Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các chuyên đề hàm số bậc nhất và bậc hai toán 9 ôn thi vào 10 Tài liệu phục vụ học sinh lớp 9 cũng như phục vụ kì thi ôn thi vào 10 cơ bản cũng như chuyên Tài liệu phân loại rõ ràng và giải chi tiết có các dạng toán và đáp án cụ thể
Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC Vấn đề 1: Hàm số bậc Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: + Hàm số bậc hàm số cho công thức: y ax b a b số thực cho trước a �0 + Khi b hàm số bậc trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận y x Tính chất: a) Hàm số bậc , xác định với giá trị x �R b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến a nghịch biến a Đồ thị hàm số y ax b với a �0 + Đồ thị hàm số y ax b đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a + a gọi hệ số góc đường thẳng y ax b Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b + Vẽ hai điểm phân biệt đồ thị vẽ đường thẳng qua điểm + Thường vẽ đường thẳng qua giao điểm đồ thị với trục tọa độ �b � ;0 � , B 0; b A � �a � 30 + Chú ý: Đường thẳng qua M m;0 song song với trục tung có phương trình: x m , đường thẳng qua N 0; n song song với trục hồnh có phương trình: y n Kiến thức bổ sung Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A x1; y1 , B x2 ; y2 AB x x2 x1 2 y y1 Điểm M x; y trung điểm AB x1 x2 y y ;y 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vng góc Cho hai đường thẳng d1 : y ax b đường thẳng d : y a ' x b ' với a, a ' �0 (d1 ) / /(d ) � a a ' b �b ' (d1 ) �( d ) � a a ' b b ' d1 cắt d ۹ a (d1 ) (d ) � a.a ' 1 a' Chú ý: Gọi góc tạo đường thẳng y ax b trục Ox , a tan a Một số tốn mặt phẳng tọa độ: Ví dụ 1) Cho đường thẳng d1 : y x đường thẳng d : y 2m m x m m a) Tìm m để (d1 ) / /(d ) 31 b) Gọi A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x Viết phương trình đường thẳng (d3 ) qua A vng góc với (d1 ) c) Khi (d1 ) / /(d ) Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng (d1 ), d d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1 ) tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm (d1 ) với trục tọa độ Ox, Oy Lời giải: a) Đường thẳng (d1 ) / /(d ) � m 1 2m 1 2m m � � �� �m �2 m m �2 m 1 m �0 � � (d1 ) / /(d ) b) Vì A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x suy Vậy với m tung độ điểm A l y � A 2;4 Đường thẳng d1 có hệ số góc a , đường thẳng d có hệ số góc a ' � a '.1 1 � a ' 1 Đường thẳng d3 có dạng y x b Vì d3 qua A 2;4 suy 2 b � b Vậy đường thẳng d3 y x c) Khi (d1 ) / /( d ) khoảng cách hai đường thẳng d1 d khoảng cách hai điểm A, B thuộc d1 d cho AB (d1 ), AB d Hình vẽ: Gọi B giao điểm đường thẳng (d3 ) (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm 32 d d3 là: x x 25 23 �25 23 � �x �y � B � ; � 8 �8 � 2 25 � �23 � Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB � � � � � �8 � �8 � d) Gọi M , N giao điểm đường thẳng d1 với trục tọa độ Ox, Oy Ta có: Cho y � x 2 � A 2;0 , cho y � x 2 � N 2;0 Từ suy OM ON � MN 2 Tam giác OMN vng cân O Gọi H hình chiếu vng góc O lên MN ta có OH MN SOMN OM ON ( đvdt) Chú ý 1: Nếu tam giác OMN khơng vng cân O ta tính OH theo cách: Trong tam giác vng OMN ta có: 1 (*) Từ để khoảng cách từ điểm O 2 OH OA OB đến đường thẳng (d ) ta làm theo cách: + Tìm giao điểm M , N (d ) với trục tọa độ + Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng tam giác vng OMN (cơng thức (*)) để tính đoạn OH Bằng cách làm tương tự ta chứng minh công thức sau: 33 Cho M x0 ; y0 đường thẳng ax by c Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: d ax0 by0 c a b2 Ví dụ 2:Cho đường thẳng mx 3m y m (d ) a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d ) lớn c) Tìm m để đường thẳng (d ) cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân Lời giải: a) Gọi I x0 ; y0 điểm cố định mà đường thẳng (d ) qua với m ta có: mx0 3m y0 m 0m � m x0 y0 1 y0 0m � x � x y �0 �0 �� � Hay � y0 � �y �0 �1 � I � ; � �2 � b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng (d ) Ta có: OH �OI suy OH lớn OI H �I � OI (d ) Đường thẳng qua O có phương trình: y ax 1 �1 � I�; � �OI � a � a � OI : y x 2 �2 � Đường thẳng (d ) viết lại sau: mx 3m y m � 3m y mx m 34 + Đế ý với m đường thẳng (d ) : x song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d ) 2 m m 1 x + Nếu m � đường thẳng (d ) viết lại: y Điều 3m 3m kiện để (d ) OI m 1 1 � m 3m � m Khi khoảng 3m 2 2 1 � �1 � cách OI � Vậy m giá trị cần tìm � � � � �2 � �2 � c) Ta giải tốn theo cách sau: + Cách 1: Dễ thấy m không thỏa mãn điều kiện (Do (d ) không cắt Oy ) Xét m � , đường thẳng (d ) cắt Ox, Oy điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB , góc � AOB 900 � OAB vuông cân O Suy hệ số góc đường thẳng (d ) phải 1 đường thẳng (d ) không qua gốc O �m m 1 1 � � 3m � � � Ta thấy có giá trị m thỏa mãn điều kiện m � m 1 � � � 3m � toán Cách 2: Dễ thấy m , m không thỏa mãn điều kiện m m 1 x Xét m �0; , đường thẳng (d ) viết lại: y 3m 3m Đường thẳng (d ) cắt trục Ox điểm A có tung độ nên m m 1 1 m 1 m � 1 m � x 0� x � A� ;0 �� OA , đường 3m 3m m m �m � 35 thẳng (d ) cắt trục Oy điểm có hồnh độ nên y m 1 m 1 � m 1 � � B� 0; Điều kiện để tam giác OAB �� OB 3m 3m � 3m � m 1 � m 1 � 1 m m 1 � �� � cân OA OB � Giá trị � m 3m m �m 3m � m không thỏa mãn , đường thẳng (d ) qua gốc tọa độ Kết luận: m Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng (d1 ) : mx (m 1) y 2m 0,(d ) : (1 m) x my 4m a) Tìm điểm cố định mà (d1 ) , (d ) ln qua b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0;4) đến đường thẳng (d1 ) lớn c) Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm I Tìm quỹ tích điểm I m thay đổi d) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác I AB với A, B điểm cố định mà d1 , d qua Lời giải: a) Ta viết lại (d1 ) : mx (m 1) y 2m � m x y y Từ dễ dàng suy đường thẳng (d1) qua điểm cố định: A 1;1 Tương tự viết lại (d ) : (1 m) x my 4m � m y x x suy (d ) qua điểm cố định: B 1;3 b) Để ý đường thẳng (d1 ) qua điểm cố định: A 1;1 Gọi H hình chiếu vng góc P lên (d1 ) khoảng cách từ A đến (d1 ) PH �PA Suy khoảng cách lớn PA P �H � PH d1 36 .Gọi y ax b phương trình đường thẳng qua P 0;4 ,A 1;1 ta có b4 �a.0 b � �� hệ : � suy phương trình đường thẳng a 3 �a.1 b � PA : y 3x Xét đường thẳng (d1 ) : : mx (m 1) y 2m Nếu m d1 : x d1 : y khơng thỏa mãn điều kiện Khi m �1 thì: m 2m x Điều kiện để (d1 ) PA 1 m m 1 m 3 1 � m 1 m c) Nếu m d1 : y d : x suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I 1;1 Nếu m d1 : x d : y suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I 1;3 Nếu m � 0;1 ta viết lại d1 : y m 2m m 1 4m x x d : y Ta thấy 1 m m 1 m m �m � �m � � � � � 1 nên d1 d 1 m � � �m � Do hai đường thẳng cắt điểm I Tóm lại với giá trị m hai đường thẳng d1 , d ln vng góc cắt điểm I Mặt khác theo câu a) ta có d1 , d qua điểm cố định A, B suy tam giác I AB vuông A Nên I nằm đường tròn đường kính AB 37 d) Ta có AB 1 1 1 2 Dựng IH AB 1 AB AB IH AB � IK AB AB Vậy giá trị lớn 2 2 diện tích tam giác IAB IH IK Hay tam giác IAB vuông cân I S I AB Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Ta có kết quan trọng sau: + Xét hàm số y f ( x) ax b với m �x �n GTLN, GTNN hàm số đạt x m x n Nói cách khác: { f ( x) f m ; f n max { f ( x ) max f m ; f n Như m�� x n m �� x n để tìm GTLN, GTNN hàm số y f ( x) ax b với m �x �n ta cần tính giá trị biên f m , f n so sánh hai giá trị để tìm GTLN, GTNN + Cũng từ tính chất ta suy ra: Nếu hàm số bậc y f x ax b có f m , f n �0 f x �0 với giá trị x thỏa mãn điều kiện: m �x �n Ví dụ 1: Cho số thực �x, y, z �2 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx �4 Lời giải: Ta coi y , z tham số, x ẩn số bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau: f ( x) y z x y z yz �0 � �f �0 Để chứng minh f x �0 ta cần chứng minh: � Thật ta �f �0 có: 38 + f y z yz y z �0 với y , z thỏa mãn: �y, z �2 + f y z y z yz yz �0 với y , z thỏa mãn: �y, z �2 Từ ta suy điều phải chứng minh: Dấu xảy x; y; z 0;2;2 hoán vị số Ví dụ 2: Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm GTLN biểu thức: P xy yz zx xyz Lời giải: ta giả sử z Khơngmất tính tổng quát x y có �xy � 1 z x, y, z z x yz Ta P xy z x y z xy z z z Ta coi z tham số xy ẩn số f xy xy z z z hàm số bậc xy với 1 z �xy � Để ý rằng: z suy hàm số f xy xy z z z đồng biến Từ suy � z f xy �f � � � 2 � 1 z 2 z z z z z � � 4 � �1 � � �� 1� � z z �z ��z �� Dấu xảy � 27 �2 108 � 27 � �� � 27 x y z 39 trình (2) c, d nghiệm phương trình (1) Chứng minh a b c d 10 9) a) Cho phương trình ax bx c a �0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1 bx2 c Chứng minh ac a c 3b b b) Giả sử p, q hai số nguyên dương khác Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm x px q 0; x qx p 10) Tìm số a, b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) Hai phương trình x ax 11 x bx có nghiệm chung; b) a b bé 11) a) Cho số a, b, c thỏa mãn a 0, bc 4a , 2a b c abc Chứng b) Cho a, b, c ba số khác c �0 Chứng