Chuyên đề: GTLN và GTNN ôn thi vào 10 Tài liệu được sưu tầm và biên soạn từ các đề thi vào 10 trong toàn quốc tài liệu giải chi tiết và phân loại rõ ràng các dạng toán từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tap
MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM GTLN>NN CỦA BIỂU THỨC I Phần I: KIẾN THỨC CẦN NẮM GTLN biểu thức A: ≤ - Chứng minh A M ( M số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi M GTLN A, ta kí hiệu maxA = M GTNN biểu thức A: ≥ - Chứng minh A m ( m số) - Chỉ trường hợp đẳng thức xảy - Khi m GTNN A, ta kí hiệu minA = m Bất đẳng thức Côsi : a) Bất đẳng thức Côsi cho số không âm: - Với hai số a, b không âm, ta ln có: a + b - Đẳng thức xảy a = b b) Bất đẳng thức Côsi cho số không âm: ≥ - Với số a, b, c không âm, ta ln có: a + b + c - Đẳng thức xảy a = b = c Bất đẳng thức Bunhiacopxki: - Với số a, b, c, d bất kì, ta ln có: (ab + cd) - Đẳng thức xảy ad = bc ≤ ab ≥ 3 abc (a2 + c2) (b2 + d2) ≠ a c = b d Chú ý: Nếu b, d đẳng thức xảy 5.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a + b ≥ a+b ≥ , với a,b Đẳng thức xảy ab a ≥a ≥ , với a Đẳng thức xảy a a ≥0 , với a Đẳng thức xảy a = Một số kết quả: - Nếu số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số ≠0 - Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a + Nếu a > f(x) có GTNN khơng có GTLN + Nếu a < f(x) có GTLN khơng có GTNN - Nếu y = m + A2 y = m A = - Nếu y = m – A2 max y = m A = A - Nếu y = m + y = m A = A - Nếu y = m – - Nếu y = m + max y = m A = A y = m A = A - Nếu y = m – max y = m A = II Phần II: MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC 1.Dạng 1: GTLN GTNN tam thức bậc hai số đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x – 4x – 2013 b) B = 3x + 5x + 4 c) C = x – 4x – 12 d) D = 4x – x + Giải: a) ≥ A = (x – 2)2 – 2017 – 2017, với x Vậy GTNN A –2017 x = 2 b) B=3 5 23 23 ≥ x+ + 12 12 , với x Vậy GTNN B c) C = (x2 – 2) – 16 ≥ 23 12 − x = – 16, với x Đẳng thức xảy x2 = ⇔ x= ± 2 Vậy GTNN C – 16 x = ± 2 d) D=4 79 79 1 ≥ x − + 16 16 , với x Đẳng thức xảy x3 = 79 16 Vậy GTNN D x = Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: a) A = (x + 1)4 – 2(x + 1)2 + b) B = 2(x – 2) – 3x + 12x – a) A= [( x + 1) ] ⇔ 79 16 x= Giải: −1 + ≥ , với x x = ⇔ x = −2 b) Đẳng thức xảy (x + 1) – = Vậy GTNN A x = x = – B = 2(x – 2)4 – 3(x – 2)2 + 11 =2 3 79 79 ( x − 2) − + ≥ , với x Đẳng thức xảy (x –2) – 79 ± Vậy GTNN B x = Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – x + 2x + b) B = – 3x – 8x c) C = 4x – x – =0 x = + ⇔ x = − 3 Giải: a) ≤ A = – (x – 1) 5, với x Vậy GTLN A x = b) B= 169 3 169 − 8 x + ≤ 32 16 32 Vậy