[TOÁN HÌNH 11] Dùng sơ đồ để chứng minh các bài toán phần quan hệ vuông góc

Mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD.Chứng minh BP  (MAN)... Gọi O là giao điểm của AC và BD.[r]

CHUYÊN ĐỀ:

DÙNG SƠ ĐỒ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TỐN PHẦN QUAN HỆ VNG GĨC.

* Trong viết trình bày ba vấn đề quan trọng chứng minh quan hệ vuông góc khơng gian, là:

 Chứng minh hai đường thẳng vng góc.

 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

1 Chứng minh hai đường thẳng vng góc: a) Phương pháp:

Cho hai đường thẳng a b

Để chứng minh ab ta thực theo cách sau:

 Cách 1: Chứng minh cho a vng góc với mp(P) chứa đường thẳng b.  Cách 2: Dùng định lý đường vng góc.

Định lý: (Ba đường vng góc)

Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mp(P), a’ hình chiếu a mp(P)

Khi đó: ba  ba’

 Cách 3: Sử dụng tích vơ hướng:

Đường thẳng a b có vectơ phương



a

u ub : Khi đó: ab  .

 

a b

u u =0  Cách 4: Thông qua quan hệ song song.

/ / 

   

 

a b

a c

b c

/ /( )

( ) 

   

 

a P

a c c P

 Cách 5: Nếu a b nằm mặt phẳng ta sử dụng tính chất chứng minh vng góc hình học phẳng biết

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB = SC = CA = CB = a 2 ,AS C BS C 60o Chứng

(Với H trung điểm AB).

* Sơ đồ :

   

 

AB SH (1)

C1 : AB SCH

AB CH (2) SC AB

C2 :SC.AB



 

  





   

 



                           

* Trình bày lời giải:

Cách1: Gọi H trung điểm AB

Theo giả thiết : SA = SB  SABcân S  AB SH (1) CA = CB  CABcân C  AB CH (2) SH CH cắt thuộc mặt phẳng (ABC)

 

AB SCH

  ,mà SC  (SHC)

 SC  AB (đpcm) Cách 2: Ta có: .

                           

SC AB =              SC SB SA .(                 )              SC SB SCSA. 

= SC SBc BSC SC SAc ASC os  os = a 2.a os60c o  a 2.a os60c o =  SC  AB (đpcm)

* Sơ đồ : (P trung điểm SA, I tâm hình vng ABCD)

 

   

MN / /CP MNCP hình bình hành MN / / SAC

CP SAC MN BD

BD AC BD SAC

BD SI 

  

 

 



 

 

  

 

 

 

* Trình bày lời giải:

Gọi P trung điểm SA I tâm hình vng ABCD  MP đường trung bình tam giác EAD

 MP // AD MP = 1

2 AD (1) Vì N trung điểm BC  NC // AD NC =

1

2BC = 1

2 AD (2) ( ABCD hình vng nên BC = AD)

Từ (1) (2)  MP // NC MP = NC  Tứ giác MNCP hình bình hành

 MN // CP , mà CPSAC  MN // (SAC) (3) Mặt khác BD AC (vì ABCD hình vng )

BD SI ( SI đường cao hình chóp đều)

 BD (SAC) (4) Từ (3) (4)  BD MN (đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1: (SGK hình học 11- trang 98)

a) AB CC' ; b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật. Bài 2: (SGK hình học 11- trang 98)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC có ASB BSC CSA   Chứng minh SABC, SBAC,SCAB.

Bài 3: (SGK hình học 11- trang 98)

Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC'D' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O' minh AB OO' , tứ giác CDD'C' hình chử nhật

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA a Gọi M,N trung điểm SB SD Gọi I giao điểm SC mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vng góc với AI

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, ABC BAD 90   O; BA BC a, AD 2a.   Giả sử SA = a 2 SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh SC CD.

2 Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng :

a) Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P):  Cách 1: Chứng minh cho a vng góc với hai đường thẳng cắt (P)

 Cách 2:

           

 

P P

P

  



  



 



a a

  



(Chứng minh: a giao tuyến hai mặt phẳngcùng vng góc với (P) ).

 Cách 3:

   

     

( )

P

P

  

 

 



 



 



a Q

Q P

a

Q b

a b

(Chứng minh: : Đường thẳng a nằm mặt phẳng(Q) (Q) (P). Giao tuyến b (Q) (P) vng góc với a ).

 

 

/ /

 P

   

 

a b

a

b P

 

 

( )

P

( ) / /  

   



a Q

a

Q P

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác Gọi E, F trung điểm AB CD Biết tam giác SCD vuông cân S Chứng minh: SE

(SCD) * Hình vẽ:

* Sơ đồ:

   

2 2

CD EF

SE CD (1) CD SEF

SE SCD CD SF

SE SF (2)ΔSEF vuông tai S SE SF EF

  

   

 

    

     

 * Trình bày lời giải:

 Do SCD cân S có F trung điểm CD  CDSF Mà CDEF (theo tính chất hình vng)

 

 CD SEF , mà SESEF  SECD (1) Ta chứng minh SEF vng S.

