+16 ……………………… Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383 PHẦN BỔ SUNG Bài 21: Tính tổng: 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81 Giải S = 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81 S = 5/27 + 5/54 + 1/18 + 1/27 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 1/81 S = 5/27 + 5/54 + 5/90 + 5/135 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 5/405 S = 5/(9x3) + 5/(9x6) + 5/(9x10) + 5/(9x15) + 5/(9x21) + 5/(9x28) + 5/(9x36) + 5/ (9x45) S = 10/(9x6) + 10/(9x12) + 10/(9x20) + 10/(9x30) + 10/(9x42) + 10/(9x56) + 10/(9x72) + 10/(9x90) S = 10/9 x (1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90) S = 10/9 x (1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10) S = 10/9 x (1/2 -13 + 1/3-1/4 + 1/4-1/55 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/91/10) S = 10/9 x (1/2 - 1/10) = 10/9 x 4/10 S = 4/9 Bài 22: Tính A= 1× × + × × + × × × ×12 + × × 24 + × × 36 Giải 1× × + × × + × × = × ×12 + × × 24 + × × 36 1× × + × (1× × 3) + × (1× × 3) = × ×12 + × (2 × ×12) + × (2 × ×12) (1× × 3) × (1 + + 3) = (2 × ×12) × (1 + + 3) 1× × = × ×12 12 A= 12 Bài 23: Tìm A biết: (1-1/3)x(1-1/6)x(1-1/10)x(1-1/15)x x(1-1/780)xA=1 Giải (1-1/3) x (1-1/6) x (1-1/10) x (1-1/15)x x (1-1/780) = 2/3x 5/6x x 9/10 x x 779/780 = 4/6 x 10/12 x 18/20 x x 1558/1560 = 4x10 x 18 x x 1558/6x 12 x 20 x x 1560 = (1x4)x(2x5)x(3x6)x (37x40)x (38 x 41) / (2x3)x(3x4)x(4x5)x … x(39x40) = Giản ước ta 41/3x39 = 41/117 Ta được: 41/117 x A = A = : 41/117 A = 117/41 Bài 24: Tính: 1 1 + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + 2009 Giải 1 1 + + + + = 1+ 1+ + 1+ + + + + + 2009 1 1 + + + + = (1+2)x2:2 (1+3)x3:2 (1+4)x4:2 (1+2009)x2009:2 2 2 + + + + = 2x3 3x4 4x5 2009x2010 2x( 1 1 + + + + ) = 2x3 3x4 4x5 2009x2010 1 1 1 1 2x( - + - + - + + ) = 3 4 2009 2010 1 1004 1004 2x( ) = 2x = 2010 2010 1005 Bài 25: Tính nhanh A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45 Giải Nhân A với 1/2 Ta được: A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 = 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(9x10) = 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …+ 1/9 – 1/10 = 1/2 – 1/10 = 4/10 A = 4/10 x = 4/5 Bài 26: Tính nhanh : A= 1 1 + + + + 1x6x6 2x9x8 3x12x10 98x297x200 Giải Ta viết lại : 1 1 + + + + A= 1x(2x3)x(3x2) 2x(3x3)x(4x2) 3x(4x3)x(5x2) 98x(99x3)x(100x2) A= 1 1 x( + + + + ) 1x2x3 2x3x4 3x4x5 98x99x100 A x 12 = 2 2 + + + + 1x2x3 2x3x4 3x4x5 98x99x100 A x 12 = ( A x 12 = A= 1 1 1 1 − )+( − )+( − ) + + ( − ) 1x2 2x3 2x3 3x4 3x4 4x5 98x99 99x100 1 4949 − = 1x2 99x100 9900 4949 4949 = 9900x12 118800 Bài 27: So sánh A B Biết: A = x + x + x + x +5 x 10 / x + x + x 12 + 12 x 16 + 15 x 20 B = 11111 / 66665 Giải A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5 / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 + 3x4x4x4 + 3x4x5x5 A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6 A = 11111/66666 Vậy A