Các bài toán chứng minh

ii) Gọi p1, p2 phép chiếu tắc lên thành phần thứ      thành phần thứ hai khai triển: E  P  Q    P  Q   uuu r | p ( RS Khi đó, với RP, SQ d(P,Q) = ) | uuu r r r r r r r Thật vậy, p1 ( RS )  x  y; x �P, y �Q IP, JQ cho uur r uur r IR   x , JS  y , ta suy ur uur uuu r uu r r r uuu r r r uuu r uuu r r uuu IJ  IR  RS  SJ   x  RS  y  RS  ( x  y )  RS  p1 (RS) uuu r ur uuu r  RS  IJ  p1 (RS) uuu r ur  p2 (RS)  IJ ??? uuu r Nên d(P,Q)=d(I,J) | p2 ( RS ) | Định lý (về nhận biết phép dời) Ánh xạ f: E  E phép dời f bảo tồn khoảng cách điểm, tức với M,NE ta có : d (f (M ), f ( N)) d( M, N) Chứng minh () Do f phép dời, với  d ( f ( M ), f ( N )) | f ( M ) f ( N ) | | f ( MN ) || MN |d ( M , N ) M , N  E: tức f bảo tồn khoảng cách điểm M, N () Lấy điểm IE, gọi I’= f(I) Xét ánh xạ  : E n  E n xác định sau:  x  E , IE  ME : IM  x , đặt  ( x)  I ' f ( M )   Tương tự  y  E , IE  NE :  ( y ) I ' f ( N ) 2 Ta có: d ( M , N ) | MN |2 | IN  IM |2  IN  IM  IN IM (1) uuuuuuuu r2 uuuuuuuur uuuuuuuu r uuuuuuuur Và: d ( f (M ), f ( N ))2  I ' f ( N )  I ' f ( M )  I ' f ( N ).I ' f (M ) (2) Do d( f(M), f(N) ) = d(M,N), nên từ (1) (2) suy ra: uuuuuuuu r uuuuuuuur uur uuur I ' f ( N ).I ' f ( M )  IN IM hay u r r urr  ( y ). ( x)  y.x Vậy  ánh xạ bảo tồn tích vơ hướng,  phép biến đổi trực giao Ta có: ??? uuuu r uur uuur uur uuur uuuuuuuu r uuuuuuur uuuuuuuuuuuur  ( MN )   ( IN  IM )   ( IN )   ( IM )  I ' f ( N )  I ' f ( M )  f ( M ) f ( N ) Suy   f Vậy f phép dời f phép aphin có phép biến đổi trực giao Định lý (về nhận biết phép đồng dạng) Ánh xạ f: E  E phép đồng dạng tồn số m >0 cho: d( f(M), f(N) ) = m d(M,N) Chứng minh () Do f phép đồng dạng, với M,NE:  d ( f ( M ), f ( N )) | f ( M ) f ( N ) | | f ( MN ) |m | MN |m.d ( M , N ) () Lấy điểm IE, gọi I’= f(I) Xét ánh xạ  : E n  E n xác định sau:  x  E , IE  ME : IM  x , đặt  ( x)  I ' f ( M )   Tương tự  y  E , IE  NE :  ( y ) I ' f ( N ) 2 Ta có: d ( M , N ) | MN |2 | IN  IM |2  IN  IM  IN IM (1) uuuuuuuu r2 uuuuuuuur uuuuuuuu r uuuuuuuur Và: d ( f (M ), f ( N ))2  I ' f ( N )  I ' f (M )  I ' f ( N ).I ' f ( M ) (2) Do d( f(M), f(N) )2 = m2 d(M,N)2 nên từ (1) (2) suy ra: uuuuuuuu r uuuuuuuur uur uuur I ' f ( N ).I ' f ( M )  m IN IM hay u r r urr  ( y ). ( x)  m y.x Vậy  phép biến đổi đồng dạng Ta có: uuuu r uur uuur uur uuur uuuuuuuu r uuuuuuur uuuuuuuuuuuur  ( MN )   ( IN  IM )   ( IN )   ( IM )  I ' f ( N )  I ' f ( M )  f ( M ) f ( N ) Suy   f Vậy f phép đồng dạng f phép aphin có phép biến đổi đồng dạng Bài toán 2: Chứng minh rằng, hình bình hành ngoại tiếp elip đường chéo hình bình hành đường kính liên hợp elip Giải: Các khái niệm: hình bình hành, elip, đường kính liên hợp, đường chéo, tiếp tuyến khái niệm aphin Do tốn cho tốn