SCDvng S có SF đường trung tuyến nên

1

2

 a

SF CD

SAB cạnh a có SE trung tuyến nên

3 a

SE

, EF = a

Ta có :

2 2 2 2

2

3

2 4

   

       

 

 

2+ 2 a a a a

SE SF a EF

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD.Chứng minh BP(MAN)

* Hình vẽ:

* Sơ đồ : (Với H trung điểm AD, E giao điểm CH BP)

 

   

 

, ( ) ( )

( )

( )

BP MAN

   

 



   

 

   

 

 

  

 



(1) (3)

(2)

AD SH SH SAD

SAD ABCD

BP SH SH ABCD

BP SCH

AD SAD ABCD

BP CH

  / /  / / hình bình hành / / đ uo ng tr u ng bình

       

 

  

   



(4) CH AN ANCH

SCH AMN

SC MN MN SBC

* Trình bày lời giải:

Gọi H trung điểm AD, SAD tam giác đều, nên SH AD Vì (SAD) (ABCD) theo giao tuyến AD

 SH(ABCD)  SH  BP (1) Vì: BC = DC , DH = CP

HDC PCB 90   o (ABCD hình vng)  Hai tam giác vuông BPC CHD  B1C 1 B1C C 1C 90o

 Tam giác BEC vuông E (E giao điểm CH BP)  BPCH (2) Từ (1) (2) suy ra: BPSCH (3)

Do AH // CN, AH = CN = 1

Mà MN // SC (MN đường trung bình ∆SBC)  SCH / / AMN (4) Từ (3) (4) suy ra: BPMAN (đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1: (SGK hình học 11- trang 104)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có SA = SB = SC = SD Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) ; b) AC (SBD) BD (SAC).

Bài 2: (SGK hình học 11- trang 104)

Trên mặt phẳng  α cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mặt phẳng  α cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:

a) SO(α);

b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB (SOH)

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hìnhvng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác Gọi E, F trung điểm AB CD

a) Cho biết tam giác SCD vuông cân S Chứng minh: SE (SCD) SF (SAB); b) Gọi H hình chiếu vng góc S EF Chứng minh SH AC

Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho SA= a 2.Gọi E, F trung điểmSB,SC

a) Chứng minh BC  (SAD); b) Tính diện tích tam giác AEF

Bài Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mặt phẳng (DBC) tam giác ABC vuông A Kẻ DI BC( I thuộc BC).

a) Chứng minh BC (AID);

b) Kẻ DH  AI( H thuộc AI) Chứng minh DH (ABC). 3 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc

( )

( ) ( )

( )

 

  

 

a P

P Q

a Q

( ) ( )

  

 

a Q

a P

(Ta chứng minh mặt phẳng chứa đường vng góc với mặt phẳng kia)

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có SA (ABC) Trong tam giác ABC đường cao AE CF cắt O Gọi H trực tâm tam giác SBC Chứng minh: (SBC) (SAE) (SBC) (CFH)

* Hình vẽ:

* Sơ đồ :

     

   

BC SA SA ABC BC SAE

SBC SAE BC AE BC SBC

    

  



     

 



         

 

SB CH

SB CFH CF SA SA ABC

SB CF CF SAB SBC CFH

CF AB(gt) SB SBC

  

      

   

    

  

 

      * Trình bày lời giải:

* Ta có : SAABC (giả thiết)  BC SA

BC AE ( AE đường cao tam giác ABC) AE SA cắt A nằm mp (SAE) ⇒ BC (SAE) ,mà BC (SBC)

* Vì SA (ABC) ⇒ CF SA

CFAB (vì CF đường cao tam giác ABC) CF (SAB)

  , SB (SAB)  SB CF

Mặt khác H trực tâm tam giác SBC ⇒ CH SB Từ suy SB (CFH),

mà SB (SBC) (SBC) (CFH)

Vậy (SBC) (SAE) (SBC) (CFH) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc BAD = 600 SA=SB = SD = a

a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vng

* Hình vẽ:

* Sơ đồ :

     

 

SBD cân BD SO

BD SAC O trung điêm BD

SAC ABCD

BD AC BD ABCD

  

 

 

   

   

  

(1) ( )



     

Tại A C( không xảy SOBD)

SAC

 vuông Tại S

2 2

SA SC AC SA SC OA OC OS



 

 

  

 

   

* Trình bày lời giải:

a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD)

Gọi O tâm hình thoi ABCD

Ta có : SBD cân S có O trung điểm BD  BD SO (1) ABCD hình thoi  BDAC (2)

 

 BD SAC , màBD ABCD  SAC ABCD .

b) Chứng minh tam giác SAC vuông Ta chứng minh SO = AO = OC.

 Do ABD cân A có BAD 600 ABD đều.  ABD cạnh a có AO đường trung tuyến

3  AOa

 O trung điểm AC

3  OA OC a  Xét SOD vuông O, ta có :

2 2

2 2 3

2

 

       

 

a a a

SO SD OD a

2

 SOAO OC a

,

Mà SO đường trung tuyến SAC SAC vuông S.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chử nhật với AB = a, AD=a 2,

SA = a SA vng góc với đáy (ABCD) Gọi M trung điểm AD Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBM)

* Hình vẽ:

* Sơ đồ: ACBM I

     

 

 

 

1

BM SA (1) SA ABCD (gt) BM SAC

SAC SBM BM AC (2) AMI vuông M C BM SBM

    

 

 

         

   * Trình bày lời giải:

Giả sử ACBM I

Theo SA(ABCD)  SAMB (1)

Trong tam giác vng AMD có:

1 a

AM AD

2

 

(M trung điểm AB), AB = a



1

AB a

tan M

AM a 2

   

Trong tam giác vng ADC có: DC = a , AD = a 2



1

AD a

tan C

DC a

   

 tan C1tan M 1 C1M

Mà A 1C190o  A 1M 190o  AIM vuông I

 MB AC (2)

Từ (1) (2)  MB(SAC) , BMSBM  (SMB) ( SAC) (đpcm)

c) Bài tập:

Bài 1:(SGK hình học 11):

a) Mặt phẳng (AB'C'D) vng góc với mặt phẳng (BCD'A') ; b) Đường thẳng AC' vng góc với mặt phẳng (A'BD)

Bài 2:(SGK hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SBD); b) Tam giác SBD tam giác vng

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Chứng minh

a) Các mặt bên hình chóp tam giác vng; b) Mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD)