Trình bày một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0. Định nghĩa hệ không thuần nhất. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, …, bm khác 0. Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ ta được

• Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

• Mô hình cân đối liên ngành I/O

Ứng dụng

Hệ phương trình tuyến tính

 Hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất)

 Là hệ gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính (tức

phương trình bậc 1)

 Ví dụ: Bài toán giá vé xem xi-nê

 Nếu giá của 2 vé người lớn và 1 vé trẻ em là 8$ và giá của 1

vé người lớn và 3 vé trẻ em là 9$ thì giá vé của mỗi loại sẽ là bao nhiêu?

 Gọi x là giá vé loại người lớn, y là giá vé loại trẻ em.

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng:

 Các phương pháp giải thông thường:

 Phương pháp đồ thị (graphing)

 Phương pháp thay thế (substitution)

 Phương pháp khử và cộng (elimination by addition)

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

 Gọi (D1) là đồ thị của a1x+b1y = c1

(D2) là đồ thị của a2x+b2y = c2

Phương pháp đồ thị

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

Phương pháp đồ thị

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thay thế:

Giải:

Từ (1)  y = 4-5x

Thay vào phương trình (2)  2x - 3(4 - 5x) = 5

 17x = 17  x = 1Vậy y = 4 - 5x = 4 - 5*1 = -1

Nghiệm của hệ phương trình là (1,-1)

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

 Phương pháp này liên quan đến việc thay thế hệ phương trình đã có bằng các hệ phương trình tương đương đơn giản hơn cho đến khi đạt lời giải của bài toán

 Định lý 1: Một hệ phương trình tuyến tính được biến đổi thành hệ phương trình tương đương bằng:

 Đổi chỗ 2 phương trình.

 Nhân phương trình với 1 hằng số khác 0.

 Nhân phương trình này với 1 hằng số và cộng vào phương trình khác đã cho.

Phương pháp khử và cộng

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử và cộng:

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

ContourPlot[equation, {x, xmin, xmax} , {y, ymin, ymax}] vẽ đường được cho bởi phương trình equation (2 biến x

và y).

Hệ phương trình tuyến tính 3 biến

 Định nghĩa:

 Là hệ phương trình có dạng:

 Phương pháp giải thông thường:

 Dùng định lý 1, khử bớt 1 biến số để có hệ phương trình gồm 2 biến.

 Giải hệ phương trình hai biến.

Hệ phương trình tuyến tính 3 biến

Giải hệ phương trình

Giải:

(1)*5+(2)*4 ta có: 15x-10y+20z = 30

8x+12y-20z = -32 23x+2y = -2 (a) (1)*3-(3)*4 ta có: 9x-6y+12z = 8

20x-16y+12z = 28 -11x+10y = -10 (b) (a)*5-(b) ta có: 115x+10y = -10

-11x+10y = -10 126x = 0

(b)  y = -1 (1)  z = 1 Nghiệm của hệ phương trình là (x,y,z) = (0,-1,1)

Hệ phương trình tuyến tính 3 biến

ContourPlot3D[equation, {x, xmin, xmax} , {y, ymin, ymax} , {z, zmin, zmax}] vẽ mặt được cho bởi phương trình equation (3 biến x, y và z).

Một số phương pháp giải tổng quát

1) Phương pháp Cramer (phương pháp định

thức)

 Cần biết cách tính định thức (determinant)

2) Phương pháp ma trận bổ sung (phương

pháp khử liên tiếp, phương pháp Gauss –

Jordan)

 Cần biết khái niệm ma trận (matrix), ma trận

bổ sung (augmented matrix) và các phép biến đổi sơ cấp

3) Phương pháp ma trận nghịch đảo (phương

pháp phương trình ma trận)

 Cần biết các phép tính trên ma trận, khái niệm

ma trận nghịch đảo (inverse matrix)

Gabriel Cramer (1704-1752)

