Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0. Định nghĩa hệ không thuần nhất. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, …, bm khác 0. Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ ta được
Nội dung • Ma trận (Matrix) • Hệ phương trình tuyến tính (Systems of Linear Equations) • Hệ phương trình cung-cầu • Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ • Mơ hình cân đối liên ngành I/O Lý thuyết Ứng dụng Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất) Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính (tức phương trình bậc 1) Ví dụ: Bài tốn giá vé xem xi-nê Nếu giá vé người lớn vé trẻ em 8$ giá vé người lớn vé trẻ em 9$ giá vé loại bao nhiêu? Gọi x giá vé loại người lớn, y giá vé loại trẻ em 2 x y x 3y Hệ phương trình tuyến tính biến Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng: a1 x b1 y c1 a x b2 y c2 Các phương pháp giải thông thường: Phương pháp đồ thị (graphing) Phương pháp thay (substitution) Phương pháp khử cộng (elimination by addition) … Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp đồ thị Gọi (D1) đồ thị a1x+b1y = c1 (D2) đồ thị a2x+b2y = c2 Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp đồ thị Giải hệ phương trình sau phương pháp đồ thị: Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp thay Giải hệ phương trình sau phương pháp thay thế: 5x y 2 x y (1) (2 ) Giải: Từ (1) y = 4-5x Thay vào phương trình (2) 2x - 3(4 - 5x) = 17x = 17 x = Vậy y = - 5x = - 5*1 = -1 Nghiệm hệ phương trình (1,-1) Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp khử cộng Phương pháp liên quan đến việc thay hệ phương trình có hệ phương trình tương đương đơn giản đạt lời giải toán Định lý 1: Một hệ phương trình tuyến tính biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng: Đổi chỗ phương trình Nhân phương trình với số khác Nhân phương trình với số cộng vào phương trình khác cho Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp khử cộng Giải hệ phương trình sau phương pháp khử cộng: 3x y 2 x y 1 (1) (2 ) Giải: (1) * 15x-10y = 40 (2) * 4x+10y = -2 19x = 38 x =2 Thay x = vào (1) 3*2 - 2y = y = -1 Nghiệm hệ phương trình (x,y)=(2,-1) Hệ phương trình tuyến tính biến ContourPlot[equation, {x, xmin, xmax} , {y, ymin, ymax}] vẽ đường cho phương trình equation (2 biến x y) Ứng dụng Các toán kinh tế đơn giản Siêu dễ! Bài toán quản lý bán hàng Bài tốn tính chi phí lao động Bài tốn lập kế hoạch sản xuất Mơ hình cân thị trường nhiều hàng hóa liên quan Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ (thu nhập tiêu dùng) Mơ hình IS-LM (Investment/Saving - Liquidity preference/Money supply) Mơ hình cân đối liên ngành I/O (input-output analysis) Ứng dụng Các toán kinh tế đơn giản Bài toán quản lý bán hàng Bài tốn tính chi phí lao động Bài tốn lập kế hoạch sản xuất … Các phép tính ma trận Hệ phương trình tuyến tính Ứng dụng Bài tốn quản lý bán hàng Cơng ty Honda có hai đại lý bán xe X Y Hai đại lý chuyên bán xe Dream II xe môtô Doanh số bán hàng tháng & đại lý ghi lại sau: Đại lý X Đại lý Y Tháng Dream II Môtô $18,000 $36,000 $36,000 $0 Đại lý X Đại lý Y Tháng Dream II Môtô $72,000 $144,000 $90,000 $108,000 a) Tính tốn doanh số hai tháng cho đại lý loại xe b) Tính gia tăng doanh số từ tháng đến tháng c) Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý 5% doanh thu Tính tiền huê hồng đại lý