Quy nạp toán học là một hình thức chứng minh trực tiếp, thường được thực hiện theo hai bước. Khi cố gắng để chứng minh một mệnh đề là đúng cho tập hợp các số tự nhiên, bước đầu tiên, được gọi là bước cơ sở, là chứng minh mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên đầu tiên. Bước thứ hai, được gọi là bước quy nạp, là chứng minh rằng, nếu mệnh đề được giả định là đúng cho bất kỳ số tự nhiên nào đó, thế thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo. Sau khi chứng minh hai bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề là đúng cho tất cả các số tự nhiên
, , ˜ ˜ NGUYÊN HUU ÐIÊN , , ´ PHUONG PHAP ´ QUY NAP TOAN HOC , (Tai ´ ban lâ`n thu´, hai) , ´ BAN GIAO ` XUÂT ´ DUC NHA , , `, ban in, cac c Ebook 1.0 cua cuô´n sach ´ nguyên gô´c tu ´ ban tham , , , ´ ban Moi khao, cho y´ kiê´n sai s´ot va` lo` i khuyên tai liên , , , ˜ Hu ˜ u Ðiên ´ gia: Nguyên Tac Ðiên thoai: 0989061951 Email: huudien@vnu.edu.vn Web: http://nhdien.wordpress.com , Chiu ´ nhiêm trach xuâ´t ban: ´ dô ´ Giam ¯ ´c Ngô Trâ`n , , , Tông biên tâp Vu˜ Duong Thuy Biên tâp nôi dung: Ngô Long Hâu , Biên tâp t ´ b an: ,, ` Truong Công Thanh Tr`ınh bay ` b`ıa: Ta Trong Tr´ı , Chê´ ban: , ˜ Hu ˜,u Ðiên Nguên 51 05/796-00 GD − 00 Ma˜ sô´: 8H663M0 , ` ` I NOI ´ ÐÂU LO ,, , ´ râ´t manh ´ hoc ` Môt toan nghiên cu´ u phuong phap dung , , ´ gia thuyê´t la` nguyên ly´ quy nap ´ hoc va` chu´ ng minh cac ,toan C´o ,, , , ´ ´ v´ı du cac ´ môn hoc ` vô sô cac phô thông dung o ,chuong tr`ınh , , , , , ˜ ´ ` dê ´ vê` nguyên ly´ ¯ diên giai va` mô ta Nhung dê ¯ hiêu thâu d¯ao , , ´ dung ´ tao ´ du ` to´,i ky˜ thuât hoc ¯ o c ban ap tâp, sang râ´t ´ıt sach , , ` cung ˜ ´ n´oi riêng vê` vâ´n dê ` liêu d¯a˜ c´o môt sô´ sach Tai ¯` nuo´ c ngoai , , , , ` theo cung ˜ ´ nay, chua dâ ¯ `y d¯u va` râ´t nhiê`u nguo` i, kh´o tiê´p xuc , , ´, ` ` Tôi manh ´ nguyên du dan ¯ o c voi tai liêu thu thâp va` khao sat `˘ ´ ` ´ ly´ quy nap to an h oc theo m oi kh´ ı a c anh v a minh h oa cac , bang , , ` tâp ´ cung câ´p bai , chuong tr`ınh phô thông Ðây la` lo,ai sach , , , ˜ ng phuong phap ´ hoc ` tâp ´ va` thao luân nhu tâp va` giai bai cho cac ,`, , ` ´ ´ ´ ´ ban yêu th´ ı ch to an h oc, c ac thâ y cô gi ao, sinh viên c ac tru o ng su , ,, , ´ ban ` tai ` liêu ´ pham , va` cac o lo´ p hoc sinh gioi lam tiê´p tuc phat , ,, ` ´ kh´ıa canh triên Chuong dâ cua nguyên ly´ quy nap ¯ u xem x´et cac , , , ´ ´ ´ hoc ´ chung ´ toan d¯a˜ không chung Do khuôn khô cua cuô, n sach ,, ´ hoc ˘ k˜e su., tu,o,ng du minh can ¯ ong cua nguyên ly´ quy nap toan va` , , , , , , , , ´ dang tiên dê nguyên ly´ quy nap ¯ ` thu´ tu ; su tuong du ¯ ong cua cac , , , , ´ hoc v.v ´ cac ´ kh´ıa canh toan Chuong hai khao sat ky˜ thuât cua , ˜ chu,o,ng dung `, chu,o,ng ba môi ` Tu ` ´ cac ´ bai ` nguyên ly´ khao sat , , ,, ` ` ´ ´ ´ tâp vê m ôt lo ch u dê ch ı ap d ung phu o ng ph ap quy n ap to an ¯ , , , , ˜ sô´, H`ınh hoc, hoc nhu: Sô´ hoc, Day Ða thu´ c, Tô ho p, Liên phân sô´ , ´˘ c`on nhiê`u bai ` liêu ´ ` Tai tham khao c´o han chung va` ,chac ,, , , ,´ ˘ c´o sai s´ot thê hiên tâp hay chua n´oi toi,, hoac y´ ,tuong mong , , , , , ban ¯ i va` bô sung Moi chı: d¯oc cho,y´ kiê´n sua dô liên gui vê` d¯ia , ´ duc, Nha` xuâ´t ban Giao 81 Trâ`n Hung Ðao, Ha` Nôi ´ ˘ Ha` Nôi, th ang n am 2000 , ´ gia Tac , , CHUONG ´ QUY NAP ´ HOC NGUYÊN LY TOAN ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , ` gia thiê´t quy nap 1.3 Giai ¯ an quy nap va , ,, ´ hoc ´ c cua nguyên l´y quy nap 1.4 Hai buo toan 14 ,, ` d` ´ quy nap 1.5 Khi nao ung phuong phap 19 ` 1.6 Bai tâp 22 ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên , ´ niêm ˘ thu.,c tê´ la` suy Ðê minh hoa hai khai râ´t hay gap ˜ va` quy nap, ˜ diên biê´t: ta lâ´y câu ca dao Viêt Nam cung ¨Sô´ cô c´o me c´o cha Me cô d¯an ` ba` cha cô d¯an ` ông , ´ ` Sô cô c´o vo c´o chông , Sinh dâ ˘ gai th` trai.