bài tập hang cua he vec to

Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của một hệ véc tơ được gọi là hạng của hệ véc tơ đó... Các định lý cơ bản về hạngĐịnh lý 1: Hạng của một hệ véc tơ bằng r khi và chỉ khi trong hệ vé

§5 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Các nội dung chính:

I Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ

vectơ.

II Các định lý cơ bản về hạng.

III Các phép biến đổi không làm thay đổi

hạng.

1 Phép biến đổi thêm - bớt vectơ

2 Các phép biến đổi sơ cấp

§5 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ

I Khái niệm cơ sở và hạng của một hệ

vectơ.

Định nghĩa: Cho hệ véc tơ: , , … , (∗)

Cơ sở của hệ véc tơ (∗) là một hệ con của nó thoả mãn hai điều kiện:

+ Độc lập tuyến tính

+ Mọi véc tơ của hệ (∗) biểu diễn tuyến tính

qua các véc tơ của hệ con đó

Ví dụ: Cho hệ véc tơ:

= (1,2, −1)

= (0,2,1)

= (1,0, −2)

= (2,2, −3)

Nhận xét:

+ , ĐLTT

Hiển nhiên, = + 0 , = 0 +

Vậy , là một cơ sở của hệ véc tơ , , ,

Nhận xét:

+ Trong điều kiện thứ 2 của định nghĩa, ta chỉ cần chứng tỏ các véc tơ còn lại của hệ (∗) biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ con

+ Một hệ véc tơ cho trước có nhiều cơ sở khác nhau, tuy nhiên số véc tơ trong mỗi cơ

sở đều bằng nhau

Định nghĩa: Số véc tơ trong mỗi cơ sở của

một hệ véc tơ được gọi là hạng của hệ véc tơ

đó Ký hiệu là:

( , , … , ) hay ( , , … , )

Ví dụ: Trong ví dụ trước, hệ véc tơ:

= (1,2, −1)

= (0,2,1)

= (1,0, −2)

= (2,2, −3)

Có hạng bằng 2: , , , = 2

Nhận xét: 0 ≤ , , … , ≤ ,

m: số véc tơ, n: số chiều của

Hãy phát biểu bằng lời

II Các định lý cơ bản về hạng

Định lý 1: Hạng của một hệ véc tơ bằng

r khi và chỉ khi trong hệ véc tơ đó tồn tại một hệ con gồm r véc tơ ĐLTT và mọi hệ con có số véc tơ lớn hơn r (nếu có) đều PTTT.

Nói cách khác, hạng của một hệ véc tơ chính là số véc tơ ĐLTT cực đại trong

hệ véc tơ đó.

rank X , X , … , X = r

⟺ ∘ Tồn tại hệ con gồm r véc tơ ĐLTT

∘ Mọi hệ con có số véc tơ > r đều PTTT

Chứng minh định lý trên ?

(xem giáo trình trang 97)

Hệ quả 1: Một hệ véc tơ PTTT khi và chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó nhỏ hơn số véc tơ của hệ đó.

Nói cách khác, một hệ véc tơ ĐLTT khi và chỉ khi hạng của hệ véc tơ đó đúng bằng

số véc tơ của nó.

Hệ quả 2: Nếu hạng của hệ véc tơ bằng

r thì mọi hệ con gồm r véc tơ ĐLTT của

hệ véc tơ đó đều là cơ sở của nó.

Định lý 2: Cho hai hệ véc tơ n chiều:

, , … , (1) , , … , (2)

Nếu mọi véc tơ của hệ (1) đều biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ của hệ (2) thì hạng của hệ

(1) không lớn hơn hạng của hệ (2).

Hãy chứng minh định lý này?

Sách giáo trình trang 98

III Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng.

1) Phép thêm bớt:

Cho hai hệ véc tơ:

, , … , (1) , , … , ; (2)

(1) ê à é ơ " "(2) (2) ớ đ é ơ " "(1)

Định lý: Cho hai hệ véc tơ:

, , … , (1)

, , … , ; (2)

, , … , = ( , , … , ; )

Như vậy, hạng của một hệ véc tơ không thay đổi khi ta thêm vào hoặc bớt đi một véc tơ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại.

2) Các phép biến đổi sơ cấp

Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối

với một hệ véc tơ được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

(i) Đổi chỗ hai véc tơ của hệ.

(ii) Nhân một véc tơ của hệ với một số k ≠ 0. (iii) Cộng vào một véc tơ của hệ tích của một véc tơ khác trong cùng hệ đó với một số bất kỳ

Định lý 2: Các phép biến đổi sơ cấp không

làm thay đổi hạng của hệ véc tơ chứngHãy

minh

Ví dụ: Cho X, Y là hai véc tơ n chiều

CMR: Hạng của hệ véc tơ

= { + , − , + , + , … ,

bằng hạng của hệ véc tơ ,

Giải