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Phương pháp Cramer

 Định thức cấp 2 (2-ordered determinant) tương ứng với bảng các phần tử

được xác định như sau:

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

Phương pháp Cramer

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

Giải:

Nghiệm của hệ phương trình là (x,y)=(1,-1)

Hệ phương trình tuyến tính 2 biến

Nghiệm của hệ phương trình là là (x,y,z)=(1,2,3)

Hệ phương trình tuyến tính 3 biến

31

Phương pháp ma trận nghịch đảo

 Ma trận M vuông cấp n: (square matrix of order n)

 Ma trận có kích thước n*n

 Ma trận đơn vị I: (identity matrix)

 Là ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử khác bằng 0.

(M* là ma trận phụ hợp) 2) [M|I]  [I|M-1]

 Xem tài liệu trang 41

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Cách giải phương trình ma trận:

A * X = B

A-1(AX) = A-1 * B (A-1A) X = A-1 * B

d d d

1 2 3

2 8 3 5

1 8 2 5

1 2

Phương trình ma trận

Tính toán ma trận bằng máy tính bỏ túi

Ứng dụng

 Các bài toán kinh tế đơn giản  Siêu dễ!

 Bài toán quản lý bán hàng

 Bài toán tính chi phí lao động

 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

 Mô hình cân bằng thị trường nhiều hàng hóa liên quan

 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô (thu nhập và tiêu dùng)

 Mô hình IS-LM (Investment/Saving - Liquidity

preference/Money supply)

 Mô hình cân đối liên ngành I/O (input-output analysis)

Ứng dụng

 Bài toán quản lý bán hàng

 Bài toán tính chi phí lao động

 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Ứng dụng

Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y Hai đại lý này chỉ chuyên bán

xe Dream II và xe môtô Doanh số bán hàng trong tháng 8 & 9 của 2 đại

lý được ghi lại như sau:

a) Tính toán doanh số cả hai tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi loại xe.

b) Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9.

c) Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh thu Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận được trong tháng 9.

Bài toán quản lý bán hàng

Đại lý X $18,000 $36,000 Đại lý X $72,000 $144,000 Đại lý Y $36,000 $0 Đại lý Y $90,000 $108,000

Ứng dụng

Bài toán quản lý bán hàng

Ứng dụng

 Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:

 Tiền lương tính theo giờ:

 Tính M*N và giải thích kết quả

Bài toán tính chi phí lao động

Ứng dụng

Bài toán tính chi phí lao động

M*N cho biết chi

phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy

Số giờ công

Tiền lương tính theo giờ

Ứng dụng

Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B và C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp rắp và đóng gói với thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau đây:

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380, 330 và 120 giờ công.

Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết năng lực của nhà máy.

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Sản phẩm A Sản phẩm B Sản phẩm C Cắt

Lắp ráp

Đóng

gói

0.6 giờ 0.6 giờ 0.2 giờ

1 giờ 0.9 giờ 0.3 giờ

1.5 giờ 1.2 giờ 0.5 giờ

Ứng dụng

 Tìm tọa độ điểm cân bằng cung-cầu, biết:

 Phương trình đường cầu: p = -0.2q +4

 Phương trình đường cung: p = 0.07q + 0.76

 Giải:

Tọa độ điểm cân bằng

là nghiệm của hệ phương trình:

Mô hình cân bằng thị trường

Ứng dụng

 Giả sử các hàm cung và hàm cầu là các hàm bậc nhất theo

các giá p1, p2,…, p n của n loại hàng hóa:

Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Y: Tổng thu nhập quốc dân C: Tiêu dùng của hộ gia đình T: Thuế thu nhập

I0: Mức đầu tư cố định của các nhà sản xuất

G0: Mức chi tiêu cố định của chính phủ

 Lượng cầu tiền: L = pY - qR

 Lượng cung tiền: M = M0

Mô hình cân đối liên ngành I/O (input-output analysis)

A: ma trận hệ số đầu vào, ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận chi phí trực tiếp