Một số ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học trong giải toán

Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen.

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn MỤC LỤC A Đặt vấn đề .2 Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4 Phạm vi kế hoạch thực Phương pháp nghiên cứu B Nội dung I Cở sở lý luận II Cở sở thực tiễn III Một số kiến thức phương pháp chứng minh quy nạp Phép quy nạp hồn tồn phép quy nạp khơng hoàn toàn Nội dung phương pháp quy nạp toán học Một số lưu ý sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học 4.Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh 13 4.1 Dạng1: Chứng minh quan hệ chia hết: .13 4.2 Dạng2: Chứng minh đẳng thức tính tổng: 17 4.3 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức tìm số 23 4.4 Dạng 4: Quy nạp tốn học hình học 26 IV.Một số giải pháp vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán 30 1, Đối với giáo viên: 30 2, Đối với học sinh .30 V Kết thu được: 31 C Phần Kết luận 32 1/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn A ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đổi phương pháp dạy học yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho phát triển giáo dục Ngày kinh tế trí thức với bùng nổ thông tin, giáo dục thay đổi để phù hợp với phát triển khoa học kỹ thuật, phát triển xã hội Nội dung tri thức khoa học với đồ sộ lượng thông tin yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học Trong giai đoạn giáo dục khơng tạo người có tài, có đức mà giáo dục có thiên chức cao quý giáo dục thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo người có kỹ sống học tập thời đại Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học cách phù hợp Nhằm giúp cho giáo viên tháo gỡ khó khăn trình đổi phương pháp dạy học Một yêu cầu đặt cải cách phải đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học vào tập thực tiễn Trong có đổi dạy học mơn tốn, Trong trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động toán học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Q trình giải tốn trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi vận dụng kiến thức vào thực tế Thơng qua việc giải tốn thực chất hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện kĩ mơn tốn Từ rút nhiều phương pháp dạy học hay, tiết lên lớp có hiệu nhằm phát huy hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện Trong chương trình tốn phổ thơng cấp THCS có nhiều mảng kiến thức sách giáo khoa đề cập đến trình học lại gặp nhiều, học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa gặp dạng tốn lúng túng Vì với phạm vi đề tài tơi muốn đề cập đến vấn đề mà khơng - người thầy trăn trở băn khoăn, “Phương pháp chứng minh quy nạp vận dụng phương pháp để giải dạng tốn khác nào” Thật chương trình tốn phổ thơng phương pháp chứng minh quy nạp mảng kiến thức khó 2/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn mà ứng dụng lại rộng rãi, khơng có mặt phân mơn số học mà đóng góp vai trò quan trọng phân mơn đại số, khơng dừng lại chương trình THCS mà phần quan trọng chương trình THPT Vì phương pháp chứng minh quy nạp phần gây cho học sinh, học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, nhiên phần quyến rũ học sinh say mê mơn tốn học giỏi tốn đòi hỏi phải tư lơgic, tìm tòi sáng tạo Giúp học sinh thêm phương pháp nghiên cứu học tập giải tốn mơn số học, đại số hình học Góp phần xây dựng lực tư lơgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suy luận có lí Gây hứng thú cho học sinh tìm tòi, phát hiện, tranh luận phê phán sai bạn bè lĩnh hội vận dụng kiến thức toán học Phương pháp chứng minh quy nạp giúp học sinh dễ dàng giải số tốn khó Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu qua thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS, tơi rút vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng phương pháp quy nạp toán học giải toán” Mục đích nghiên cứu: Đối với giáoviên: - Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho q trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b Đối với học sinh: Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung việc giải tập áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan Gây hứng thú cho học sinh làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập 3/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Thơng qua việc giải tốn áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết, để tính tổng dãy số ) giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học tốn - Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ chứng minh toán chia hết tính tổng dãy số viết theo quy luật Nhằm tìm biện pháp hay giúp cho cơng tác dạy học nói chung cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết cao Đối tượng nghiên cứu Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp vào toán chứng minh chia hết tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức áp dụng vào hình học Phạm vi kế hoạch thực Nghiên cứu áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải toán chứng minh chia hết tính tổng dãy số viết theo quy luật, chứng minh đẳng thức, hình học cho học sinh giỏi từ lớp đến lớp Thời gian thực hiện: 12 tiết Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo học sinh giáo viên - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp 4/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn B – NỘI DUNG I Cở sở lý luận: Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn giáo viên cần cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại điều qn, biết cách tìm tòi để phát kiến thức Các phương pháp thường quy tắc, quy trình nói chung phương pháp có tính chất thuật tốn Tuy nhiên cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm đốn Học sinh cần rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt hố, khái qt hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm vững phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân từ học sinh thấy niềm vui học tập Trong trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình sách giáo khoa, xem định hướng cho trình dạy học Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không dừng lại sách giáo khoa mà người giáo viên phải có phương pháp để từ kiến thức phát triển tìm kiến thức giúp học sinh lĩnh hội cách chủ động có hệ thống Trong việc dạy học tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập tốn đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống tập, sử dụng phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dưỡng, rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập tốn có tập chứng minh quy nạp toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh, phát quy luật đẹp Toán học II Cở sở thực tiễn: Trong chương trình tốn phổ thơng, áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp chiếm mảng lớn chứng minh chia hết, tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do “phương pháp chứng minh quy 5/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn nạp tốn học” góp phần vào việc thực chương trình dạy học theo phương pháp “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo sở vững để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo bồi dưỡng nhân tài” Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 15 học sinh thấy kết tiếp thu phương pháp chứng minh quy nạp sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 60% 26,7% 02 13,3% 0% Nguyên nhân thực tế trên: Đây dạng toán tương đối lạ khó với học sinh, học sinh chưa trang bị phương pháp giải, nên việc suy luận hạn chế nhiều khơng có lối thoát dẫn đến kết thấp đặc biệt học sinh trung bình em khó giải Để giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trang bị cho học sinh nắm phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, tính tổng dãy số viết theo quy luật Đồng thời nêu lên số ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu nắm kiến thức, biết áp dụng vào giải toán Từ yêu cầu học sinh giải tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh rèn luyện nắm kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo chất lượng giải toán nâng cao III Một số kiến thức phương pháp chứng minh quynạp: 1, phép quy nạp hoàn toàn phép quy nạp khơng hồn tồn: 13 - chia hết cho Ví dụ Quan sát kết sau: 23 - chia hết cho 6/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn 33 - chia hết cho 43 - chia hết cho Hãy đưa dự đoán chứng minh dự đốn đó? Giải: Dự đốn: a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1) Xét ba khả xảy ra: a) Nếu a =3k (k  N) A chia hết cho3 b) Nếu a = 3k+1 (k N) a - chia hết cho 3, A chia hết cho c) Nếu a = 3k+2 (kN) a+1chia hết cho3, A chia hết cho Vậy a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a Ví dụ Quan sát kết sau: 23 - chia hết cho 25 - chia hết cho 27 - chia hết cho Dự đoán sau hay sai? 2n - chia hết cho n với số lẻ n? Giải: Dự đoán sai Chẳng hạn 29 - = 510 không chia hết cho Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta thực phép suy luận sau: (1) - Xét giá trị a 1, 2, 3, 4, để kết luận a - a chia hết cho với số nguyên dương a (2) - Xét giá trị a 3k, 3k +1, 3k + (k  N) để kết luận a3 - a chia hết cho với số nguyên dương a (3) - Xét giá trị n 3, 5, để kết luận n - chia hết cho n với số tự nhiên lẻ n Ba phép suy luận gọi phép quy nạp, phép suy luận từ trường hợp riêng biệt tới kết luận tổng quát *Phép quy nạp gọi hoàn toàn ta xét tất trường hợp riêng, chẳng hạn phép suy luận (2) ta xét khả xảy chia số tự nhiên a cho (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k +2) 7/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn *Phép quy nạp gọi khơng hồn tồn ta xét số trường hợp riêng chưa xét đầy đủ trường hợp riêng Chẳng hạn phép suy luận (1) ta xét a 1, 2, 3, để kết luận cho số nguyên dương a, phép suy luận (3) ta xét n 3, 5, để kết luận cho số tự nhiên lẻ n Nhờ phép quy nạp không hồn tồn mà ta có dự đốn tính chất tốn học đó, sở để tới phát minh Phép quy nạp (1) cho khẳng định đúng, kết luận chứng minh phép quy nạp (2) (quy nạp hoàn toàn) Phép quy nạp (3) cho kết luận sai, ta bác bỏ phản ví dụ Như “phép quy nạp hoàn toàn” phép chứng minh chặt chẽ, “phép quy nạp khơng hồn tồn” dẫn tới sai lầm, nhà tốn học có tên tuổi đây: Nhà tốn học Pháp Fecma nhận xét cơng thức 2n + cho ta số nguyên tố với n 20, 21, 22, 23, 24 (thật 1+ = 3; 22 + = 5; 24+1 = 17; 28 + = 257; 216 + = 65537; tất số nguyên tố ) Với n = 25 = 32 2n + = 232 + = 4294967297, Fecma khơng phân tích thừa số ngun tố, ơng cho số nguyên tố đưa giả thuyết tổng quát công thức 2n + với n luỹ thừa cho ta số nguyên tố Một kỉ sau, năm1732,Ơle bác bỏ giả thuyết cách 232 + hợp số, chia hết cho 641 Có thể kể thêm hai mệnh đề sai lại với số lớn trường hợp đầu tiên: - Nhà toán học Gravơ đưa dự đốn: Với số ngun tố p ta có: p-1 - khơng chia hết cho p2 Dự đốn với số nguyên tố nhỏ 1000, chẳng sau người ta tồn số nguyên tố 1093 mà 1093 - chia hết cho10932 - Một dự đoán khác: Số 911n2+ khơng số phương với số nguyên dương n Số n nhỏ để mệnh đề sai n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số) Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp nhà tốn học tìm phương pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp khẳng định đắn số tự 8/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn nhiên, phương pháp quy nạp tốn học 2, Nội dung phương pháp quy nạp Toán học: Trong tốn học, phép quy nạp hồn tồn áp dụng hạn chế Nhiều mệnh đề Toán học đáng ý bao gồm số vô hạn trường hợp riêng, người kiểm tra tất trường hợp riêng Phép quy nạp khơng hồn tồn, biết thường dẫn tới kết luận sai lầm Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn người ta áp dụng phương pháp suy luận “đặc biệt”, gọi phương pháp quy nạp Toán học * Nội dung phương pháp quy nạp Tốn học trình bày sau: Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n xem chứng minh hai điều kiện sau thỏamãn: 1, Mệnh đề với số tự nhiên n = n0 2, Từ giả thiết mệnh đề với n = k (k ≥n0) suy mệnh