GTLN B c) , với x 169 32 ≤ − x = 16 C = – – (x2 – 2) – 2, với x Vậy GTLN C – x = Ví dụ 4: Tìm GTLN biểu thức: a) A = (x + 1)3 – x(x2 – 3) – 5(x – 1)2 b) B = – (x + 2)4 + 3(x – 1)2 + x(x + 22) – Giải: a) A = –2x + 16x – = 28 – 2(x – 4)2 b) ≤ 28,với x Vậy GTLN A 28 x = B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – = – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18 = – 14 – [ ( x + 2) ] − 2 ≤ −14 Đẳng thức xảy (x + 2) – = Vậy GTLN B – 14 x = – + x = −2 + ⇔ x = −2 − x = – – Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) b) B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16) c) C = (x2 + x + 1)2 d) D = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 2021 Giải: a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = [ x(x – 7)] [ (x – 3)(x – 4)] = (x2 – 7x )(x2 – 7x + 12) = y(y + 12), với y = x2 – 7x ≥ = (y + 6)2 – 36 – 36 Đẳng thức xảy y + = ⇔ ⇔ x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = ⇔ x = b) Vậy GTNN A – 36 x = x = B = (x2 – 1)(3x – 10)( 3x – 16) = [(x – 1)(3x – 10)] [(x + 1)( 3x – 16)] = ( 3x2 – 13x + 10)(3x2 – 13x – 16) = [(3x2 – 13x – 3) + 13] [ (3x2 – 13x – 3) – 13] ≥ = (3x2 – 13x – 3) – 132 – 169, với x Đẳng thức xảy 3x2 – 13x – = ⇔ x2 − 13 x −1 = 13 205 ⇔ x− = 6 36 13 205 x − = 6 ⇔ 13 205 x − = − 6 ⇔x= 13 ± 205 Vậy GTNN B – 169 x = c) ≥ Nhận xét: Với A A2 nhỏ ⇔ 13 ± 205 A nhỏ x2 + x + = ⇒ 1 3 x + + ≥ 2 4 (x2 + x + 1)2 Hay C ≥ 16 , với x , với x ≥ 16 16 d) Vậy GTNN C x = D = x – 6x + 13x – 12x + 2021 − ≥ = (x2 – 3x + 2)2 + 2017 2017 , với x Đẳng thức xảy x2 – 3x + 2= ⇔ (x – 2)(x – 1) = x = ⇔ x = Vậy GTNN D 2017 x = x = Ví dụ 6: Tìm GTLN biểu thức: a) A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) b) B = + 4x + 3x2 – 2x3 – x4 a) Giải: A = (x – 3x + 1)[ 22 – (x – 3x + 1)] = y( 22 – y) , với y = x2 – 3x + 2 ≤ = 121 – (y – 11)2 121 Đẳng thức xảy y – 11 = ⇔ ⇔ x2 – 3x – 10 = (x + 2)(x – 5) = x = −2 ⇔ x = b) Vậy GTLN A 121 x = – x = B = + 4x + 3x2 – 2x3 – x4 = – (x4 + x2 + + 2x3 – 4x2 – 4x) ≤ = – (x2 + x – 2)2 5, với x Đẳng thức xảy x2 + x – 2= ⇔ (x + 2)(x – 1) = x = −2 ⇔ x = Vậy GTLN B x = – x = 2.Dạng 2: GTLN GTNN biểu thức nghịch đảo tam thức bậc hai Chú ý: Với A > thì: + A nhỏ A ⇔ A lớn ⇔ + lớn A nhỏ Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức: x − 12 x + 2017 a) b) A= B= x + 12 x + 17 x + 4x + Giải: a) ≥ 3x2 – 12x + 2017 = 3(x – 2)2 + 2005 2005, với x 1 ≤ ⇒ 3x − 12 x + 2017 2005 Vậy GTLN A x + 12 x + 17 x + 4x + 2005 b) B= x = 2 x + 4x + =3+ ≥ x2 + 4x + = (x + 2)2 + 1 ⇒ x + 4x + ≤ 2 ⇒ x + 4x + ≤ 2 x + 4x + ≤ ⇒ 3+ Vậy GTLN B x = – − 3x + x − Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A = Giải: − 3x + x − A= −1 3x − x + = 3x2 – 4x + = 2 5 x − + ≥ 3 3 ⇒ 3x − x + ≤ −1 ≥− ⇒ x + 4x + 5 − Vậy GTNN B x = 3.Dạng 3: GTLN GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: x −1 + a) A=3 2017 x +1 + y − − b) B= 3x − c) C = (3x – 1) – +5 Giải: x −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ a) ⇔ x − + 2017 ≥ 2017 Vậy GTNN A 2017 x = x +1 ≥ b) y−2 ≥0 ⇒ x +1 + y − ≥ ⇒ x + + y − − ≥ −4 Vậy GTNN B – x = – y = 3x − c) C = (3x – 1) – 3x − = = +5 3x − –4 ( 3x − − 2) +5 +1 ≥ Đẳng thức xảy , với x ⇔ 3x − − =0 ⇔ 3x − = 3x − = ⇔ 3x − = −2 x = ⇔ x = − − Vậy GTNN C x = x = x−2 + x−5 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: A = Giải: Cách 1: x − + − x ≥ ( x − 2) + ( − x ) x−2 + x−5 Ta có: A = ⇒ = , với x ≥ A Đẳng thức xảy ⇔ ≥ (x – 2)(5 – x) x − ≥ 5 − x ≥ ⇔ ⇔ x − ≤ 5 − x ≤ x ≥ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ x ≤ x ≥ Vậy GTNN A Cách 2: x−2 + x−5 A= 2≤ x≤5 x−2 + 5− x = x−2 ≥ x−2 5− x ≥ 5− x ⇒ x−2 + 5− x ≥ x−2+5− x ⇒ x−2 + 5− x ≥ Đẳng thức xảy x − ≥ ⇔ ⇔2≤ x≤5 5 − x ≥ Vậy GTNN A 2≤ x≤5 x−2 + x−5 **Chú ý: Nếu biến đổi A = 2− x + x−5 = khơng tìm GTNN Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức: x −1 + x − + x − + x − a) A= 2x − + 2x − + 2x − + 2x − b) B= 10 Khi : A = y2 1 1 − 10 = y − 10 y = −10 y − + ≤ 20 40 40 y Đẳng thức xảy ⇔ y= 20 1 = ⇔ x + 10 20 ⇔ x = 10 Vậy GTLN A 40 x = 10 **Chú ý: Nếu mẫu bình phương nhị thức ax + b đặt y = ax + b x + x +1 ( x + 1) 2 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức: B= Giải: Cách 1: Nhận thấy mẫu bình phương nhị thức bậc x + Đặt y = B= x +1 ( x + 1) − ( x + 1) + ( x + 1) 1− 1 + x + ( x + 1) = = – y + y2 = 1 3 y− + ≥ 2 4 ⇔y= Đẳng thức xảy ⇔ x =1 18 Vậy GTNN B Cách 2: x + x + 3( x + 1) + ( x − 1) ( x − 1) = = + ≥ 2 4( x + 1) 4( x + 1) 4( x + 1) B= x = Vậy GTNN B x = 3x − x + x − 2x + Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức: C= Giải: Cách 1: Nhận thấy mẫu bình phương nhị thức bậc x – Đặt y = x −1 3( x − 1) − 2( x − 1) + ( x − 1) C= 3− + x − ( x − 1) = = – 2y + y2 = (y – 1)2 + ≥ ⇔ y =1 ⇔ x = Đẳng thức xảy Vậy GTNN C x = Cách 2: 2( x − x + 1) + ( x − x + 4) 2( x − 1) + ( x − ) ( x − 2) ≥ = = 2+ 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) 2 2 C= Vậy GTNN C x = Cách 3: ĐK: C= x ≠1 3x − x + x − 2x + 19 ⇔ Cx − 2Cx + C = 3x − x + ⇔ ( C − 3) x + 2( − C ) x + C − = ( *) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình (*) ⇔x= C = 3: (*) • C • ≠ 3: Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆'≥ ⇔ ( − C ) − ( C − 3)( C − 6) ≥ ⇔C−2≥0 ⇔C≥2 Đẳng thức xảy – x2 + 4x – = Tóm lại GTNN C x = Ví dụ 4: Tìm GTNN GTLN biểu thức: Giải: Cách 1: (x ) ( ) D= ⇔ x=2 − 4x x2 +1 − x + − x + ( x − 2) = − ≥ −1 x2 +1 x +1 2 D= Do GTNN D – x =2 (4x D= ( x + 1) ≤ + 4) − ( x + x + 1) = 4− 2 x +1 x +1 − Do GTLN D x = Cách 2: Ta có: D = − 4x ⇔ Dx + x + D − = x +1 ⇔x= • D = 0: (*) • D ≠ 0: (*) có nghiệm ( *) (1) ⇔ ∆'≥ 20 ⇔ D − 3D − ≤ ⇔ ( D + 1)( D − ) ≤ ( 2) ⇔ −1 ≤ D ≤ Kết hợp (1) (2), ta : −1 ≤ D ≤ GTNN D – – x + 4x – = GTLN D 4x2 + 4x + = Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức: E= Giải: ⇔ ⇔ x=2 − x= x + x + x + 16 x − x + x − x + 16 Ta có: E = = = x + x + x + 16 x − x + x − x + 16 ( x + 2) ( x − x + ) (x )( + x − 2x + ( x + 2) ) x2 + ≥0 Vậy GTNN E x = – Dạng 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức cách sử dụng miền giá trị Ví dụ 1: Tìm GTNN GTLN biểu thức: A = Giải: x2 − x +1 x2 + x +1 x2 + x + = A= ⇔ 1 3 x+ + ≥ 2 4 , với x x2 − x +1 x2 + x +1 (A – 1)x2 + (A + 1)x + A – = (*) 21 • A = 1: (*) • A ⇔ ≠ ⇔ x=0 : Phương trình (*) có nghiệm khi: ∆≥0 (A + 1)2 GTNN D – – x2 + 4x – = – 4(A – 1)2 ⇔ ⇔ ⇔ x=2 ≥0 (3A – 1)(A – 3) ≤ A≤3 (A ≠ ≤0 1) Kết hợp hai trường hợp ta ≤ A≤3 GTLN A 2x + 4x + = − − ⇔ x=–1 ⇔ GTNN A x2 + x =0 x=1 Dạng 7: Tìm GTLN GTNN biểu thức cách áp dụng bất đẳng thức Cơsi 1: Tìm GTNN biểu thức: Ví dụ ,x>0 4x b) B = x + ,x > x−2 a) A = x + Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x, x+ 4x ta được: 1 ≥ x 4x 4x ⇔ x+ ≥1 4x Đẳng thức xảy ⇔ x= 4x 22 ⇔ ⇒ x2 = x= (vì x > 0) Vậy GTNN A x = ( x − 2) + b) B= +2 x−2 Vì x > nên x – > x−2 >0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x – , ( x − 2) + ⇔ ( x − 2) + ⇔ x+ ≥2 x−2 ( x − 2) x−2 ta được: x−2 ≥2 x−2 ≥4 x−2 x−2 ⇔ x−2= Đẳng thức xảy ⇔ ( x − 2) = x − = −1 ⇔ x − = x = ( loai ) ⇔ x = Ví dụ Vậy GTNN B x = 2: Tìm GTNN biểu thức: x + 2x + 2 a) C = x2 + 2x + 23 b) D = 2x + (x a) ( x − 1) , với x > Giải: ) + 2x + + C= −2 x + 2x + 2 ≥ x2 + 2x + = (x + 1)2 +1 > 0, với x x + 2x + 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x2 + 2x + , (x (x ⇔ 2 ) + 2x + + ) + 2x + + ( ta được: ) 4 ≥ x + 2x + x + 2x + x + 2x + 2 ≥ x + 2x + 2 x + 2x + ≥ ⇔ x + 2x + ⇔ x + 2x + = Đẳng thức xảy ( ⇔ x + 2x + ) x + 2x + 2 =4 ⇔ x2 + 2x + = (vì x2 +2x + > 0) ⇔ x + 2x = x = ⇔ x = −2 Vậy GTNN C x = x = - ( x − 1) + ( x − 1) + b) +2 ( x − 1) D= Vì x > nên x – > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x – 1, x – ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) ≥ 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ta được: ( x − 1) 24 ⇔ ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) + 2x + ( x − 1) ≥3 ≥5 ( x − 1) ⇔ x −1 = x −1 = Đẳng thức xảy ( x − 