minh minh a � phương trình x ax bc x bx ac có nghiệm chung nghiệm lại chúng nghiệm phương trình x cx ab 12) a) Cho f x ax bx c a �0 , biết phương trình f x x vô nghiệm chứng minh phương trình af x bf x c x vô nghiệm 88 b) Cho số a1 , a2 , b1 , b2 cho phương trình sau vơ nghiệm: x a1 x b1 x a2 x b2 Hỏi phương trình x2 1 a1 a2 x b1 b2 có nghiệm hay khơng? Vì sao? 2 13) Cho phương trình x 2mx m ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M 24 đạt giá trị nhỏ x x22 x1 x2 2 14) Cho phương trình x m x m , với m tham số 1) Giải phương trình m 2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với x1 x2 , tìm tất nghiệm m cho x1 x2 15) Cho phương trình x x 3m , với m tham số 1) Giải phương trình m 2) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 �0 thỏa điều kiện x1 x2 x2 x1 16) Cho phương trình bậc hai: x 2mx m2 m ( m tham số) a) Giải phương trình m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 x22 x1 x2 17) Cho phương trình: x m 1 x 2m m ( m tham số) a) Giải phương trình m 89 b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2 18) Cho phương trình: x m 1 x m ( m tham số) a) Giải phương trình với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 m 1 x2 �3m 16 19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y mx tham số m parabol P : y x a) Tìm m để đường thẳng d qua điểm A 1;0 b) Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 20) Cho phương trình: x x m (1) ( m tham số, x ẩn) 1) Giải phương trình (1) với m 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 �0 thỏa mãn: m x1 m x2 10 x2 x1 21) Cho phương trình: x x m ( m tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm x Tìm nghiệm lại 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 x23 22) Chứng minh phương trình: x m 1 x m ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 biểu thức M x1 x2 x2 x1 không phụ thuộc vào m 90 2 23) Cho phương trình x m 1 x m 3m (1) ( m tham số) 1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 12 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : y x đường thẳng d : y m 1 x ( m tham số) 3 1) Chứng minh giá trị m P d ln cắt hai điểm phân biệt 2) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm P d , đặt f x x m 1 x x x1 x2 (Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013) Chứng minh rằng: f x1 f x2 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Vì x nghiệm phương trình nên ta có: 2m 1 m m � m 5m � m 1 m Với m 1 ta có phương trình: x x Phương trình cho có nghiệm x , nghiệm lại x 3 (vì tích hai nghiệm 6 ) Với m , ta có phương trình x 13x 22 , phương trình cho có nghiệm x , nghiệm lại x 11 (vì tích hai nghiệm 22) 2) Xét 3 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Có thể nhận xét ac nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu 91 � �x1 x2 b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có: � �x1.x2 A x12 x22 x1 x2 x1 x2 3 2 B x13 x23 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 3 