ă `u l`ong chang , , ´ cua ông thâ`y b´oi, ta d¯a˜ biê´t thâ`y b´oi chı Ðây la` câu ¯ an ´ m`o thôi, nhu,ng ông thâ`y b´oi câu ca dao ` râ´t khôn ¯ an , ` ´ ˘ la` dung mụt dinh luụn luụn dung ăai cung co me, khang co chaă , , , , ` d´ ´ dung ` cung ˜ ´ Tu cho nguo` i dê d¯ung luôn, ¯o du` ap ¯ ´n b´oi cu thê nao , , , , , ` khang ˜ ´ ˘ ˘ ngh˜ıa la` khang d¯inh riêng cung d¯ung Buo´ c suy luân tu , ˜,ng khang ´ dung ˘ d¯inh d¯inh cho nhu chung ap riêng biêt goi la` ph´ep , , , ˜ Ph´ep suy diên ˜ o v´ı du la` d¯ung ´ suy diên vo´ i hai câu dâ ¯ `u, ˜ va` quy nap 1.1 Suy diên , ,, , ´ hoc ` nhung c´o thê sai o hai câu sau Trong toan râ´t hay dung ph´ep , , ˜ ´ ´ d¯a˜ cho ˘ suy diên, chang han, g´oc cua môt nêu hai tam giac , , , 0 ` ´ ˘ la` 30 va` 70 , th` diờ dinh sau dung: ă Goc thu´ ba cua ¯ u khang , ,, ´ da cho la` 800 ă Mờnh ` ăTụng cac g´oc tam giac dê ¯ ` chung o dây ¯ la: , la` 180 ă cua môt tam giac ,, , Bây gio` ta d¯oc lai chuyên cuo` i dân gian Viêt nam: , , , ăBụn ụng thõ`y boi ru di ¯ xem voi To´ i chô˜ voi d¯u´ ng, bô´n ` so`, tân ` Vê` to´,i cho.,, thâ`y b´oi chen vao, tay, xem voi n´o thê´ nao bô´n thâ`y hop b`ınh phâm ,, ´ , Thâ`y so` du v`oi voi n´oi: ¯ o c cai , , , , , ,, , ` ´˘ t´e chı giô´ng d¯ıa cu c lo´ n Tôi so` vao - Tuong voi la lam, ,, n´o uô´n cong nguo` i lai , ´ chân, vôi ˜ Thâ`y ôm phai cai cai: , , ´ `,a tay cai ` vu ´ côt - Voi chı hêt côt nhu cai nha` Tôi ôm vao ´ cai , ´˘ phai cai ´ tai voi, chê: Thâ`y nam , , , ´ ´ bac ´ chı n´oi m`o Con voi thât - Cac quat tu a nhu cai to , ´, tuong , , ,, ´ phai cai ´ duôi Thâ`y tum voi, cuo` i khây: ¯ , ´ n´oi sai ca Tôi d¯a˜ tum ´ n´o tay, th`ı d¯ung ´ - Ba bac la` môt , , ´ chôi xê d¯ai cai ˜ ô`n ao ` môt Không chiu ai, bô´n thâ`y to tiê´ng cai goc , cho ă , , , ˜ ông thâ`y b´oi dê ` ˘ Môi khang d¯inh riêng cua m`ınh dê ¯ `u dung ¯ , , , ,, `, khang ´ phat ´ biêu khang ˘ ˘ d¯inh chung Buo´ c suy luân tu d¯inh ¯ an, , , , , , ´ biêu khang ` ˘ riêng tiê´n to´ i phat d¯inh chung du o c g oi l a ph´ e p quy ¯ ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan , ,, , ˘ nap d¯inh chung o dây d la` ăcon võt o la` voiă Nhu vây Khang , , ´ ` ` ´ biêu khang ˘ ˘ c´o môt ông thây b´oi dê d¯inh chung sai Chac ¯ u phat , , ´ ` ´ ` d´ ´ ´ ´ quy ˘ th`ı s˜e d¯ung ˘ ông nao mat Ta thây rang phuong phap ¯o sang , , , ,, ´ ´ ´ quy nap nap ¯ a dê ¯ n kêt qua nhân sai Phuong phap c´o thê du d¯inh ,, ` , ´ ´ ´ ´ hoc rât hay du ¯ o c dung nghiên cuu khoa hoc, nhât la` toan , , , , , ´ ´ ´ quy nap ` dây Nhu vây ta phai hiêu phuong phap thê nao ¯ chung , , , , ´ ` ´ dung ` dê ´ ˘ va` ap thê nao dê d¯inh d¯ung ¯ nhân ¯ o c mênh ¯ khang du ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , , ,, ´˘ gon ´ hoc ˘ Ðê ngan d¯inh toan ta ky´ hiêu môt khang la` P( x ), o ,, ,, , dây mênh dê ¯ x la` môt ¯ a vê` dang `ă biờn sụ Nguo` i ta thuo` ng du ,´ ` d´ ´ ` Voi moi o), P( x )ă Trong cuụn sach x (trong môt tâp S nao , , , ˜ ng sô´ tu nhiên , S la` tâp ´ sô´ tu nhiên (bao ta lâ´y x = n la` nhu cac ,, , , ` bô cac ´ sô´ nguyên duong) Ta su dung gô`m toan môt t´ınh châ´t râ´t , , , , , , , quan cua tâp sô´ tu nhiên, thuo` ng nguo` i ta công nhân nhu ,, , , môt ¯ ` (du ¯ o c goi ¯ ` thu´ tu ) tiên dê la` tiên dê , , ˜ tâp ˜ cua Tiên dê ´ rông nhu˜ ,ng sô´ tu , nhiên c´o ¯ `: Trong môi ho p khac , ,, môt phâ`n tu nho nhâ´t , ˜ sô´ tu., nhiên n u´,ng vo´,i môt ˘ Cho môi khang d¯inh P(n) V´ı du, , , ,, , ,´ , ´ ´ ˘ voi ta cho tuong u´ ng vo i khang dinh P(1): ăsụ la` mụt sụ leă, ,, , , ` ´ ´ ˘ sô cho tuong tu´ ng vo´ i P(2): ă sụ la` mụt Bang sụ ,chană; ,, , nhu võy khang ˘ d¯inh riêng phuong phap ta tao chung day ´ hoc P(1), P(2), , P(n), Nguyên ly´ quy nap toan cho ta môt , , ,, , ´ ´ kiêm tra khang ´ ˘ ˘ sai voi moi phuong phap d¯inh P(n) d¯ung hoac n , , , ´ hoc Nguyên ly´ quy nap l´ı sau: ¯ o c thê hiên toan du qua d¯inh Trong , , , ´ ` n´oi dê ´ sô´ sach ¯ ´n sô´ tu nhiên, ta hiêu d´ ¯o la` sô´ tu nhiên khac ´ hoc 1.2 Nguyên ly´ quy nap toan ,, Ðinh ly´ 1.1 Cho n0 la` môt dê ¯` sô´ nguyên duong va` P(n) la` mênh , , c´o ngh˜ıa vo´ i moi sô´ tu nhiên n ≥ n0 Nê´u A) P(n0 ) la` d¯ung ´ va` ˜ sô´ tu , nhiên B) Nê´u P(k ) d¯ung, ´ th`ı P(k + 1) cung ˜ d¯ung ´ vo´,i môi k ≥ n0 , , d´ dê ´ vo´,i moi ¯o mênh ¯ ` P(n) d¯ung sô´ tu nhiên n ≥ n0 , , , , `˘ phan chu´,ng Gia su,, ngu,o.,c Chu´ ng minh Ta s˜e chu´ ng minh bang , , ´ ˘ lai, dê d¯inh P(n) Ðinh l´ı 1.1 không d¯ung vo´ i ¯ ` khang mênh , , ` d´ môt ¯o Ngh˜ıa la` tô`n tai sô´ tu nhiên n ≥ n0 nao môt sô´ tu ,nhiên , ´ m ≥ n0 , ma` P(m) không d¯ung Ta lâ´y sô´ tu nhiên m nho nhâ´t ,, , ´ ` thu.,c hiên ma` P(m) không d¯ung (diê du ¯ `u ¯ o c tiên dê ¯ ` thu´ , , , `, d´ ˘ tu ) Theo diê ta c´o bâ´t d¯ang thu´ c m > n0 , tu ¯ `u kiên ¯o suy A), , , , , , ´ ´ ` bât d¯ang ` a lâp ´ chon ˘ m − ≥ n0 Tu thu´ c vu va` cach sô tu nhiên , ,, ´ m suy P(m − 1) la` d¯ung, nhung n´o không k´eo theo du ¯ o c P(m) , ´ ` trai ´ vo´,i gia thiê´t d¯ung cho sô´ tiê´p theo m = (m − 1) + Ðiê`u B) , ,, , ´ , `, mênh ´ tu ˘ Xuâ´t phat dê d¯inh vo´ i cac truo` ng ho p riêng, ¯ ` khang , , , , , ´ ˘ c´o thê nây sinh gia thiê´t mênh ˘ chang han sô´ 1, 2, hoac nhu cac , , , , , , ` ´ ´ ´ ´ ´ dê d ung v o i m oi sô t u nhiên Sau d´ o dê ch u ng minh gi a thiê t cua ¯ ¯ ¯ ¯ , , , , ` a xây du ng nguo` i ta ly´ luân ´ ta vu theo nguyên ly´ quy nap toan ,, , , , , ´ chu´ ng minh nhu vây hoc ´ quy Phuong phap goi la` phuong phap ,, ´ ` gô`m hai bu,o´,c, nap ´ hoc d¯inh ,l´ı phuong phap toan Theo , , , ˘ thu´ nhâ´t ta kiêm tra khang d¯inh môt t´ınh châ´t vo´ i n = n0 , goi , , , `˘ ˜ k ≥ n0 , P ( k ) la` Bu,o´,c co, so,; sau d´ nê´u vo´ i môi ¯o chu´ ng minh rang , ˜ t´ınh châ´t d¯a˜ biê´t, th`ı suy P(k + 1) cung ˜ thoa man c´o t´ınh châ´t , , , â´y, goi la` Buo´ c quy nap la` P(n) c´o t´ınh châ´t d¯a˜ cho vo´ i Kê´t luân , ´ ´ hoc ´ moi chu´ ng minh theo quy nap n ≥ n0 Cach toan la` tranh ❏ ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan , , , , ,, ´ ˘ dê cho ta phai kiêm tra vô han khang d¯inh cua mênh ¯ ` buo´ c cac , ` 1.3 Giai an quy n ap v a gi a thiê´t quy nap ¯ ,, ,, ´ ´ quy nap ´ hoc Phuong phap dung ¯ o c ap toan râ´t hay du , ´ ´ hoc, ´ nganh ` ´ nghiên cuu va` t`ım t`oi toan khoa hoc khac cac , , , , , ` ´ ap ´ dung ´ quy nap Ðê hiêu cach phuong phap ¯ y d¯u, ta xem cho dâ , ´ x´et môt ¯ nhu môt sụ v du sau dõy phep ăsuy