đề với n = k +1 Như để chứng minh mệnh đề với số nguyên dương n phương pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bước sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với số tự nhiên n = n0 Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k (k ≥n0) (ta gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k +1 Bước 3: Kết luận mệnh đề với số nguyên dương n ≥n0 3, Một số lưu ý sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học * Hai bước ngun lí quy nạp tốn học Ngun lí quy nạp toán học gồm hai phần, việc kiểm tra hai phần cần tôn trọng thực đầy đủ áp dụng nguyên lí Nếu bỏ hai điều kiện kiểm tra nhận kết luận sai Ta lấy vài phản ví dụ Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng: 2n > 2n +1 (4) Lời giải Giả thiết bất đẳng thức (4) với n = k, với k số tự nhiên Nghĩa ta có 2k > 2k+1 (5) Ta chứng minh bất đẳng thức (4) với n = k + 2k+1 >2(k +1) +1 (6) Thật vậy, 2k số không nhỏ với số tự nhiên k khác Ta cộng vế 9/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn trái (4) với 2k cộng vế phải (4) với Ta nhận 2k + 2k > 2k +1 +2 Nghĩa có (6) Theo ngun lí quy nạp toán học bất đẳng thức (4) với số tự nhiên n Bài toán giải Lời giải mắc sai lầm không kiểm tra bước sở Thực chất chứng minh bất đẳng thức (4) với n = k + 1, với n = k Điều khơng suy bất đẳng thức với giá trị n, chưa nói tới với số tự nhiên Ta thử với n = n = bất đẳng thức (4) sai Với n ≥ 3bất đẳng thức (4) Giá trị số tự nhiên nhỏ n = bất đẳng thức (4) lặp lại cách chứng minh từ giả thiết (4) với n = k suy với n = k + Vì theo ngun lí quy nạp tốn học ta có kết luận: Bất đẳng thức (4) với n ≥ (chứ không với số tự nhiên n) Như giá trị ban đầu toán chứng minh phụ thuộc vào toán cụ thể phải kiểm tra bước sở Sau ta có phản ví dụ khơng kiểm tra bước sở hậu dẫn đến chứng minh sai Ví dụ Chứng minh số tự nhiên số tự nhiên liền sau Lời giải Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học Giả sử mệnh đề với với tự nhiên n = k đó, nghĩa ta có k = (k+1) (7) Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1, nghĩa phải chứng minh (k+1)=(k+2) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp mệnh đề với n = k, cộng hai vế đẳng thức (7) với ta nhận k + = (k + 1) + = k + Như khẳng định với n = k với n = k + 1, theo ngun lí quy nạp tốn học với số tự nhiên n Hệ toán tất số tự nhiên Điều vơ lí, cách chứng minh sai đâu? Dễ thấy áp dụng ngun lí quy nạp tốn học bỏ qua kiểm tra trường hợp n = Ta thấy với n = mệnh đề sai ≠ Bước kiểm tra ban đầu có ý nghĩa đặc biệt tạo sở để thực quy nạp Bước thứ hai đưa nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn sở điều kiện ban đầu, nguyên tắc từ trường hợp riêng sang trường hợp riêng khác: từ k đến k + Phản ví dụ chưa kiểm tra điều kiện ban đầu khơng có sở để thực quy nạp, khơng có nghĩa thực kiểm tra phần quy nạp 10/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Giả sử với k = m m3 + 11m Ta phải chứng minh k3 + 11k (m  N) với k = m +1 Thật vậy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + + 11m + 11 = (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12) Do k3 + 11k 4(k3 + 11k) 24 Vậy A(k+1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k) Vậy A(n) 24 24 với n = k + + Kết luận: Với số nguyên dương n ln có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 * Một số tập giải tương tự: Bài 1: Chứng minh với số nguyên a: a) a2 - a chia hết cho b) a3 - a chia hết cho c) a5 - a chia hết cho5 d) a7 - a chia hết cho Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) 32n+1 + 40n - 67 chia hết cho 64 b) 2n+2.3n + 5n - chia hết cho 25 c) 7n+2 + 82n+2 d) 10n + 72n - chia hết cho 81 chia hết cho5 Bài 3: Chứng minh số A = chia hết cho với số tự nhiên n Bài 4: Chứng minh A chia hết cho B với: a) A=13+ 23+33+ +993+1003; B = + + + +99 + 100 b) A =13 + 23+ 33 + + 993; B = + + + + 99 Bài 5: Chứng minh n lập phương số tự nhiên (n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 504 Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a b không chia hết cho a6 - b6 chia hết cho Bài 7: a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho8 Bài 8: Chứng minh với số n nguyên dương: a) (n + 1).