C 1 x1 x2 x1 x2 32 x1 x2 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 3) a) Ta có m m 1 m 4m m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 �۹ m 2 Theo hệ x1 x2 2m �x1 x2 m thức Viet ta có: � Khi P x1 x2 m �x1.x2 m m 1 �1 Dấu đẳng thức xảy m m 1 Ta có P 2m 1 2 m 2 m 2 m 2 m max P nên giá trị lớn Tương tự ta có giá trị nhỏ 2 , đạt m 2 (Xem thêm phần phương pháp miền giá trị hàm số) P 4) Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt � ' �� 2m 1 � 4m 4m 3 0, m Vậy phương trình có hai � � nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi hai nghiệm phương trình � �x1 x2 2m 1 1 x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: � �x1.x2 4m 4m 92 � 2m 1 x � �2 Có thể giả sử x1 x2 (3) Khi từ (1) (3)có � Thay �x 2m 1 � � 2m 1 vào (2) ta có phương trình Giải phương trình ta m 4m 4m � 4m2 4m 35 m (thỏa mãn điều kiện) 2 Cách 2: Từ yêu cầu đề suy x1 x2 x2 x1 , tức là: x1 x2 x2 x1 � x1 x2 x1 x2 áp dụng hệ thức Viet ta phương trình 4m 4m 35 5) Phương trình có hai nghiệm phân biệt � ' � m � m � �x1 x2 1 Theo hệ thức Viet, ta có: � Ta có x1 x2 � x1 x2 �x1.x2 m �x2 1 (3) Từ (1) (3) ta có � Thay vào (2) ta có m 3 �x1 thảo mãn điều kiện 6) a) Phương trình có nghiệm x � 5m � m b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu � 5m � m c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 � ' 93 � m 5m � m 1 m � m m �x1 x2 2m Theo hệ thức Viet ta có: � �x1.x2 5m 2m � �m Hai nghiệm phương trình dương � � 5m � Kết hợp với điều kiện ta có m m 7) Cách Đặt x t , ta có x1 x2 � x1 x2 � t1 t2 Phương trình ẩn x x x 3m đưa phương trình ẩn t : t 1 t 1 3m � t t 3m Phương trình ẩn t phải có hai nghiệm trái dấu � 3m � m Vậy m Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 � � 12m � m Khi theo hệ thức Viet ta có: 12 �x1 x2 � �x1.x2 3m (1) Hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 trái dấu � x1 1 x2 1 � x1 x2 x1 x2 (2) Thay (1) vào (2) ta có: 3m � m Kết hợp với điều kiện ta có m giá trị cần tìm Chú ý: Nếu hai nghiệm x1 , x2 phương trình ẩn t có hai nghiệm số âm Nếu hai nghiệm x1 , x2 phương trình ẩn t có hai nghiệm số dương 94 8) Giải: Áp dụng hệ thức Viet ta có: a b c; ab d ; c d a; cd b c d a c a d � � �� �b d Ta có: � a b c �a b c � Kết hợp với ab d cd b suy a 1, c Do a b c c d a suy b 2, d 2 Do a b c d 12 2 12 2 10 2 9) a) Vì a �0 nên � bc � �c � c ac a c 3b b ac a c b 3abc a � �(*) Theo �� a2 � �a � a � 2 3 b c hệ thức Viet, ta có: x1 x2 ; x1 x2 Khi (*) thành: a a a3 � x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 � � � 2 3 2 a � x1 x2 x1 x2 x1 x2 � � � a x1 x2 x2 x1 � ac a c 3b b3 a x12 x2 x22 x1 Mà theo giả thiết ta có ax2 bx2 c ax1 bx2 c a �0 2 Suy bx2 c ax2 ax1 � x2 x1 Do ac a c 3b b b) Vì p, q nguyên dương khác nên xảy hai trường hợp p q p q 2 Nếu p q suy p �q Khi p 4q � q 1 4q q 1 �0 Vậy trường hợp phương trình x px q có nghiệm Tương tự trường hợp p q phương trình x qx p có nghiệm (đpcm) 10) 95 a) Theo điều kiện đầu ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, ta có: � �x0 ax0 11 � x02 a b x0 18 �2 �x0 bx0 Do phương trình x a b x 18 có nghiệm (*) Khi a b 144 �0 hay a b �12 Mặt khác, ta có a b �a b �12 Vậy a b bé 12 a b dấu Với a b 12 , thay vào (*) ta được: x 12 x 18 Phương trình có nghiệm kép x 20 16 Thay x vào phương trình cho ta a ; b 3 Với a b 12 thay vào (*) ta được: x 12 x 18 Phương trình có nghiệm kép x 3 20 16 Thay x 3 vào phương tình ta được: a ; b Vậy cặp số sau 3 � 20 16 ��20 16 � ; � , � ; � thỏa mãn điều kiện toán: a; b � ��3 � � 11) a) Từ giả thiết ta có: bc 4a b c abc 2a 4a 2a 2a 2a 1 Suy b, c nghiệm phương trình x 4a 2a x 4a Khi (vì a ) �x02 ax0 bc � b) Giả sử x0 nghiệm chung, tức � �x0 bx0 ca � a b x0 c a b � a b x0 c Vì a �b nên x0 c Khi ' a 2a 1 4a �0 � 2a 1 �4 � a 2 ta có: c bc ca � c a b c 0, Do c �0 nên a b c � a b c Mặt khác theo định lý Viet, phương trình x ax bc có nghiệm x b; phương trình x bx ac có 96 nghiệm x a Theo định lý đảo định lý Viet, hai số a b nghiệm phương trình: x a b x ab hay x cx ab (đpcm) 12) a) Vì phương trình f x x vơ nghiệm, nên suy f x x f x x, x �� Khi af x bf x c f x x, x �� af x bf x c f x x, x ��.Tức phương trình af x bf x c x vô nghiệm 2 b) Từ giả thiết suy a1 4b1 a2 4b2 Do 2 � a � a 4b1 x a1 x b1 �x � 0, x �� � 2� 2 � a � a 4b2 x a2 x b2 �x � 0, x �� nên � 2� x2 1 x a1 x b1 x a2 x b2 � a1 a2 x b1 b2 � � � 2 2 Do phương trình x 1 a1 a2 x b1 b2 vô nghiệm 2 13) � 1� a) ' m m � m � với m Vậy phương trình ln � 2� có hai nghiệm với m b) Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 2m; x1 x2 m 24 24 24 M 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 8x1 x2 24 2m m 2 24 6 �2 Dấu “=” xảy 4m 8m 16 m 1 m Vậy giá trị nhỏ M 2 m 14) 97 1) Khi m phương trình thành: x x � x x 2 2 2) ' m m 2m 4m m m 1 m 1 0, m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với 2 m Ta có S x1 x2 m ; P x1 x2 m �0 2 Ta có x1 x2 � x1 x1 x2 x2 36 � x1 x2 x1 x2 x1 x2 36 � m 36 � m 2 � m 1 �m 15) x 1 � 1) Khi m phương trình thành: x x � � (do x3 � a b c ) x1 x2 � x12 x22 x1 x2 2) Với x1 , x2 �0 ta có: x2 x1 � x1 x2 x1 x2 8x1 x2 Ta có a.c 3m �0 nên �0, m b c Khi �0 , ta có: x1 x2 x1.x2 3m �0 a a Phương trình có hai nghiệm �0 m �0 � x1 x2 Giả sử x1 x2 Với a � x1 b ' ' x2 b ' ' � x1 x2 ' 3m 2 Do yêu cầu toán � 3.2 2 3m 3m m �0 � m2 � 4m 3m � � � m �1 � m (l ) � 16) a) Khi m ta có phương trình: x x � x x x � x x 1 x 1 x 1 � � x 1 x 3 � � Phương trình có tập nghiệm là: S 1;3 x3 � 2 b) Ta có ' m m m 1 m 98 Để phương trình bậc hai cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' �x1 x2 2m � m � m Khi theo hệ thức Viet ta có: � �x1 x2 m m 2 Theo ra: x1 x2 x1 x2 � x1 x2 x1 x2 x1 x2 � x1 x2 x1 x2 � 4m2 m m 1 m 1 � � m2 5m � m 1 m � � m4 � Đối chiếu điều kiện m ta có m thỏa mãn tốn 17) a) Khi m phương trình thành: x x có ' 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2 5; x2 2 1 4 2 b) Ta có: ' 2m 2m 2m 2m 2m 2m 2 �2 m 0 2 � � � 1� � 1� (vô 2� m � � m ��0 , m