aphin Ta chọn hình sở elip hình tương đương aphin đường tròn Bài tốn Euclide phát biểu sau: Chứng minh rằng, hình bình hành ngoại tiếp đường tròn đường chéo hình bình hành đường kính liên hợp đường tròn Ta có: Hình bình hành ngoại tiếp đường tròn trở thành hình thoi rõ ràng hai đường chéo hình thoi qua tâm đường tròn vng góc với nhau, nên chúng đường kính liên hợp Bài Giải bất phương trình: Giải Điều kiện: Xét véctơ: Ta có: x   x   50  3x 12 50 x   u  x  1, x  , 50  x   u v  x   x   50  x , Ta ln có    u v  u v (1) hay  , v 1, 1, 1   u  48 4 , v  x   x   50  3x 12 , x thỏa điều kiện tốn tức nên (1) ln 50 x  Bài Chứng minh rằng:  x, y, z ta có: x  xy  y  x  xz  z � y  yz  z (2) Giải Ta có: (2)  y 3y z 3z z 3z (x  )   (x  )   (y  )  4 y  a ( x  , y) 2 Xét:  z  b ( x  , z) 2   a  x  xy  y ,   b  x  xz  z   y z 3 a  b (  , y z) 2 2 Như (2’)  (2’)    a  b  y  yz  z     a  b a  b ; điều luôn nên (2) luôn Bài Giải phương trình: cosx + sinx = (3) Giải  r r Xét u  (cos x,sin x) � u  , v (1,1)   v rr Ta có: uv  cos x  sin x Mặt khác r r        uv  u v cos(u , v )  cos(u , v ) r r Vậy: (3)  cos(u , v )  � cos(u , v )  Vì r v  (1,1) r r  � (u , v )   nên x   2k V x  2k Bài Cho tứ diện SABC có cạnh SA, SB, SC, vng góc với đơi có SA = a, SB = 2a, SC = 2a Hãy tính góc hai măt phẳng (ABC) mặt phẳng (A’B’C’), biết rằng: 1 SA'  SA , SB '  SB , SC '  SC Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Giải Chọn hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz sau cho gốc O trùng với đỉnh S trục Ox, Oy, Oz chứa đỉnh A, B, C tứ diện.Khi đó, ta có: S(0,0,0), A(a, 0, 0), B(0, 2a, 0), C(0, 0, 2a), A' ( 2a a 2a ,0,0) , B ' (0, ,0) , A' (0,0, ) y x z   1  a 2a a Phương trình mặt phẳng (ABC) là: 2x + y + z - 2a = Phương trình mặt phẳng (A’B’C’) 3x y z   1  2a a 2a 3x + 4y + 5z - 2a = Mặt phẳng (ABC) có pháp véctơ  n (2,1,1) Mặt phẳng (A’B’C’) có pháp véctơ  n ' (3,4,5) Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (A’B’C’), ta có: cos   = cos(n, n ' )  2.3  1.4  1.5 11 15    16  25 10 Ta có SH  (ABC) nên SH nhận  n (2,1,1) Vậy  = 300 làm véctơ phương nên phương trình đường thẳng SH x = 2t, y = t, z = t Tọa độ giao điểm H xác định phương trình: a 2.2t + t + t - 2a =  t = , từ H( Ta có a a a HA ( , , ) ; BC (0, 2a, 2a ) nên HA.BC 0 3 2a a a , , ) 3 hay HA  BC, tương tự HB  AC Vậy H trực tâm tam giác ABC Bài Chứng minh rằng: Hợp hai phép đối xứng qua đường thẳng song song d1, d2 phép tịnh tiến theo véctơ  a 2AB , Ad1, B d2, AB  d2 Giải Chọn hệ toạ độ 0xyz cho  d1, 0x chứa d1 Khi phương trình d1 là: công thức phép đối xứng f1 qua d1 có  xx   y  y  z  z  Ta có phương trình d2  xx   y y  y  z z  2z   x t   y 0  z 0   x x  t   y y  z z  phép đối xứng f2 qua d2 Ta có: f2 o f1 có phương trình  x x   y  