(n + 2).(n + 3) (2n) chia hết cho 2n 16/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn b) (n + 1).(n + 2).(n + 3) (3n) chia hết cho 3n Bài 9: CM rằng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n 4.2.Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH TỔNG Đẳng thức liên quan đến số tự nhiên phong phú, tìm cơng thức chứng minh cơng thức theo biến số tự nhiên đa dạng ta xét số ví dụ Ví dụ Tính tổng n số tự nhiên Lời giải Kí hiệu Pn tổng phải tìm, nghĩa Pn = + + + + n Ta tính số tổng giá trị ban đầu: n Pn 10 15 21 28 Ta thấy quy luật: Tích hai số liên tiếp hàng lần số hàng Như 1.2 = 2.1, 2.3 = 2.3, 3.4 = 2.6, 4.5 = 2.10, 5.6 =2.15, 6.7 = 21, Như ta dự đốn cơng thức phải tìm Pn = + + + + n = (1) Biểu thức gọi giả thiết quy nạp Muốn chắn công thức ta phải chứng minh phương pháp quy nạp thông qua hai bước: Bước sở: Với n = công thức (1) cách tính Bước quy nạp: Giả sử n = k, P(k) đúng, nghĩa có Pk = Ta phải chứng minh (1) cho n = k+1 Thật vậy, P(k+1) = Pk + (k +1) = + (k +1) = = Do cơng thức (1) với n = k +1, theo ngun lí quy nạp tốn học cơng thức (1) với mọi n ≥ Ví dụ Tính tổng lập phương n số tự nhiên Lời giải Ta đặt công thức Sn = + + + + n3 Ta tính số giá trị ban đầu: n Sn 36 100 225 441 3 Nhìn vào bảng ta khó tìm quy luật cho S(n) Nhưng với kinh nghiệm 17/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn kết tính trước ta gép lại n Pn Sn 1 36 10 100 15 225 21 441 Từ bảng ta thấy có lẽ Sn = (Pn)2 ; = 12; = 32; 36 = 62 ; Mà công thức Pn ta biết, công thức cho giả thiết quy nạp Sn = 13 + 23 + 33 + + n3 = (2) Chứng minh công thức (2) phương pháp quy nạp theo n: Bước sở: Với n = 1, 2, 3, 4, 5, công thức (2) theo bảng Bước quy nạp: Giả sử (2) với n = k, ta phải chứng minh (2) với n = k+1 Thật vậy, S(k+1) = 13 + 23 + 33 + + (k+1)3 = Sk + (k+1)3 = + (k+1)3 = (k+1) = (k+1) = Vậy (2) với n = k + Từ nguyên lí quy nạp tốn học suy (2) với số tự nhiên n ≥ Ví dụ Tính tổng sau: Sn = 12 + 32 + 52 + + (2n + 1)2 với n số tự nhiên Lời giải Trước tiên ta cần dự đoán tổng Sn cách tính số trường hợp sau n S(n 10 35 84 165 286 ) Khơng ví dụ 1, qua bảng số giá trị đặc biệt ta không dự đốn cơng thức tổng qt tổng Sn qua ví dụ ta dự đốn tổng Sn phải đa thức n có bậc khơng nhỏ Giả sử Sn = an3 + bn2 + cn + d Vì S0 = nên d = 18/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Lần lượt thay n = 1, n = 2, n = ta hệ Giải hệ ta thu a = , b = 4, c = Khi Sn = n3 + 4n2 + n + = (3) Để khẳng định tính đắn cơng thức (3) ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức (3) với số tự nhiên n Thật vậy: + Ta có cơng thức (3) với n € + Giả sử công thức (3) với n = k, ta chứng minh công thức (3) với n = k + Ta có S(k+1) = 12 + 32 + 52 + + (2k + 1)2 + (2k + 3)2 = Sk + (2k + 3)2 Theo giả thiết quy nạp Sk = Suy S(k+1) = + (2k + 3)2 = = = = + Vậy công thức (3) với n = k +1 với n€N Ví dụ Chứng minh số nguyên dương n thì: S(n) = 12 + 22 + 32 + + n2 = (4) Lời giải + Với n = 1, vế trái (4) = Vế phải (4) + Giả sử (4) với n = k (k  N & k  1), tức là: Sk = 12 + 22 + 32 + + k2 = Ta phải chứng minh đẳng thức (4) với n = k + 1, tức là: S(k+1) = 12 + 22 + 32 + + (k+1)2 = Thật vậy: S(k+1) = 12 + 22 + 32 + + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2 (Do giả thiết quy nạp Sk = 12 + 22 + 32 + + k2) Mà Sk = nên S(k+1) = + (k+1)2 = = = 19/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn = Suy S (k+1) = đẳng thức (4) với n = k+1 + Kết luận: Vậy với số nguyên dương n tổng bình phương n số tự nhiên liên tiếp Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n thì: S n = Lời giải + Với n = 1, đẳng thức VT = VP = + Giả sử đẳng thức với n = k (k  N, k 1) tức Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + Tức : Thật S(k+1) = = Sk + k = nên S(k+1) = + Mà S == Vậy Sn với n = k + + Kết luận: Vậy với số nguyên dương n đẳng thức (5) ln xảy Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n thì: n= S Lời giải + Với n = 1, đẳng thức VT = VP = + Giả sử đẳng thức với n = k (k  N, k 1) tức k= S S Ta phải chứng minh đẳng thức Sn với n = k + tức k+1 = 20/32 Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán Thật S k+1 = Theo giả thiết quy nạp S Suy Sk+1 = Sk k = = Suy S(k+1) = + Kết luận: Vậy với số ngun dương n đẳng thức Sn ln * Một số tập giải tương tự: Bài 1: Tính tổng sau a) Sn = b) Sn = c) Sn = d) Sn = 1.2 +2.5 +3.8 + + n.(3n – 1) e) Sn = Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = b) Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n+2) = Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) Sn = b) Sn = c) Sn = d) Sn = 4.3 Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM SỐ Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n 3 thì: 2n> 2n + (1) Lời giải + Với n = VT = 23=8; VP = 2n + = 2.3 + = VT >VP Vậy (1) với n = + Giả sử (1) với n = k(k  N, k  3), tức 2k> 2k +1 Ta phải chứng minh (1) với n = k+1,tức là: 2k+1>2k +3 (2) Thật vậy: 2k+1 = 2k.2 Theo giả thiết quy nạp 2k> 2k + Do đó: 2k+1> 2(2k + 1) = (2k +3).(2k - 1) > 2k + (Vì 2k - > với k 3) Vậy (2) với k 3 21/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn + Kết luận: 2n> 2n + với số nguyên dương n3 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Côsi với n số không âm Với a1, a2, , an ≠ Lời giải + Dễ chứng minh mệnh đề với n = Tức + Giả sử mệnh đề với n = k, tức Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + Giả sử Thì Đặt Thì ak+1 = x + y với y≠0 kx = a1 + a2 + + ak ≠ ( Do giả thiết quy nạp) Ta có : = xk+1 + xk + y = xk(x + y) a1a2 akak+1 Suy mệnh đề với số tự nhiên n Xảy đẳng thức khi: a1 = a2 = = an + Vậy Với a1, a2, , an ≠ Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên dương n ta có Lời giải + Với n = VT bất đẳng thức VT = Vậy bất đẳng thức với n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k, tức Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức là: Thật Do giả thiết quy nạp Vậy bất đẳng thức với n = k + + Kết luận: Với số nguyên dương n ta ln có bất đẳng thức: Ví dụ 4: Tìm số nguyên dương n cho: 2n> 5n Lời giải 22/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn + Với n = 1; 2; 3; vế trái nhỏ vế phải Với n = 25 = 32 > 25 = 5.5 Vậy bất đẳng thức n = + Giả sử bất đẳng thức với n = k (Với k  N , k 5); Tức là: 2k> 5k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1; Tức là: 2k+1> 5(k + 1) Thậtvậy: 2k+1 = 2k.2mà 2k> 5k (Theo giả thiết quy nạp) Nên 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo điều kiện k 5 nên 5k > Vì vậy: 2k+1> 5k + = 5(k + 1) + Kết luận: Vậy với số ngun dương n, n 5 ta có 2n> 5n *Một số tập giải tương tự: Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) b) ( Với n 2) Bài Chứng minh với số nguyên dương n 1 thì: a) b) c) Bài Chứng minh bất đẳng thức a) b) 4.4 Dạng QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG HÌNH HỌC Nhiều tốn hình học gải phương pháp quy nạp toán học, lĩnh vực hình học tổ hợp Những tốn liên quan số lượng điểm, đường thẳng, độ lớn góc, đa giác lồi, Ta nhắc lại đa giác lồi đường thẳng qua cạnh để đa giác nửa mặt phẳng 4.4.1 Tính tốn quy nạp Ví dụ Cho n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chung Hỏi chúng chia mặt phẳng thành miền? Lời giải Rõ ràng với n = 1, đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Với n=2, hai đường thẳng giao chia mặt phẳng thành miền Với n = 3, ba đường 23/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn thẳng qua điểm mặt phẳng chia mặt phẳng thành miền, Ta giả thiết số miền chia n đường thẳng 2n Ta chứng minh quy nạp giả thiết trên: Bước sở: Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với số n = k, nghĩa k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k miền Để chứng minh mệnh đề với n = k + đường thẳng, ta ý dựng đường thẳng qua điểm cho không trùng với đường thẳng số đường thẳng lại, nhận thêm