luõn co lyă ma` G ` Polya da dờ câp , , V´ı du 1.1 Cho tru,o´,c môt ˜ t`ım tông cac ´ sô´ tu , sô´ tu nhiên n Hay nhiên 1, 2, , n , , , , Lo` i giai Ta ky´ hiêu Sn la` tông phai t`ım, ngh˜ıa la` Sn = + + · · · + n (1.1) , , , ´˘ gon Ta hy vong la` t`ım công thu´ c ngan ¯ t´ınh tông trên, công dê , , , ,, , ´ ta t´ınh nhanh, gon thu´ c d´ hon la` phai thu c hiên ¯o giup lâ`n luo t , ´ ph´ep công ˜ cac tông Ta cung biê´t dây nê´u ¯ la` câ´p sô´ công, , , ` th`ı ta c´o thê c´o công thu´ c t´ınh ban , d¯oc d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ nay, , ,, ´ dung tông Nhung o dây nguyên ¯ ta muô´n minh hoa qua´ tr`ınh ap , , ˜ ng diê ´ hoc ly´ quy nap ta bo ¯ `u d¯a˜ biê´t vê` câ´p sô´ công toan nên nhu , , qua, coi nhu chua biê´t , , , , `, d¯ang ` sô´ tu., nhiên ˘ Ta t´ınh tông Sn tu thu´ c (1.1) vo´ i môt vai , , ´˘ dâ `, Nhu ˜,ng kê´t qua t´ınh toan ´ cac ´ ˘ liên tiê´p, chang han ¯ `u tu bat , ,`, , ´ ` bang truong ho p riêng ta xêp vao n Sn 1 3 10 15 21 , , ,, ˘ Muc chung (khang d¯inh chung), ¯ıch cua ta la` t`ım du ¯ o c quy luât d´ , , , ,, ,´ , , ˜ sô´ tu nhiên o hang ` voi bang trên, môi bang cho tuong , ,, , , ` tâp 240 Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , , `˘ ˜ a1 , a2 , phai chu´ ng minh gio´ i han tô`n tai day Ta chu´ y´ rang , , ´ ho,n ta s˜e ˘ ˘ Ch´ınh xac tang, suy chı c`on kiêm tra n´o la` bi chan , , , ˘ chu´ ng minh bâ´t d¯ang thu´ c √ an < + c, (n = 1, 2, 3, ) , , , , √ √ , ˜ a1 c < + c Gia su, bâ´t d¯ang ˘ Thât vây, vo´,i n = (1) thoa man , ˜ vo´,i n nao ` d´ thu´ c (1) thoa man ¯o Khi d´ ¯o √ √ √ an+1 = c + an < c + (1 + c) < + c ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.6 L`oi giai va ´ bai chuong , , `˘ ´ Dê˜ dang ` 6.17 Go i y: chu´ ng minh bang quy nap theo n , , , `, môt ´ Tu ` ´ ˘ 6.18 Go i y: sô´ doan thang c´o thê tao da ¯ giac , , , , , , ´ ´ va` chı phai nho hon tông cac ¯ an lo´ n nhâ´t chung ¯ an c`on lai , , ,, ,, ´˘ d¯a˜ du ˜,ng manh n du ´ Nhu 6.19 Go i y: ¯ o c tô ¯ o` ng tr`on cat , ,, , , son theo gia thiê´t quy nap ¯ o` ng tr`on thu´ n + , Ta v˜e ,thêm môt du , `˘ du,o`,ng tr`on thu´, ` tâ´t ca cac ´ manh nam , d´ ¯o ta dô ¯ i mau , , , ˘ phang ˘ n + Nhu vây phai t`ım ta c´o mat , , ´ Tông cac ´ sô´ la` 2.3n 6.20 Go i y: , ,, , , ` go i y´ bai ` tâp 12.7 L`oi giai va chuong , , `˘ `,i giai: Ta chu´,ng minh bang 7.17 Lo quy nap theo n Vo´ i n = ´ mênh dê v`ı ¯ ` d¯ung, a a a a a = − = (− ) − (− ) x ( x + 1) x x+1 x+1 x , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , , ,, ˜ da Cho n > Ta biêu diên ¯ thu´ c P( x ) duo´ i dang 241 P( x ) = c + ( x + n) P1 ( x ), , , , , ,, `˘ o dây sô´, c`on bâc ¯ c la` hang cua P1 ( x ) nho hon n − Theo gia thiê´t quy nap P1 ( x ) = x ( x + 1) ( x + n − 1)( R1 ( x + 1) − R1 ( x )) , ,, ˜,u ty nao ` hu ` d´ o dây ¯ R1 ( x ) la` môt ¯o va` d´ ¯o ham P( x ) = x ( x + 1) ( x + n)( R( x + 1) − R( x )) ,, o dây ¯ c R ( x ) = R1 ( x ) − n x ( x + 1) ,( x + n − 1) , ´ y: ´ Nê´u bâc ˘ Chu d¯inh la` không ¯ `u khang cua, P( x ) la` n, diê ´ ˜ xem phan v´ı du sau d¯ung, ta hay P ( x ) = x ( x + 1) ( x + n − 1) ❏ , `˘ `,i giai: Chu´,ng minh bang 7.18 Lo quy nap Nê´u n = 0, theo n , , ` ˘ ˘ P( x ) = a môt sô´ va` d´ ¯o P( x ) = a.P0 ( x ) Gia thiê´t khang hang , , , , , n ´ d¯inh vo´ i tâ´t ca da ¯ thu´ c bâc d¯ung nho hon n va` P( x ) = an x + · · · , , ˘ bn = n!an Ða thu´,c P( x ) − bn Pn ( x ) s˜e c´o bâc Ta d¯at