hang cua ma tran1

Bài 5: Hạng ma trận Các nội dung chính:  Khái niệm hạng ma trận  Liên hệ với định thức  Các phương pháp tìm hạng  Khảo sát hệ véc tơ nhờ vào hạng Bài 5: Hạng ma trận  Khái niệm hạng ma trận Trước tiên ta ý: × × Hệ véc tơ dòng , ,…, , ,…, Định nghĩa: Hạng ma trận A hạng hệ véc tơ cột Ký hiệu là: r(A), hay rank(A) = , ,…, Nhận xét:  ≤ ( × )≤ , Hạng ma trận khơng vượt q số dòng số cột  = ∘ Trong A tồn tại cột ĐLTT ⟺ ∘ Các cột còn lại của A bdtt qua cột đó Ví dụ: Xét ma trận: = , − − − − ĐLTT? = + , = − ⟹ =  Liên hệ hạng ma trận định thức Khái niệm định thức ma trận: = Cho ma trận Lấy số tự nhiên , Xét s dòng: s cột: , × ≤ , ,…, ,…, Lập ma trận vng cấp s cách giữ lại s dòng s cột chọn Định thức ma trận gọi định thức cấp s ma trận A ký hiệu là: , ,…, , ,…, Số lượng: ⟶ Chỉ số cột ⟶ Chỉ số dòng Ví dụ: Cho ma trận − = − −  Các định thức cấp 1: (SL: = = = ,…, ) =  Các định thức cấp 2: − = − − (SL: = ) = = = =− , ,…  Các định thức cấp 3: − = (SL: − − = ) − = =− , − − = − − = = − ,… − 10 Chú ý 2: Ta có khái niệm định thức bao quanh: Cho định thức cấp s A( < = , … … ) ổ ò Định thức cấp s+1 bao quanh D ê , ộ ủ ò , ộ ọ = … … 21 Lưu ý: • Tổng số định thức cấp + A là: • Tổng số định thức cấp + − bao quanh D A là: − Số lượng định thức cấp s+1 22 = Ví dụ 3: Cho × = Có định thức cấp bao quanh D, tìm cơng thức xác định chúng 50:50 , A: 2; C:3; , B:3; , D: 2; , , , 23 Mệnh đề: Nếu ma trận A • Có định thức ≠ ,cấp s • Mọi định thức cấp + bao quanh ⟹ = Định lý chứng minh hoàn toàn tương tự định lý vè mối quan hệ hạng định thức (xem Bài tập) 24 Các phương pháp tìm hạng ma trận: • Phương pháp định thức bao quanh: Bước 1: Xuất phát từ định thức khác 0, cấp s (của A): ≠ Ta tính định thức cấp s+1 bao quanh D 25  Nếu tất định thức cấp s+1 bao quanh D 0, r(A) = s  Nếu gặp định thức cấp s+1 bao quanh khác 0: ≠ , ta chuyển sang Bước Bước 2: Lặp lại Bước (với điểm xuất phát ) 26 Ví dụ 1: Tìm r(A), với: − = − − − − Giải: • Xét: = = − − = ≠ • Có định thức cấp bao quanh D là: , 27 − = − − − − − • Ta có: = − − − − = , − = − • = − Vậy tất định thức cấp bao quanh D Do đó, r(A) = 28 Ví dụ 2: Tìm r(A), với: − = − − − − − Giải: • Xét: = − = − =− ≠ • Có định thức cấp bao quanh D là: , , 29 − = − • Ta có: = , − − − = − = , − − = − • Vậy r(A) = − − = ≠ − 30 Ví dụ 3: Tùy theo m tìm r(A), với: − = − − − Giải: • Xét: = = =− ≠ • Có định thức cấp bao quanh D là: , , , 31 − − = − − − • = − = ≠ • Có định thức cấp bao quanh = =? 32 − = − − − = + Có hai trường hợp xảy ra: • = ⟺ + ⟹ • ≠ ⟺ ⟺ =− ⟺ ≠− = + ⟹ = ≠ = 33 Phương pháp biến đổi Như biết phép biến đổi sơ cấp hệ véc tơ dòng hệ véc tơ cột ma trận khơng làm thay đổi hạng hệ véc tơ Do chúng khơng làm thay đổi hạng ma trận 34 Phương pháp biến đổi ế đổ ấ ê ệ é ò ặ ộ B ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Khác = ( ≤ , ⟹ ≠ ∀ = , , … , ) = = ………… 35…………