Chuyên đề GTLL và GTNN của rút gọn biểu thức

Chuyên đề: GTLN và GTNN ôn thi vào 10 Tài liệu được sưu tầm và biên soạn từ các đề thi vào 10 trong toàn quốc tài liệu giải chi tiết và phân loại rõ ràng các dạng toán từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tap

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTLN&GTNN CỦA BIỂU THỨC

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó M là GTLN của A, ta còn kí hiệu maxA = M

2 GTNN của biểu thức A:

- Chứng minh A ≥

m ( m là một hằng số)

- Chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra

- Khi đó m là GTNN của A, ta còn kí hiệu minA = m

3 Bất đẳng thức Côsi :

a) Bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm:

- Với hai số a, b không âm, ta luôn có: a + b ≥

2 ab

- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

b) Bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:

- Với 3 số a, b, c không âm, ta luôn có: a + b + c ≥

a =

5.Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

-

b a

- Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Đối với tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a ≠0

+ Nếu a > 0 thì f(x) có GTNN nhưng không có GTLN

+ Nếu a < 0 thì f(x) có GTLN nhưng không có GTNN

- Nếu y = m + A2 thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A2 thì max y = m khi A = 0

- Nếu y = m + A thì min y = m khi A = 0

- Nếu y = m – A thì max y = m khi A = 0

II Phần II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC

1.Dạng 1: GTLN và GTNN của một tam thức bậc hai và một số đa thức bậc cao.

23 12

23 6

23

khi x = 6

5

−

c) C = (x2 – 2) 2 – 16 ≥

– 16, với mọi xĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 = 2 ⇔

x = ± 2

Vậy GTNN của C bằng – 16 khi x = ± 2

79 16

79 8

Vậy GTNN của A bằng 4 khi x = 0 hoặc x = – 2

79 4

3 2

2 2

≥ +

3 2

x x

a) A = 5 – (x – 1) 2 ≤

5, với mọi xVậy GTLN của A bằng 5 khi x = 1

169 16

3 8

169

khi x = 16

3

−

c) C = – 2 – (x2 – 2) 2 ≤

– 2, với mọi xVậy GTLN của C bằng – 2 khi x = 2

2 2

x x

Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + 2 hoặc x = – 2 – 2

Vậy GTNN của A bằng – 36 khi x = 1 hoặc x = 6

13

6

205 6

13

36

205 6

13

0 1 3 13

2 2

x

x

x

x x

x2 + x + 1 = 4

3 4

3 2

Vậy GTNN của D bằng 2017 khi x = 2 hoặc x = 1

Vậy GTLN của A bằng 121 khi x = – 2 hoặc x = 5

b) B = 1 + 4x + 3x2 – 2x3 – x4

= 5 – (x4 + x2 + 4 + 2x3 – 4x2 – 4x)

= 5 – (x2 + x – 2)2 ≤

5, với mọi xĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 + x – 2= 0

Vậy GTLN của B bằng 5 khi x = – 2 hoặc x = 1

2.Dạng 2: GTLN và GTNN của biểu thức là nghịch đảo của tam thức bậc hai.

2

2 + +

+ +

x x

x x

2

2

+ +

+ +

x x

x x

3x2 – 4x + 3 = 3 3

5 3

5 3

1 ≥ ⇔ − ≥

x

2017 2017

(x – 2)(5 – x) ≥

0

5 2

5 2 5 2

0 5

0 2

0 5

0 2

x x x x

Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2≤x≤5

2

5 2 5

2

≥

− +

−

⇒

− +

−

≥

− +

−

⇒

x x

x x

x x

Đẳng thức xảy ra

5 2

0 5

0 2

Vậy GTNN của A bằng 3 khi 2≤x≤5

2x− + x− + x− + x−

0 4

0 1

x

•

=

− +

0 3

0 2

x

Từ (1)và (2), suy ra : A ≥4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 2