y  y  z  z  z  Đây phép tịnh tiến theo véctơ  a (0,  y0 ,  2z ) 2(0,  y0 ,  z )  2v, v (0,  y0 ,  z ) Ta có: d(d1, d2) = d(M0, d1) = 2 OM  e1  y  z  v (đpcm) Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh 1.CMR:  phép dời hình f không gian cho f(A) = D, f(B) = A, f(D) = C, f(A’) = D’ 2.Viết phương trình phép dời hình f hệ toạ độ {A, B, C, D} Giải Chọn hệ tọa độ Đềcac vng góc Oxyz cho O  A,    e1  AB, e  AD, e3  AA' Khi đó: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A’(0, 0, 1) 1.Ta có: DA (0, 1,0)  DA 1 , DC (1,0,0)  DC 1 , DD' (0,0,1)  DD' 1 Do tính chất cuả hình lập phương  DA  DC, DA  DD’, DC  DD’  { D, DA, DC, DD'} môt mục tiêu trực chuẩn Theo định lý xác định phép dời hình  phép dời hình f cho f(A) = D, f(B) = A, f(D) = C, f(A’) = D’ 2.Ta có:  DA  e2     DC e1    DD' e3  A = 0 1   1 0 0   Nên phương trình phép dời f là: y 0  x'     y '  x  z'  z 0  Do: A 1  f phép dời loại BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài1.Viết phương trình (n-m)-phẳng qua điểm cho trực giao với m-phẳng cho Bài Xây dựng cơng thức tính khoảng cách từ điểm siêu phẳng cho Bài Trong En (n 1) cho hai phẳng P Q chéo Chứng minh rằng: Trên P có điểm A Q có điểm B cho: d(A, B)  d(M, N) với M  P, N  Q tức d(A,B) = d(P,Q) Chứng minh đường thẳng AB trực giao với P Q Trong trường hợp đường thẳng AB nhất? Khi độ dài đoạn thẳng AB gọi khoảng cách từ P tới Q Ký hiệu: d(P, Q) Bài Trong En cho hai phẳng P Q phương trình tổng quát chúng mục tiêu trực chuẩn chọn Tìm điều kiện để: P bù trực giao với Q Bài Trong không gian Euclide E5 với mục tiêu trực chuẩn, cho đ A(1, 3,-1, 4, 5), B(3, 4, 0, 5, 6) Lập phương trình dạng tham số dạng tổng quát phẳ có số chiều bé cho P chứa A B, đồng thời véctơ  P  v =(0,1, 0, 0, 0) thuộc phư P Bài Trong không gian Euclide E5 với mục tiêu trực chuẩn, cho phẳn có phương trình:  x3  x     x  x  x  0   x  x  0   x1  x  0  x  0 phẳng Q có phương trình:  3x Hai phẳng P Q có trực giao với hay không? Bài 7.Trong E4 cho hai phẳng P Q có phương trình P:  x1  x  x3  0   x1  x  Q:  x1  x  x3  x  0   x3  x   Chứng tỏ P Q chéo Lập phương trình phẳng lớn qua E(1,-1,-1,1) song song với P Q 3.Tính khoảng cách P Q Bài Trong không gian Euclide E4, cho điểm A(1, 1,-1,-1)  x1  x  x3  x 1 x1  x  x3  x 2 Tính phẳng Q cho phương trình:  khoảng cách từ điểm A đến phẳng Q Bài Cho tam giác ABC điểm A’, B’, C’ nằm ba cạnh BC, CA, AB cho: (BCA’) = (CAB’) = (ABC’) = - Chứng minh rằng: Tam giác tạo ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ tam giac ABC có trọng tâm Bài 10 Cho tam giác ABC cạnh chia làm ba phần nối điểm chia với đỉnh đối diện với cạnh đó, ta sáu đường thẳng làm thành lục giác Chứng minh đường chéo hình lục giác đồng quy điểm Bài 11 Cho elip đường kính AB, đường thẳng