1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x −1 = ⇔x=2 Vậy GTNN D x = Ví dụ 3: Cho a, b, c số dương cho abc = Tìm GTNN biểu thức: E = (1 + a)(1 + b)(1 + c) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1+a 1+b 1+c ≥2 a ≥2 b ≥2 c Suy ra: (1 + a)(1 + b)(1 + c) ⇔ ≥ abc ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c) (vì abc = 1) Đẳng thức xảy khi: 1 = a 1 = b ⇔ a = b = c =1 1 = c abc = Vậy GTNN E a = b = c = Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương Tìm GTNN biểu thức: F= a b c + + b+c c+a a+b Giải: 25 F = = a b c + 1 + + 1 + + 1 − b+c c+a a +b a+b+c a+b+c a+b+c + + −3 b+c c+a a+b ( a + b + c ) 1 + + −3 a+b b+c c+a = Vì a, b, c > nên a + b, b + c, c + a dương Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) • ⇔ a+b+c ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) 1 1 1 1 + + ≥ 33 ⇔ + + ≥ a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a 3 ( a + b )( b + c )( c + a ) • Suy ra: ( a + b + c ) 1 + + ≥ a+b b+c c+a ⇔ ⇔ ( a + b + c ) 1 + + −3 ≥ a+b b+c c+a ≥ F Đẳng thức xảy khi: a + b = b + c = c + a 1 ⇔a=b=c>0 = = a + b b + c c + a Vậy GTNN F a = b = c > Ví dụ 5: Cho a, b, c số dương cho a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: G = abc(a + b)(b + c)(c + a) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 26 ≥ abc ⇔ ≥ abc • a+b+c ⇔ abc ≤ 27 (1) ≥ ( a + b )( b + c )( c + a ) • (a +b) + (b + c) + (c + a) ⇔ 2( a + b + c ) ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ ≥ 33 ( a + b )( b + c )( c + a ) ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ 27 ( 2) Từ (1) (2) , suy ra: ≤ abc(a + b)(b + c)(c + a) ⇔ ≤ 27 27 729 G Đẳng thức xảy khi: a = b = c a + b = b + c = c + a ⇔ a = b = c = a + b + c = 729 Vậy GTLN G a = b = c = Ví dụ 6: Tìm GTLN biểu thức: a) b) c) H = (x + 1)(5 – x), với I = (2x – 1)(3 – x), với K = (2 – x)(x+ 1) , với −1 ≤ x ≤ ≤ x≤3 −1 ≤ x ≤ Giải: a) −1 ≤ x ≤ x + ≥ 5 − x ≥ Vì nên Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm x +1 – x ta được: ≥2 (x + 1) + ( – x) ( x + 1)( − x ) 27 ⇔6≥2 ⇔3≥ ( x + 1)( − x ) ( x + 1)( − x ) ⇔ ( x + 1)( − x ) ≤ Đẳng thức xảy ⇔ x +1 = − x ⇔ x = (thoả) Vậy GTLN H x = Cách khác: (Áp dụng hệ bất đẳng thức Côsi) Hai số không âm x + – x có tổng khơng đổi (bằng 6) nên tích chúng lớn số nhau, tức là: x + = – x ⇔ x = (thoả) Thay x = vào biểu thức H ta H = Vậy GTLN H x = b) 2 x − ≥ 2 x − ≥ ⇔ 3 − x ≥ 6 − x ≥ ≤ x≤3 Vì nên Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số không âm 2x – – 2x ta được: (2x – 1) + ( – 2x) ≥ ( x − 1)( − x ) ⇔ ≥ 2( x − 1)( − x ) ⇔ ( x − 1)( − x ) ≤ 25 Đẳng thức xảy ⇔ 2x − = − 2x ⇔ x= Vậy GTLN I c) Vì −1 ≤ x ≤ nên 