3 2

4 1

3 ≤x≤

Ví dụ 4: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A =

9 7

=

− +

0 9

0 1

Vậy GTNN của A bằng 8 khi

7 7

9 1

0 3 5

0 3 3

x x

Vậy GTNN của C bằng 8 khi

1 1

3

5 1

x

Ví dụ 5: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 –

x

5 4 7

b) B =

10 2

2 3

5 2 3

−

≤ +

−

⇒

x x

x x

⇒− x−3− x+2+10≤5

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 2

0 2

0 3

≥

−

x x

2 + − + −

44 6 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

4 4

0 2

0 6

x x

Vậy GTLN của C bằng – 4 khi x = 4

0 5

0 3

≥

−

x x

1 + + + −

x

=

1 1

1 1 1

1 1

0

1 1

1

1 0

1 1

0 1

−

≥ +

x x

x x

x x

x

Vậy GTNN của A bằng 2 khi −1≤x≤0

Ví dụ 8: Tìm GTNN của biểu thức: A =

2017

3 2

1 2017

A≥

0 + 2 + 4 + 6 + … + 2016

A ≥

1017072

Vậy GTNN của A bằng 1017072 khi x = 1009

4 Dạng 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng phương pháp tổng bình

phương.

• A2 + B2 + m ≥

m, đẳng thức xảy ra ⇔

A = B = 0

−

2

1 0

2

0 1

y

x y

2 1 2 1 0

1 2

0

x

y x

y x

Vậy GTNN của B bằng 6 khi x = 2

1

0 2

0 2

y

x y

x

y x

Vậy GTNN của C bằng 3 khi x = 2 và y = 1

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 19

Giải:

A = (x4 – 6x3 + 9x2) + (x2 – 6x + 9) + 10

= (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 + 10 ≥

10

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 3

3

0 0

3

0 3

x x

x x

Vậy GTNN của A bằng 10 khi x = 3

1

0 1

y

x y

1

0 1

x

Vậy GTLN của B bằng 10 khi x = 1

5.Dạng 5: Tìm GTLN và GTNN của một phân thức hữu tỉ.

Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: A = 20 100

2 + x+

x x

Khi đó : A = y2

40

1 40

1 20

1 10

10 10

≤ +

1

= +

x

⇔

x = 10Vậy GTLN của A bằng 40

x

x x

+

+ +

− +

x

x x

= ( )2

1

1 1

1 1

+

+ +

−

x x

= 1 – y + y2

3 4

3 2

1 4

3 1

4

1 1

3 1

4

4 4 4

2

2 2

2 2

2

2

≥ +

− +

= +

− + +

= +

+ +

x

x x

x x

x

x x

2

2 +

−

+

−

x x

x x

= ( )2

1

1 1

2 3

= 3 – 2y + y2

= (y – 1)2 + 2 ≥

2Đẳng thức xảy ra ⇔ y=1⇔ x=2

Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 2

1

2 1

2 1

4 4 1

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

≥

−

− +

=

−

− +

−

x

x x

x x

x

x x x

x x

( 3) 2(4 ) 6 0 ( )*

6 8 3 2

2

2 2

=

− +

− +

−

⇔

C x C x

C

x x C Cx Cx

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)

0 6 3

C C C

Đẳng thức xảy ra khi – x2 + 4x – 4 = 0 ⇔

x = 2Tóm lại GTNN của C bằng 2 khi x = 2

Ví dụ 4: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: D = 1

4 3

2 +

−

x x

1 4

4

2

2 2

2 2

−

≥

− +

−

= +

+

− +

−

x

x x

x x

1 4 4 4 4

2

2 2

2 2

≤ +

+

−

= +

+ +

− +

x

x x

x x x

( )2 4

1

0 4 1

0 4 3

D D

2 3 4

3 4

+

− +

−

+ + +

x x x x

x x x

Giải:

Ta có:

E =

16 8 8 2

16 8 2

2 3 4

3 4

+

− +

−

+ + +

x x x x

x x x

4 2 4

4 2 2

2

2

2 2

2 2

≥ +

+

=

+

− +

+

− +

=

x

x

x x x

x x x

Vậy GTNN của E bằng 0 khi x = – 2

6 Dạng 6: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức bằng cách sử dụng miền giá trị.

Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: A = 1

1

2

2 + +

+

−

x x

x x

Giải:

x2 + x + 1 = 4

3 4

3 2

+

−

x x

x x

⇔

(A – 1)x2 + (A + 1)x + A – 1 = 0 (*)

(3A – 1)(A – 3) ≤0

3 3

( A ≠

1) Kết hợp cả hai trường hợp ta được

3 3

1 ≤A≤

GTLN của A bằng 3 khi 2x2 + 4x + 2 = 0 ⇔

x = – 1GTNN của A bằng 3

1 )

0 , 4

1 )