miền mặt phẳng Như số miền 2k cộng thêm 2, nghĩa 2(k+1) Suy mệnh đề với n = k + Kết luận: Vậy n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chung Hỏi chúng chia mặt phẳng thành 2n miền Ví dụ 2.Có thể chia n-giác lồi thành tam giác đường chéo không giao nhau? Lời giải Nếu n = tam giác khơng có đường chéo số tam giác có một, nghĩa – =1 Nếu n = rõ ràng tứ giác chia thành hai tam giác: – = Ta đưa giả thiết số tam giác chia đường chéo không giao S n = n – Ta chứng minh giả thiết phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3; công thức Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa đa giác lồi k cạnh chia thành Sk = k – tam giác Ta cần chứng minh mệnh đề cho n = k +1 A1 A2 Ak+1 24/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn Ak Thật đường chéo A1Ak đa giác A1A2 AkAk+1 có k + cạnh Vì đa giác A1A2 Ak chia thành (k-2) tam giác theo giả thiết quy nạp Do có thêm tam giác A 1AkAk+1 nên đa giác(k+1) chia thành Sk+1 = k –1 Theo nguyên lí quy nạp toán học, đa giác lồi n cạnh chia đường chéo không giao thành Sn = n – tam giác Ví dụ 3.Tính tổng góc n-giác lồi Lời giải Ta xét số trường hợp ban đầu để tìm cơng thức Kí hiệu T n tổng góc n-giác lồi Với n = 3, tổng góc T3 = 1800 = (3-2)1800 Với n= 4, tổng góc tứ giác lồi lần tổng góc tam giác: T4 = 3600 = (4 – 2)1800 Từ hai trường hợp ta giả thiết cơng thức phải tìm Tn = (n – 2) 1800 Ta chứng minh công thức phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3, công thức tính tốn Bước quy nạp: Giả sử công thức cho tất k-giác, với k 2) tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối hai điểm điểm cho tạo số đường thẳng khác không nhỏ n Lời giải Bước sở: Với n = điểm, mệnh đề hiển nhiên đúng: Ba điểm không nằm đường thẳng nối đôi với tạo ba đường thẳng khác Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ điểm Ta chứng minh cho n = k + điểm Ta chứng minh tồn đường thẳng chứa có hai điểm Ta kí hiệu đường thẳng qua hai điểm A n An+1 AnAn+1 Nếu điểm A1, A2, , An nằm đường thẳng số lượng đường thẳng n + 1: Gồm n đường thẳng nối A n+1 với điểm A1, A2, , An đường thẳng chúng nối chung Nếu A 1, A2, , An không nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác Bây ta thêm đường thẳng nối An+1 với điểm A1, A2, , An Vì đường thẳng AnAn+1 khơng chứa điểm A1, A2, , An-1, nên đường thẳng khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo A1, A2, , An Như số đường thẳng tạo không nhỏ n + * Một số tập giải tương tự: Bài 1: Chứng minh n đường tròn chia mặt phẳng thành n2−n+2 miền cặp đường tròn giao hai điểm khơng có ba đường tròn giao điểm Kết luận khơng ta thay đường khép kín khác đường 26/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn tròn Bài 2: Một đa giác gọi đa giác lồi cặp điểm đa giác nối với đoạn thẳng mà đoạn thẳng nằm đa giác Chứng minh với n ≥ tổng góc đa giác lồi n đỉnh 180(n−2) độ Bài 3: Ta xét đặt n ≥ đường thẳng mặt phẳng (nghĩa là, khơng có hai đường song song ba đường giao điểm) Chứng minh miền nhỏ liên thông tam giác IV Một số giải pháp vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán: 1, Đối với giáo viên: Trước hết người giáo viên phải xây dựng sở lí thuyết phương pháp quy nạp toán học việc vận dụng để giải dạng tốn cụ thể Nội dung phải chuyển tải đến học sinh, với dạng tốn giáo viên đưa ví dụ mẫu, hướng dẫn học sinh dựa sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại giải mẫu Sau yêu cầu học sinh giải tập áp dụng Phân loại tập từ dễ đến khó phù hợp với đối tượng học sinh, tạo điều kiện cho đối tượng học sinh làm việc, chủ động nắm kiến thức sở phương pháp giải Rèn luyện nâng cao khả tư sáng tạo học sinh thông qua qua việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức nghiên cứu, giải tốn Trong q trình giảng dạy, phải ý tìm vướng mắc, sai sót mà học sinh hay mắc phải làm tập phải có biện pháp hướng dẫn sửa sai kịp thời Động viên, khuyến khích học sinh nghiên cứu tìm cách giải cho tốn Qua giúp học sinh nhớ lâu, nắm toán giải 2, Đối