Các bài toán chứng minh tính vuông góc

Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạ

Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a = = =

1 Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD)

2 Chứng minh ∆SBD vuông tại S

HDG :

1 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a= = =

nên SO mp ABCD⊥ ( ) Mà AC⊥BD vì ABCD là hình thoi, nên O BD ∈ Có: SO∈(SBD SO), ⊥(ABCD) (⇒ SBD) (⊥ ABCD)

2 Các em tự chứng minh

Bài 2: Tứ diện SABC có SA mp ABC⊥ ( ) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

1 Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và (SAC) (⊥ BHK)

2 Chứng minh HK⊥(SBC) và (SBC) (⊥ BHK)

HDG :

1 Vì H là trực tâm tam giác ABC∆ ⇒BH ⊥AC, theo giả thiết

SA mp ABC⊥ ( ) ⇒BH ⊥SA Nên BH ⊥mp SAC( ) ⇒SC BH⊥

Do K là trực tâm SBC∆ ⇒BK ⊥SC

Từ đó suy ra SC⊥mp BHK( ) ⇒mp BHK( ) ⊥mp SAC( ) (đpcm)

2 Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: SB⊥mp CHK( )⇒SB⊥HK

Mà SC⊥mp BHK( ) ⇒ SC HK⊥ Do đó: HK ⊥mp SBC( )⇒mp SBC( ) ⊥mp BHK( )

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với

(ABCD) Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

1 Chứng minh (SBD) (⊥ SAC).

2 Chứng minh BD mp P|| ( )

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.

HDG :

1 Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA⊥BD⇒BD⊥(SAC) (⇒ SBD) (⊥ SAC)

2 Từ giả thiết suy ra: ( ) (P ⊥ SAC), mà BD⊥(SAC) ⇒BD||( )P

Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD Qua A dựng đường thẳng Ax

vuông góc với

(P) lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (S≠A) Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’

CMR : AB'⊥SB AD, '⊥SD và SB SB ' = SC SC ' = SD SD '

HDG : Từ giả thiết suy ra: SA⊥BC AB, ⊥BC⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥ AB'

Mà SC⊥( )Q ⇒SC⊥ AB' Do đó AB'⊥(SBC) ⇒AB'⊥SB

Ngoài ra ta cũng có BC⊥SB SC, ⊥B C' '⇒ ∆SBC : ∆SC B' ' nên:

' ' ' '

SB SB SC SC

Chứng minh tương tự ta được AD'⊥SD và SD SD '=SC SC '

Vậy ta có đpcm

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3, mặt bên (SBC)

vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= a 5

a Chứng minh: SA⊥(ABCD) Tính SA=?

b Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ) CMR: AK ⊥(SBC) ; AL⊥(SCD)

c Tính diện tích tứ giác AKHL=?

Giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2

Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.

a) Ta có:

( )

( ) ( )

Ta có: SA a= 2

b) Trong (SBC) gọi: SB∩HI ={ }K ⇒ =K SB∩(HIJ)

Trong (SAD) gọi: SD∩HJ ={ }L ⇒ =L SD∩(HIJ)

Ta có: BC⊥AK(1) mà:

IJ

SC

SA

AH

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 



⊥ 

Từ (1) và (2) ta có: AK ⊥(SBC) Tương tự cho AL⊥(SCD)

c) Tứ giác AKHL có: AL⊥KH AL; ⊥LHnên: 1( )

2

Vậy : 8 2

15

a AKHL

……….Hết………

Nguồn:

Hocmai.vn