>

− +

b

x x x A

1

≥

1 4

+

⇔

x x

1

x x

2

1 2

−

−

≥

− +

−

x

x x

−

x x

4 2

− +

⇔

x x

1 2

1 2

1 2

1

2 2

x

loai x

x x x

Vậy GTNN của B bằng 4 khi x = 3

4 2

+ + + + +

x x x

2 2

4 2

2

2

+ + +

+

≥ + + + + +

x x x x x

x x

x

+ + + + +

2 2

4 2

2

x x x

2

4 2

2

+ +

= + +

⇔

x x x

⇔

2 0

0 2

2

x x

x x

Vậy GTNN của C bằng 2 khi x = 0 hoặc x = - 2

b) D =

1

1 1

− +

− +

−

x x

1

1 1

− +

−

x x x x

x

x

⇔ ( ) ( ) ( ) 3

1

1 1

− +

− +

−

x x

Đẳng thức xảy ra ( )2

1

1 1 1

x

2

1 1

Vậy GTNN của D bằng 5 khi x = 2

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho abc = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

1 1

1 1

c b a

Vậy GTNN của E bằng 8 khi a = b = c = 1

Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương Tìm GTNN của biểu thức:

c a c

b c b

a

+

+ +

+ +

Giải:

F =

3 1 1

c

b c

+ + + +

+ + + +

+ +

b a

c b a a c

c b a c b

c b

+ + + +

a c c b b a c b

1 3 1 1

1

a c c b b a a c c b b a a c c b b a a

c c b b

+ + +

+

a c c b b a c b a

+ + + +

a c c b b a c b a

= +

+

= +

= +

c b a a c c b b a

a c c b b a

3 2

3 2

3

3

≤ + + +

⇔

+ + +

≥

⇔

+ + +

≥ + +

⇔

a c c b b a

a c c b b a

a c c b b a c

b a

Từ (1) và (2) , suy ra:

abc(a + b)(b + c)(c + a) 27

8 27

+

= +

= +

=

=

c b a c

b a

a c c b b a

c b a

0 5

0 1

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm x +1 và 5 – x ta được:

(x + 1) + ( 5 – x) ≥ 2 (x+ 1)(5 −x)

Cách khác: (Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Côsi)

Hai số không âm x + 1 và 5 – x có tổng không đổi (bằng 6) nên tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau, tức là: x + 1 = 5 – x

⇔

x = 2 (thoả)Thay x = 2 vào biểu thức H ta được H = 9

Vậy GTLN của H bằng 9 khi x = 2

b) Vì

3 2

0 1 2 0

3

0 1 2

x

x x

0 2

0 1

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm 2 – x, 2

1 2

x = 1 (thoả) Vậy GTLN của K bằng 4 khi x = 1

5

2 5 2

50 2

2 25 2

2 2

≤ +

≤

−

⇔

≤ +

⇔

≤ +

⇔

≤ +

⇔

y x

y x

y x

y x

= +

=

4

2 5 2

2 5

25 4

2 5 2 1

2 1

2

x y

x

y x

y x

GTLN của A bằng 5 2 khi và chỉ khi:

= +

=

4

2 5 2

2 5

25 4

2 5 2 1

2 1

2

x y

x

y x

y x

Ví dụ 2: Cho a, b thoả mãn 2a + 3b = 5 Tìm GTNN của biểu thức: B = 2a 2 + 3b 2

5 3 2 25

3 2 3 2 3

2

2 2

2 2

2 2 2

≥ +

≤ +

⇔

b a

b a

b a b

a

Đẳng thức xảy ra

1 5

3 2

3

3 2

=

b a

b a

Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1

25 20

10a2 − a+ = a− 2 + ≥

Vậy GTNN của B bằng 5 khi a = b = 1.

Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức: C = 4−x + x−2, với 2≤x≤4

Giải:

1 2 1

4 2

2

1 4

2 2 4

1

2 1

x

x x

Vậy GTLN của C bằng 2 khi x = 3

Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số dương sao cho a + b + c = 3 Tìm GTLN của biểu thức:

D = 4a+1+ 4b+1+ 4c+1

Giải:

1 4 1 4 1

4a+ + b+ + c+

= 4a+1.1+ 4b+1.1+ 4c+1.1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số 4a+1, 4b+1, 4c+1, 1, 1, 1 ta được:

Đẳng thức xảy ra

1 5

3 1 4 1 4 1 4

1

1 4 1

1 4 1

1 4

a

c b

a

Vậy GTLN của D bằng 3 5 khi a = b = c = 1

………