không lo´ n hon , n − va` c´o ngh˜ıa la` theo gia thiê´t quy nap c´o sô´ b0 , b1 , , bn−1 cho P( x ) − bn Pn ( x ) = bn−1 Pn−1 + · · · + b0 P0 ( x ) , , , ´ ˘ Suy khang d¯inh d¯ung cho ca da ¯ thu´ c P( x ) ❏ , , , `,i giai: 1) Vo´,i n = d¯ang ˘ 7.19 Lo thu´ c c´o dang u1 x = 3 , x +x −x u1 x + u2 x − x , ` ´ ˘ la` x = ˘ hoac , d¯ang thu´ c d¯ung x2 + x − x +x−1 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai 242 , , , ´ , `˘ ` d´ ˘ 2) Chu´ ng minh rang d¯ang thu´ c d¯ung vo´ i sô´ n nao ¯o Ta s˜e , , , , ˜ ´ ˘ thu´ c cung chu´ ng minh d¯ang d¯ung cho n + Thât ¯ i vây, ta biê´n dô n +1 Fn+1 ( x ) = ∑ uin = Fn (x) + un+1 xn+1 i =1 u n x n +2 + u n +1 x n +1 − x + u n +1 x n +1 x2 + x − , , ,, ` công thu´,c un+2 = un + un+1 ta nhân Biê´n dô ¯ i du a vao ¯ o c du = Fn+1 ( x ) = u n +1 x n +3 + u n +2 x n +2 − x , ( x + x − = 0) x2 + x − , , ´ Tiê´n hanh ` 7.20 Go i y: nhu 7.16 , , ´ Tiê´n hanh ` 7.21 Go i y: nhu 7.16 , `˘ `,i giai: Chu´,ng minh bang 7.22 Lo quy nap theo n 1) n = 0, Khi d´ ¯o P( x ) = a0 Nê´u |1 − a0 | < va` | a − a0 | < , Khi d´ ¯o | a − 1| = | a − a0 + a0 − 1| ≤ | a − a0 | + | a0 − 1| < 2, nhung ˜ dê ´ a ≥ dân ¯ ´n vô ly! , ,, , , ´ 2) Gia su mênh dê vo´ i k ≤ n − Ta x´et da ¯ ` d¯ung ¯ thu´ c P ( x + 1) − P ( x ) a−1 , , `˘ ` Dê˜ dang thâ´y rang Q( x ) la` da ¯ thu´ c bâc n − Theo gia thiê´t quy nap tô`n tai sô´ i (0 ≤ i ≤ n − 1) cho Q( x ) = P ( i + 1) − P ( i ) | a−1 | ai+1 − P(i + 1) − + P(i )| | ai+1 − P(i + 1)| | − P(i )| = ≤ + a−1 a−1 a−1 ≤ | − Q(i )| = | − , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 243 , , , ,, ´ sô´ hang C´o ´ıt nhâ´t môt không nho hon Gia su d´ ¯o la` cac , a−1 , , biêu thu´ c thu´ nhâ´t, th`ı v`ı ≥ a ≥ 3, | ai+1 − P(i + 1)| ≥ a−1 ≥ , , , ,, , , , Tuong tu , nê´u biêu thu´ c thu´ hai không nho hon , th`ı | − P(i )| ≥ ❏ , 1 `,i giai: 1) Vo´,i n = Khi d´ 7.23 Lo ¯o P1 ( x ) + P1 ( ) = x + va` x x , , ,, ˘ bâ´t d¯ang thu´ c nhân ¯ o c c´o dang du ≥ 2, ( x > 0) (12.5) x , , ,, ,, ,, , ˘ V`ı x > 0, nên bâ´t d¯ang thu´ c vua`˘ nhân ¯ o c tuong du ¯ ong vo´ i du ´ ( x − 1)2 ≥ va` suy mênh dê ¯ ` d¯ung 1 , Vo´ i n = ta c´o P2 ( x ) + P2 ( ) = ( x2 + 1) + ( + 1) = x2 + x x , 1 , `˘ + Câ`n phai chu´ ng minh rang P2 ( x ) + P2 ( ) ≥ + + (1 + x x , , , 2 ` (12.5) Gia su, ` suy tu ˘ la` x + ≥ 2; diê (−1) ) = hoac ¯ `u x , , , ` ´ ´ ´ ˘ thu´ c sau d¯ung mênh dê d ung v o i n Ta c´o bâ´t d¯ang ¯ ¯ x+ 1 Pn ( x ) + Pn ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n ) x , , , , ´ , ˘ thu´ c d¯ung cho n + Ta s˜e chu´ ng minh truo´ c tiên bâ´t d¯ang 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n+2 ) x , , , ˜ d¯ang ˘ Chu´ y´ Pn thoa man thu´ c Pn+2 ( x ) = x n+2 + Pn ( x ) Suy 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) = [ Pn ( x ) + Pn ( )] + [ x n+2 + n+2 ] x x x 244 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , , `, cac ´ d¯ang ´ ˘ ˘ Theo (*) bâ´t d¯ang thu´ c sau d¯ung x n+2 + n+2 ≥ Tu x , , , , ` ˘ thu´ c va` bâ´t d¯ang thu´ c sau cung va` gia thiê´t quy nap ta c´o: 1 Pn+2 ( x ) + Pn+2 ( ) ≥ n + + (1 + (−1)n ) + x = (n + 2) + + (1 + (−1)n+2 ) n n + ` ˘ Ta chu´ y´ rang (−1) = (−1) Theo nguyên ly´ quy nap mênh , , , , ` ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ dê voi moi voi n = 1) va` d¯ung voi moi ¯ d¯ung sô le n (v`ı n´o d¯ung , , , , , ˜ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ (v`ı n´o d¯ung ˘ n chan voi n = 2) Nhu vây