d song song với phương liên hợp AB, điểm L cố định nằm elip khác vứi hai điểm A, B Từ điểm K AL vẽ đường thẳng KH song song với d cắt BL H Chứng minh rằng: M = AH x KB nằm elip Bài 12 Cho tam giác ABC nội tiếp elip tâm O M, N trung điểm BC, CA Kẻ AK, BH song song với OM, ON ( K  BC, H  CA) Chứng minh rằng: Hai phương KH OC liên hợp với Bài 13 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp elip tâm O Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Từ điểm K elip ta kẻ đường thẳng song song với OM, ON, OP cắt BC, CA, AB M’, N’, P’ Chứngminh rằng: M’, N’, P’ thẳng hàng Bài 14 Giải bất phương trình: Bài 15 Giải phương trình: x   x  � 2( x  3)  x  x x    x 2 x  Bài 16 Giải phương trình: cos3x + sin3x = Bài 17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c Từ đỉnh A’, B hạ đường A’P BQ vng góc cắt đường chéo AC’ Tính độ dài đoạn thẳng PQ theo a, b, c Bài 18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a 2, cạnh SC vng góc với mặt phẳng (ABC) có SC = a Gọi d1 đường thằng qua S trung điểm E cạnh BC, d đường thẳng qua C trung điểm D cạnh AB Tính góc khoảng cách hai đường thẳng d1 d2 Bài 19 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’ Tnh góc khoảng cách hai đường thẳng MP C’N Bài 20 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N điểm thuộc đoạn thẳng AD’, DB cho AM = DN = k; ( < k < a ) 1.Chứng minh rằng: Đường thẳng MN song song với mặt phẳng (A’D’BC) 2.Tm k để đoạn thẳng MN ngắn Chứng tỏ đoạn thẳng MN ngắn đoạn thẳng MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng AD’ BD iv) Cho điểm A phẳng P En P tồn điểm H cho:d(A,P) = d(A, H) H gọi hình chiếu vng góc điểm A lên phẳng P Chứng minh Gọi Q phẳng qua A bù trực giao với P, ! H = P  Q.Khi đó:  M  P: HM  P AH  Q 2 Tacó: AM AH  HM  AM (AH  HM) AM  2AH.HM  HM 2 2  AM AM  HM  d (A, M) d (A, H)  d (H, M) �d ( A, H ) d ( A, M ), M P Dấu = xảy  d ( M , H ) 0  M H Vậy: d ( A, H ) min{d ( A, M ), M  P} = d (A,P)(đpcm) v) Cho hai phẳng P Q song song với nhau, d(A,Q), A P số khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A, tức là: Nếu P song song với Q d(P,Q) = d(A,Q) , với A  P  ... phép aphin có phép biến đổi đồng dạng Bài toán 2: Chứng minh rằng, hình bình hành ngoại tiếp elip đường chéo hình bình hành đường kính liên hợp elip Giải: Các khái niệm: hình bình hành, elip,...  f phép dời loại BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài1 .Viết phương trình (n-m)-phẳng qua điểm cho trực giao với m-phẳng cho Bài Xây dựng cơng thức tính khoảng cách từ điểm siêu phẳng cho Bài Trong En (n 1)... với d cắt BL H Chứng minh rằng: M = AH x KB nằm elip Bài 12 Cho tam giác ABC nội tiếp elip tâm O M, N trung điểm BC, CA Kẻ AK, BH song song với OM, ON ( K  BC, H  CA) Chứng minh rằng: Hai phương