cho loại xe nhận tháng Ứng dụng Bài toán quản lý bán hàng Ứng dụng Bài tốn tính chi phí lao động Số cơng lao động cho sản phẩm cho sau: Tiền lương tính theo giờ: Tính M*N giải thích kết Ứng dụng Bài tốn tính chi phí lao động M*N cho biết chi phí lao động cho sản phẩm nhà máy Số công Tiền lương tính theo Ứng dụng Bài tốn lập kế hoạch sản xuất z 380 0.6 x 1y 15 z 330 0.6 x 0.9 y 12 0.2 x 0.3 y 0.5z 120 (1) ( 2) (3) Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm A,B C Mỗi sản phẩm phải qua công đoạn cắt, lắp rắp đóng gói với thời gian yêu cầu cho công đoạn liệt kê bảng sau đây: Cắt Lắp ráp Đóng gói Sản phẩm A Sản phẩm B Sản phẩm C 0.6 giờ 1.5 0.6 0.9 1.2 0.2 0.3 0.5 Các phận cắt, lắp ráp đóng gói có số cơng nhiều tuần 380, 330 120 công Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng loại sản phẩm theo tuần để nhà máy hoạt động hết lực nhà máy Ứng dụng Bài toán lập kế hoạch sản xuất z 380 0.6 x 1y 15 z 330 0.6 x 0.9 y 12 0.2 x 0.3 y 0.5z 120 (1) ( 2) (3) Ứng dụng Bài toán lập kế hoạch sản xuất z 380 0.6 x 1y 15 z 330 0.6 x 0.9 y 12 0.2 x 0.3 y 0.5z 120 (1) ( 2) (3) Ứng dụng Mơ hình cân thị trường Tìm tọa độ điểm cân cung-cầu, biết: Phương trình đường cầu: Phương trình đường cung: Giải: Tọa độ điểm cân nghiệm hệ phương trình: p 0.2q p 0.07q 0.76 p 0.2q p 0.07q 0.76 p = -0.2q +4 p = 0.07q + 0.76 Ứng dụng Mơ hình cân thị trường Giả sử hàm cung hàm cầu hàm bậc theo giá p1, p2,…, pn n loại hàng hóa: Hàm cung: Hàm cầu: qsi = qsi(p1, p2,…, pn) qdi = qdi(p1, p2,…, pn) ( = 1, ) Để tìm điểm cân thị trường, ta giải hệ phương trình: qsi = qdi ( = 1, ) Ứng dụng Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ Mơ hình cân thu nhập tiêu dùng: Y: Tổng thu nhập quốc dân Y = C + I0 + G0 C: Tiêu dùng hộ gia đình C = a + b(Y - T) T: Thuế thu nhập I0: Mức đầu tư cố định nhà sản xuất T = tY G0: Mức chi tiêu cố định phủ Ứng dụng Mơ hình IS-LM (Investment/Saving - Liquidity preference/Money supply) Cân kinh tế vĩ mô: Thị trường tiền tệ: Y = C + I + G0 Lượng cầu tiền: L = pY - qR C = a + bY Lượng cung tiền: M = M0 I = m - nR Cân thị trường hàng hóa tiền tệ: (1 – b)Y + nR = a + m + G0 pY – qR = M0 Ứng dụng Mô hình cân đối liên ngành I/O (input-output analysis) Giả sử kinh tế có n ngành giá trị sản phẩm ngành tính tiền Tổng cầu ngành i: ( = 1, ) xi = xi1 + xi2 + … + xin + bi xi = (xi1/x1)x1 + (xi2/x2)x2 + … + (xin/xn)xn + bi xi = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn + bi Wassily Wassilyevich Leontief (1906-1999) X = AX + B X = (I – A)-1B A: ma trận hệ số đầu vào, ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận chi phí trực tiếp X: ma trận tổng cầu, ma trận sản xuất B: ma trận cầu cuối I - A: ma trận Leontief, ma trận hệ số công nghệ ... phương trình Nhân phương trình với số khác Nhân phương trình với số cộng vào phương trình khác cho Hệ phương trình tuyến tính biến Phương pháp khử cộng Giải hệ phương trình sau phương pháp khử... thay hệ phương trình có hệ phương trình tương đương đơn giản đạt lời giải tốn Định lý 1: Một hệ phương trình tuyến tính biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng: Đổi chỗ phương trình. .. • Hệ phương trình tuyến tính (Systems of Linear Equations) • Hệ phương trình cung-cầu • Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ • Mơ hình cân đối liên ngành I/O Lý thuyết Ứng dụng Hệ phương trình tuyến tính