thuc d¯ung voi bât dang moi n ≥ ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.8 L`oi giai va ´ bai chuong , , `,i giai: 1) vo´,i n = khang ´ ˘ 8.19 Lo d¯inh d¯ung, v`ı cos x − cos2 x cos x (1 − cos x ) cos x − cos 2x − = = = cos x x x x sin2 sin2 sin2 2 2) Cho (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − cos x + cos 2x + · · · + k cos kx = x sin2 Khi d´ ¯o cos x + cos 2x + · · · + k cos kx + (k + 1) cos(k + 1) x = (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − + (k + 1) cos(k + 1) x x sin2 (k + 1) cos kx − k cos(k + 1) x − 2(1 − cos x )(k + 1) cos(k + 1) x = + x x sin2 sin2 2 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx 2(k + 1) cos x cos(k + 1) x + = − x x sin2 sin2 2 = , ,, , , ` tâp 12.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 245 (k + 2) cos(k + 1) x + (k + 1) cos kx − x sin2 (k + 1)[cos(k + 2) x + cos kx ] + − x sin2 (k + 2) cos(k + 1) x − (k + 1) cos(k + 2) x − = x sin2 = ❏ , , `,i giai: 1) Vo´,i n = khang ´ ˘ 8.20 Lo d¯inh d¯ung, v`ı π π + i = 2 (cos + i sin ) 4 , ,, , , ´ 2) Gia su d¯ung vo´ i n = k, tu´ c la` k (1 + i )k = 2 (cos kπ kπ + i sin ) 4 Khi d´ ¯o kπ kπ π π + i sin ).2 (cos + i sin ) 4 4 k +1 ( k + 1) π ( k + 1) π 2 (cos + i sin ) 4 k (1 + i )k+1 = 2 (cos ❏ , , , `,i giai: Vo´,i n = d¯ang ´ ˘ 8.21 Lo thu´ c d¯ung: a1 b1 + a2 b2 = , a2 (b1 + b2 ) − ( a2 − a1 )b1 = a2 B2 − ( a2 − a1 ) B1 Ta s˜e chu´ ng minh , , , ´ ` d´ ˜ ´ ˘ nê´u khang d¯inh d¯ung vo´ i n nao d¯ung vo´ i n + ¯o, th`ı n´o cung Ta c´o n +1 n µ =1 µ =1 ∑ a µ bµ = ∑ a µ bµ + a n + bn + n −1 = [ an Bn − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ ] + an+1 bn+1 µ =1 (12.6) , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai 246 ,, , Nhung bn+1 = Bn+1 − Bn o dây an Bn + an+1 bn+1 = an Bn + ¯ , , ,, ´ ´ ` kêt qua cuôi cung ` an+1 ( Bn+1 − Bn ) Tu va` (12.6) ta nhân ¯ o c du n −1 n +1 ∑ aµ bµ = an+1 bn+1 − ( an+1 − an ) Bn − µ =1 ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 n = a n + bn + − ∑ (aµ+1 − aµ ) Bµ µ =1 , , `˘ `,i giai: Ta chu´,ng minh bang 8.22 Lo quy nap theo k Vo´ i k = , `˘ ` bang tông m = (12.7) 1− m+1 m+1 ,, ,´ Voi k = ta t´ınh du ¯ o c 2.1 m 1− + = (12.8) m + (m + 1)(m + 2) m+2 , , , , , `˘ `, d¯ang ˘ Tu thu´ c (12.7) va` (12.8) du ¯ a dê ¯ ´n giai thiê´t tông (12.6) bang m , `˘ Ta s˜e chu´ ng minh rang m+k ( k + 1) k (k + 1)k 2.1 k+1 + − · · · + (−1)k+1 1− n + (m + 1)(m + 2) (m + 1)(m + 2) (m + k + 1) m = (12.9) m+k+1 , ` Ta du d¯inh ngh˜ıa sau ¯ a vao ˘ i < 0, hoac ˘ i > k; nê´u hoac 0, Qi ( k ) = k ( k − ) ( k − i + 1) (−1)i , nê´u ≤ i ≤ k ( m + 1) ( m + i ) , Khi d´ ¯o (12.9) c´o thê viê´t k +1 k +1 i ∑ Qi (k + 1) = ∑ [Qi (k) − m + i Qi−1 (k)] = i =0 i =0 = k +1 k +1 i =0 i =0 i ∑ Q i ( k ) − ∑ m + i Q i −1 ( k ) = , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong = k k i =0 i =0 i+1 ∑ Qi ( k ) − ∑ m + i + Qi ( k ) k = 247 m ∑ m + i + Qi ( k ) i =0 k = m m ∑ m + i + 1.m + k + i =0 m+k+1 Qi ( k ) m = k m m+k+1 Qi ( k ) ∑ m + k + i =0 m + i + = k m m+k+1+i−i Qi ( k ) ∑ m + k + i =0 m+i+1 = k k m k−i [ ∑ Qi ( k ) + ∑ Qi (k )] m + k + i =0 m+i+1 i =0 = k k m m [ ∑ Qi (k) − ∑ Qi+1 (k)] = m + k + i =0 m+k+1 i =0 ❏ , ,, , , ` go i y ` tâp 12.9 L`oi giai va ´ bai chuong , , , ,, ` ,, ´ a) ap ´ dung ˘ thu´ c o bai 9.4 ta nhân 9.11 Go i y: d¯ang ¯ o c du P2i P q2i − 2i−2 = −(−1)2i−1 , Q2i Q2i−2 Q2i Q2i−2 P2i P `, d´ tu > 2i−2 (i = 1, 2, ) ¯o c´o Q2i Q2i−2 ,, , , b) tuong tu nhu phâ`n a) , ,, P1 P3 `,i giai: a) Day ˜ ` tâp 9.12 Lo , , hôi tu, boi v`ı theo bai Q1 Q3 , , , , ˜ giam, mat ´ sô´ hang ˘ khac ˘ th`ı day cua n´o dê ¯ `u duong Ta d¯at 248 , ,, , , ` tâp Chuong 12 Lo` i giai va` go i y´ bai , , P0 P2 P2i+1 `˘ ˜ ˜ day , , cung hôi tu; dê ω = lim Ta s˜e chı rang ¯ Q0 Q2 i →∞ Q2i +1 , , , ,, ˘ phai, v`ı ta d¯a˜ biê´t chu´ ng minh du ¯ o c diê ¯ `u d´ ¯o câ`n chı n´o bi chan , ` `, (9.13) ta c´o ˜ tang ˘ nhu bai tâp Thât n´o d¯a˜ la` day vây, tu P2i+1 Q2i − P2i Q2i+1 = (−1)2i = 1, `, dây tu ¯ P2i+1 P P Q − P2i Q2i+1 − 2i = 2i+1 2i = > (12.10) Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 Q2i Q2i+1 , , , , P ˜ phân sô´ xâ´p xı vo´,i chı sô´ le ˘ α = limi→∞ 2i Bo,i v`ı day Ta d¯at Q2i , P2m , , ˜˘ th`ı ω ≤ ω Mat ´ ˘ khac < trôi hon phân sô´ vo´ i chı sô´ chan, Q2m , P2n+1 ˘ ω , (m = 0, 1, ) va` ω < , (n = 0, 1, ) Suy bâ´t d¯ang Q2n+1 , thu´ c P P2m < ω ≤ ω < 2n+1 Q2m Q2n+1 , , `˘ ˜ tâ´t ca sô´ tu., nhiên m, n Ta s˜e chu´,ng minh rang thoa man ω = , , , ,, P2i+1 P2i ` ta phai kê´t luân ω Ðê d¯at − c´o thê tro ¯ıch muc d´ Q Q2i 2i +1 , , , , ´ ` ` day ˜ Q0 , Q1 , rât nho i d¯u lo´ n Theo bai ¯ n di ¯ , , , ` (12.10) ta nhân ˘ tang suy Qn ≥ n, (n = 0, 1, ) Khi d´ ¯o tu ¯ o c du P2i+1 P 1 0< − 2i = ≤ , Q2i+1 Q2i Q2i Q2i+1 2i (2i + 1) `, dây tu ¯ P P P2i+1 P lim ( − 2i ) = lim 2i+1 − lim 2i = ω − ω = Q2i i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i +1 i →∞ Q2i , , Pn Ta ky´ hiêu ω gia´ tri chung cua ω va` ω c´o thê viê´t ω = nlim →∞ Qn , , ` la` gia´ tri cua liên phân sô´ Ta da Theo d¯inh ngh˜ıa gio´ i han ¯ ,, , , ´ phâ`n tu nguyên la` hôi chu´ ng minh xong moi liên phân sô´ vo´ i cac tu ❏ , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 249 , ´ Theo bai ` liên phân sô´ d¯a˜ cho la` hôi 9.13 Go i y: tu, ta c´o , ´ thê viêt ω = (1, 1, ) = (1, ω ) = + , ω , ,, `˘ Ta thâ´y rang ω la` nghi cua phuong tr`ınh ω − ω − = V`ı √ êm 1+ ω > 0, th`ı ω = , , `,i giai: Tu `, nhu ˜,ng t´ınh châ´t cua liên phân sô´ ta nhân 9.14 Lo ,, du ¯ o c ω− Pi P ω + Pi−1 P Qi Pi−1 − Qi−1 Pi = i i +1 − i = Qi Q i ω i +1 + Q i −1 Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) va` theo (9.13) ta c´o δi = |ω − Pi |= Qi Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) (12.11) V`ı ω i +1 > q i +1 , (12.12) `, dây th`ı Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) > Qi ( Qi qi+1 + Qi−1 ) = Qi Qi+1 tu ¯ ´ Q i ( Q i ω i +1 + Q i −1 ) = Q i ( Q i ( ω i +1 − q i +1 ) + ˘ khac δi < mat Q i Q i +1 , , ,, ` ˘ Qi qi+1 + Qi−1 ) va` dung bâ´t d¯ang thu´ c (12.12 ) ta nhân ¯ o c du Qi ( Qi ωi+1 + Qi−1 ) < Qi ( Qi + ( Qi qi+1 + Qi−1 )) = Qi ( Qi + Qi+1 ) ,, `, dây Tu ¯ va` (12.11) ta t`ım du ¯ o c δi > Q i ( Q i + Q i +1 ) ❏ , ` TAI LIÊU THAM KHAO [1] Phu,o,ng phap ´ Ðirichlê va` u´,ng dung, , , ˜ ˜ u Ðiên, NXB KHKT, 1999 Nguyên Hu , [2] Phu,o,ng phap ´ sô´ phu´,c va` h`ınh hoc phang, ˘ , ˜ Hu ˜,u Ðiên, NXB ÐHQG, 2000 Nguyên [3] Metod matematiqeskonj u indukcii, I S Sominskinj u, Moskva, 1961 [4] Matematiqeska indukci , L Petruxev, Sofi , 1983 [5] Problem-Solving through problems, Loren C Larson, Springer-Verlag, 1983 [6] Cac ´ dê ´ cac ´ nu,o´,c, ¯ ` thi vô d¯ich toan , X.V Cônhiagin, G.A Tônôian, I.F Sarugin, NXB GD, 1996 [7] Ph´ep quy nap h`ınh hoc, L.I Golovina, I.M Yaglom NXB GD, 1997 250 NÔI DUNG `,i noi ´ dâ Lo ¯ `u ,, ´ hoc Chuong Nguyên ly´ quy nap toan ˜ va` quy nap 1.1 Suy diên 