Nếu ' � � 2� � 2� � � m � nghiệm) Do ' 0, m Vậy phương trình ln có hai nghiêm phân biệt với m 18) x2 � a) Với m , ta có phương tình: x x � � x4 � b) Xét phương trình (1) ta có: ' m 1 m 2m Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ۳ m Theo hệ thức Viet: �x1 x2 m 1 � 2 Theo giả thiết: x1 x1 x2 x2 �3m 16 � �x1 x2 m � x12 x1 x2 x2 �3m 16 � x12 x22 x1 x2 �3m 16 � x1 x2 x1 x2 �3m2 16 � m 1 m �3m 16 ۣ 8m 16 99 m Vậy �m �2 19) 1) Đường thẳng d qua điểm A 1; nên có: m.1 � m 2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d P : x mx Có m 12 , nên d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 � m2 � m � � m 12 � m2 12 m 2 � Áp dụng hệ thức �x1 x2 m Viet ta có: � Theo ta có: �x1 x2 x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 x1 x2 2 � m 4.3 � m 16 � m �4 (TM) Vậy m �4 giá trị cần tìm 20) 1) Thay m vào phương trình ta có: x x Có 12 4.1.1 Vậy phương trình có nghiệm: 1 1 ; x2 2 2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: x1 m 5 � m 21 Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 1 (1); x1 x2 m (2) Xét: m x1 m x2 x12 x22 10 m x1 m x2 10 � x2 x1 x1 x2 m x1 x2 x1 x2 � x1 x2 10 x1 x2 1 m m 10 3m 17 10 Thay (1),(2) vào ta có: � m5 m 5 � m 1 (thỏa mãn).Vậy với m 1 tốn thỏa mãn 21) 1) Phương trình có nghiệm x � 32 2.3 m � m � m 6 100 Ta có: x1 x2 � x2 � x2 1 Vậy nghiệm lại x 1 2) ' m 3 m Để phương trình có hai nghiệm � m �0 � m 2 3 8 x1 x2 3x1 x2 � Khi đó: x1 x2 � x1 x2 � � � 2 m 3 � Áp dụng hệ thức Viet ta được: � � � � 3m � 6m 18 � 6m 18 � m 3 (thỏa mãn) Vậy m 3 giá trị cần tìm 22) a) Phương trình: x m 1 x 4m (1) có ' m 1 4m m 2m 4m m 2m 1 m 1 với m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: S x1 x2 2m � m P x1 x2 4m � m S 2 (2) P3 S 2 P3 � � 2S P 4 � 2S P � x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 23) Phương trình x m 1 x 2m 2m Có ' m 1 2m2 2m m 2m 2m 2m m Phương trình có nghiệm phân biệt m �0 Theo định lý Vi et ta có: � �x1 x2 2 m 1 � x12 x2 12 � x1 x2 x1 x2 12 � �x1.x2 2m 2m 1 2 Hay m 1 2m 2m 1 � m 24) 101 �y x � a) Xét hệ phương trình: � 2 m 1 �y 3 � � �y x �� 3x m 1 x 10 1 � (1) Có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt m nên P d cắt hai điểm phân biệt với m � 2 m 1 � 3 x1 x2 x1 x2 � m 1 � � �� b) Theo hệ thức Viet: � �x x � x1 x2 1 � �1 3 2 Ta có: f x1 f x2 x1 x2 m 1 x1 x2 x1 x2 � f x1 f x2 x13 x23 x1 x2 x12 x22 x1 x2 x13 x23 3x1 x2 x2 x1 x1 x2 x13 x23 x1 x2 x1 x2 x13 x23 3x1 x2 x1 x2 � x1 x2 x12 x22 2x1 x2 � � � x1 x2 Nên f x1 f x2 1 x1 x2 102 ... đoạn AB a b a b2 hay AB a b2 2ab a b 2a 2b Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có a b 2 a 2b ab , a b �2a 2b Ta có: AB � ab 2a 2b 2a 2b Vậy AB ngắn a b ,... � x2 � 2 � 3) Ta có: 4 .2 � Phương trình có hai � 2 2 x1 2 � � nghiệm phân biệt là: , � 2 2 � x 2 49 4) 2m 1 m m � 2m... �� 2 � a �� � a 3a 1 �0 � hàm số f t nghịch biến Suy f t �f � � � � � �� � � Đẳng thức xảy a b c Vấn đề 2: HÀM SỐ BẬC HAI Kiến thức cần nhớ Hàm số y ax a �0 : Hàm