với học sinh: Đây dạng toán liên quan đến hầu hết kiến thức cấp học, học sinh cần phải trang bị cho kiến thức bản, tồn diện chương trình THCS Đồng thời nắm sở lý thuyết dạng toán mà giáo viên cung cấp để hiểu chất phương pháp quy nạp toán học Từ vận dụng để giải dạng toán chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Với tập cần nhận dạng dạng tốn để từ vận dụng phương pháp 27/32 Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán hợp lý dạng vào giải toán Phát huy khả tư sáng tạo giải tốn, biết suy luận từ dễ đến khó với cách giải hay hơn, tìm nhiều cách giải cho toán 28/32 V Kết thu được: Qua qua trình triển khai áp dụng nội dung phương pháp nêu trên, nhận thấy học sinh có hứng thú học tập, học sinh nắm chất phương pháp quy nạp tốn học, cách vận dụng vào giải tốn rèn luyện kỹ trình bày giải theo phương pháp quy nạp Sau học xong chuyên đề vận dụng phương pháp quy nạp tốn học để giải số dạng tốn, tơi tiến hành kiểm tra khảo sát mức độ hiểu, nắm kiến thức vận dụng 15 học sinh khảo sát ban đầu Kết thu sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 01 6,7% 04 26,6% 60% 01 6,7% Trên số nội dung việc vận dụng phương pháp quy nạp toán học đẻ giải số dạng tốn mà tơi áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS cho học sinh đại trà trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi đồng nghiệp thu kết sau: + Học sinh tiếp thu nhanh, dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn Học sinh vận dụng để giải số toán nâng cao dành cho hoc sinh giỏi + Học sinh tránh sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Kỹ trình bày giải theo phương pháp quy nạp tốt Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Người thầy cần phát huy tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải toán đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường C - KẾT LUẬN Tốn học kho tàng kiến thức vơ tận, việc nghiên cứu tìm phương pháp giải tốn cơng việc mà người dạy tốn phải thường xuyên làm Một mặt để nâng cao lực chuyên môn nghiệp vụ thân, đồng thời giúp cho tìm phương pháp giảng dạy hay, có hiệu quả, giúp học sinh có hứng thú học tập, rèn luyện kỹ giải toán Việc đổi phương pháp dạy học phụ thuộc nhiều vào trình độ chun mơn nghiệp vụ, lực sư phạm giáo viên Nhưng bên cạnh đó, hứng thú mơn học học sinh quan trọng Theo việc hứng thú với mơn học có em có tự tin, tự giải số tốn, dạng tốn Do q trình dạy học, người giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh hệ thống phương pháp học tập phương pháp giải toán, học sinh nắm hệ thống kiến thức phương pháp em có đủ tự tin, tự tìm tòi, nghiên cứu từ em thấy hứng thú mơn học Trong khuôn khổ sáng kiến đề cập đến việc vận dụng phương pháp quy nạp Toán học để giải dạng toán Tuy nhiên, thực tế phương pháp quy nạp Tốn học vận dụng để giải nhiều dạng toán khác đa dạng nhiều lĩnh vực khác Theo phương pháp có nhiều hiệu vận dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đào tạo nhân tài Hy vọng với nội dung nghiên cứu góp phần nhỏ vào trình giảng dạy giáo viên học tập học sinh, giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp học tập, từ có hứng thú học tập mơn Tốn XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Sơn Tây ngày 11 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép người khác Người viết Nguyễn Thị Thu Cúc ... hứng thú học tập, học sinh nắm chất phương pháp quy nạp tốn học, cách vận dụng vào giải toán rèn luyện kỹ trình bày giải theo phương pháp quy nạp Sau học xong chuyên đề vận dụng phương pháp quy. .. phương pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp khẳng định đắn số tự 8/32 Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn nhiên, phương pháp quy nạp tốn học 2, Nội dung phương pháp quy nạp Toán học: Trong toán học, phép quy. .. vận dụng phương pháp quy nạp Toán học để giải dạng toán Tuy nhiên, thực tế phương pháp quy nạp Tốn học vận dụng để giải nhiều dạng toán khác đa dạng nhiều lĩnh vực khác Theo phương pháp có nhiều