4 ´ hoc 1.2 Nguyên ly´ quy nap toan , 1.3 Giai ¯ an quy nap va` gia thiê´t quy nap , ´, , ´ hoc 1.4 Hai buoc cua nguyên ly´ quy nap toan 14 , , ` dung ` ´ quy nap 1.5 Khi nao phuong phap 19 ` tâp 1.6 Bai 22 ,, ,, ` ´ quy nap ´ hoc Chuong Ky˜ thuât phuong phap dung toan 23 ´ hoc 2.1 Môt nguyên ly´ quy nap sô´ dang toan 23 ´ hoc 2.2 Mênh dê ¯ ` nguyên ly´ quy nap toan ,, ,, , 2.3 Buo´ c quy nap ¯ o c xây du ng P(k) du ,, ,, , 2.4 Buo´ c quy nap ¯ o c xây du ng P(k + 1) du ´ hoc 2.5 Quy nap toan va` ph´ep truy hô`i , ´ hoc ´ hoa´ 2.6 Quy nap toan va` tông quat 31 ` tâp 2.7 Bai , ,, ´,c tông quat ´ Chuong T`ım công thu 3.1 Câ´p sô´ công va` câ´p sô´ nhân , , ´ 3.2 T´ınh tông va` sô´ hang tông quat ,, 3.3 Phuong tr`ınh truy hô`i tuyê´n t´ınh 251 36 40 43 51 55 57 57 66 71 252 NÔI DUNG , , ˜,ng luy `,a cung ˜ thu ` ´ sô´ tu., nhiên bâc 3.4 Tông cua nhu cac ` tâp 3.5 Bai ,, Chuong Sô´ hoc 4.1 Ph´ep chia hê´t 84 87 89 89 ´ Euclide 94 4.2 Thuât toan , 4.3 Sô´ phu´ c 99 ˜,ng v´ı du khac ´ 105 4.4 Nhu ` tâp 4.5 Bai ,, ˜ sô´ Chuong Day ˜ sô´ tu., nhiên 5.1 Day , ˜ trôi 5.2 Day hon , , , ˜,ng bâ´t d¯ang ˘ 5.3 Nhu thu´ c nôi tiê´ng , ˜ 5.4 Day ¯ n di ¯ 5.5 Sô´ e 108 110 110 117 121 128 131 ˜ sô´ Fibonacci 5.6 Day 134 ` tâp 5.7 Bai ,, Chuong H`ınh hoc 139 140 ´ hoc 6.1 V´ı du quy nap toan cho h`ınh hoc 140 ` tâp 6.2 Bai ,, ´,c Chuong Ða thu , `,a sô´ 7.1 Phân t´ıch da ¯ thu´ c thu 154 ´ ´ sô´ 7.2 Nguyên ly´ so sanh cac , , ` cua da 7.3 Ðao ¯ thu´ c ham , 7.4 Ða thu´ c Chebychev 156 156 160 169 172 NÔI DUNG 253 ` tâp 7.5 Baii , , , ,, ´,c ˘ Chuong Tô ho p va` d¯ang thu , , , 8.1 Môt sô´ công thu´ c tô ho p , , ˘ 8.2 Môt thu´ c sô´ d¯ang 174 ` tâp 8.3 Bai ,, Chuong Liên phân sô´ 176 176 186 193 194 ´ niêm 9.1 Khai liên phân sô´ , ˜,u ty ` 9.2 Phân t´ıch sô´ hu liên phân sô´ , 9.3 Phân sô´ xâ´p xı 198 9.4 Liên phân sô´ vô han 203 9.5 V´ı du 204 ` tâp 9.6 Bai ,, Chuong 10 Môt ¯ ` thi vô d¯ich sô´ dê , ,, , ` tâp Chuong 11 Bai tu giai , ,, `,i giai va` go.,i y´ bai ` tâp Chuong 12 Lo , , , , , ` tâp 12.1 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.2 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.3 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.4 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.5 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.6 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.7 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.8 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong , ,, , , ` tâp 12.9 Lo` i giai va` go i y´ bai chuong 210 194 196 212 226 231 231 233 236 236 237 240 240 244 247 254 , ` ´ Thu c hanh t´ınh toan Muc luc 250 , , ´ QUY NAP ´ HOC PHUONG PHAP TOAN Ma˜ sô´: 8H663M0 , , In 3.000 ban (21TK), khơ 14, × 20, cm Tai Công ty In Ba ´ ´ Ð`ınh, Thanh H´oa Sô in: 127; Sô XB 05/796-00 , , ´ ˘ 2000 In xong va` nôp nam luu chiêu thang ... ´ QUY NAP ´ HOC NGUYÊN LY TOAN ˜ va ` quy nap 1.1 Suy diên ´ hoc 1.2 Nguyên l´ y quy nap toan , ` gia thiê´t quy nap 1.3 Giai ¯ an quy nap va , ,, ´ hoc ´ c cua nguyên l´y quy. .. THUÂT DUNG PHUONG PHAP ´ HOC QUY NAP TOAN ´ hoc 2.1 Môt nguyên l´ y quy nap sô´ dang toan ´ hoc 2.2 Mênh dê ¯ ` nguyên l´y quy nap toan ,, ,, , ´ c quy nap 2.3 Buo du o c xây d u... kiêm tra vô han khang d¯inh cua mênh ¯ ` buo´ c cac , ` 1.3 Giai an quy n ap v a gi a thiê´t quy nap ¯ ,, ,, ´ ´ quy nap ´ hoc Phuong phap dung ¯ o c ap toan râ´t hay du , ´ ´ hoc, ´