25 (thoả) x = x + ≥ 2 − x ≥ 28 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm – x, ( − x) + x + + x + ⇔ ⇔ ≥3 3 ≥ 33 ( − x ) x +1 x +1 2 , ta được: x +1 x +1 2 ( − x )( x + 1) ( − x )( x + 1) ≥ ⇔ ( − x )( x + 1) ≤ ⇔ 2− x = x +1 x +1 = 2 ⇔ 2− x = x +1 Đẳng thức xảy ⇔ x = (thoả) Vậy GTLN K x = 8.Dạng : Tìm GTLN GTNN biểu thức cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A = x + 2y Giải: x + 2y = x + 2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số x , 2y , 1, ta được: (x + 2y 1)2 ≤ (x2 +4y2)(12 + 12) ⇔ ( x + y ) ≤ 25.2 ⇔ ( x + y ) ≤ 50 ⇔ x + 2y ≤ ⇔ −5 ≤ x + y ≤ 29 −5 GTNN A khi: x 2y 1 = x = − x + y = −5 ⇔ x + y = 25 y = − x 2y 1 = x = x + y = ⇔ x + y = 25 y = GTLN A khi: Ví dụ 2: Cho a, b thoả mãn 2a + 3b = Tìm GTNN biểu thức: B = 2a2 + 3b2 Giải: 2a + 3b = a 2 +b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số a (a +b 3 ( )2 ≤a ,b ) + (b ) ( ) + ( ) 2 , , ta được: ⇔ ( 2a + 3b ) ≤ ( 2a + 3b )( + 3) ⇔ 25 ≤ ( 2a + 3b ) ⇔ 2a + 3b ≥ a b = ⇔ ⇔ a = b =1 2a + 3b = Đẳng thức xảy Vậy GTNN B a = b = Cách khác: ⇔b= Ta có: 2a + 3b = B = 2a2 + − 2a = − 2a , đó: 10a − 20a + 25 10 = ( a − 1) + ≥ 3 30 Vậy GTNN B a = b = Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức: C = Giải: 4− x + x−2 2≤x≤4 , với − x + x − = − x + x − Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ( − x + x − ⇔ ( 4−x + x−2 ) ) ( ≤ ( − x + x − 2) 12 + 11 4− x ) x−2 , , 1, ta được: ≤4 4− x + x−2 ≤ ⇔ 4− x x−2 − x = = ⇔ ⇔ ⇔ x=3 x − = 4− x + x−2 = Đẳng thức xảy Vậy GTLN C x = Ví dụ 4: Cho a, b, c số dương cho a + b + c = Tìm GTLN biểu thức: 4a + + 4b + + 4c + D= Giải: 4a + + 4b + + 4c + ( 4a + + 4b + + 4c + = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số được: ) 4a + , 4b + , 4c + , 1, 1, ta 4a + + 4b + + 4c + ≤ ( 4a + + 4b + + 4c + 1)(1 + + 1) ⇔ ( 4a + + 4b + + 4c + ≤ [ 4( a + b + c ) + 3] ⇔ ( 4a + + 4b + + 4c + ≤ 45 ⇔ ) ) 2 ( a + b +c = 3) 4a + + 4b + + 4c + ≤ 31 Đẳng thức xảy 4a + 4b + 4c + = = ⇔ ⇔ a = b = c =1 1 4a + + 4b + + 4c + = Vậy GTLN D a = b = c = …………………………………………… 32 ... y = m A = II Phần II: MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC 1.Dạng 1: GTLN GTNN tam thức bậc hai số đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x – 4x – 2013 b) B = 3x + 5x +... x +1 Đẳng thức xảy ⇔ x = (thoả) Vậy GTLN K x = 8.Dạng : Tìm GTLN GTNN biểu thức cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A =... x + ) (x )( + x − 2x + ( x + 2) ) x2 + ≥0 Vậy GTNN E x = – Dạng 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức cách sử dụng miền giá trị Ví dụ 1: Tìm GTNN GTLN biểu thức: A = Giải: x2 − x +1 x2 + x +1 x2 + x + =