HƯỚNG DẪN GIẢI OXY – PHẦN 1 – CÂU 8 9.

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A là điểm đối xứng của A qua C. Đường thẳng đi qua K, vuông góc với BC, cắt BC tại E và AB tại N ; 1 3 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết 0 AEB  45 , phương trình đường thẳng BK : x y 3 15 0    và B có hoành độ lớn hơn 3. Hướng dẫn giải. ♥ Bước 1: Dựng hình: Ta phát hiện tính chất quan trọng của bài toán chính là : NC BK  . Đồng thời NFB vuông cân tại F.  Ta nhận thấy để chứng minh NC BK  thì ta chỉ cần chứng minh C là trực tâm tam giác KNB (dễ thấy KA AB CB NK   ,  Đồng thời do ECAN là tứ giá nội tiếp nên ta có AEB CNB NFB    vuông cân tại F với F BK NC   . ♦ Bước 2: Nhận xét và phân tích: Viết phương trình  , ?;?    F BK NC NC qua N BK F     Viết phương trình đường tròn F có tâm F, bán kính R NF  Ta có:     3 ?;? B x B BK F B      viết phương trình BN qua N vtcp BN  ; :  Ta có: K BK C CN       2 ẩn nên cần 2 phương trình ? . 0 CK BN C latrung diem AK A BN KC BN KC u          ♣ Bước 3: Trình bày lời giải: (các phần chứng minh, bạn đọc xem ở dựng hình) Ta có: NC BK NC x y m      : 3 0, NC qua N m NC x y        1;3 10 : 3 10 0  Gọi F BK NC    tọa độ F thỏa hệ 3 15 0 7 9 ; 3 10 0 2 2 x y F x y                 Ta có:   0 AEB CNB ECAN latgnt 45 BNF BNF F         vuông cân tại F NF FB   Nên phương trình đường tròn tâm F, R NF  là   2 2 7 9 45 : 2 2 2 F x y                 Lại có: B BK F      tọa độ B thỏa hệ 2 2 7 9 45 5, 0 2 2 2 2, 9 3 15 0 x y x y x y x y                                do B có hoành độ lớn hơn 3 nên ta nhận B5; 0 . Phương trình BN qua B5;0 nhận BN       6;3 3 2; 1    làm véctơ chỉ phương có dạng là: 5 : 2 5 0 2 1 x y BN x y        . GROUP TOÁN 3K HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO Ta có:     ;15 3 . 3 10; K BK K k k C CN C c c             Do C là trung điểm AK nên ta có A c k c k BN c k 6 20 ; 2 15 3 2 11 0 1             Mặt khác, KC BN KC BN c k        . 0 1 0 2  Từ         4 2; 4 1 ; 2 3 1; 2 c C k A           Vậy tọa độ các điểm cần tìm là: A B C 1; 2 , 5; 0 , 2; 4     

THỨ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI – CHUYÊN ĐỀ OXY – PHẦN Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD , gọi F thuộc cạnh AB  13  cho BF  FA với F   ;  , phương trình đường thẳng EG : 11x  y   E  2 trung điểm cạnh AD,G trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết B có tung độ âm Trích đề thi HSG12 THPT Quảng Xương II , Thanh Hóa, 2016 ■ Bước 1: Dựng hình phát tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác) Ta phát EG  FG Để chứng minh ta áp dụng hệ trục tọa độ Dxy với CD  a  a   Khi tọa độ điểm  A  0; a  , B  a; a  , C  a;   là:   a   a a  ,  E  0;  , G  ;    2  3  Ta có: AF   7a  AB  F  ; a  12     2a a   EG   ;    6 Do đó:   FG   a ;  a   FG  a 17    12  12   a a a AB   EG.FG   EG  FG đồng thời GB   ;   GB  3 3 3 ■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải  G  FG  EG  G  ?; ?  Do FG  EG  viết phương trình FG  qua F ;  EG    Ta có tọa độ F& G  độ dài FG  AB  ?   12  FB  12 AB BA  BF yB    B  ?; ?    A  ?; ?  Khi tọa độ B thỏa mãn  GB  AB   AB  DC  D  ?; ?  Do G trọng tâm tam giác ABC  C  ?; ?   ■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết  13  Ta có FG  EG  FG : x  11y  m  FG qua F   ;   m    FG : 21x  33 y    2 THỨ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO  x 21x  33 y    G ;  G  FG  EG  tọa độ G thỏa mãn hệ     11x  y    3 y    11  170 AB 17   AB  10 Ta có FG   ;    FG  6 12    80 AB  GB   BG   3   Gọi B  a; b  Ta có tọa độ B thỏa mãn   125 5 10   FB2   BF  12 AB  18  2  1  1 80  a     b     3a  12   3b  12  80 3  3     2 2 13   3 125   a  13    2b    250  a     b    18      a  3, b  1 9 a  a  9b  6b  78    Do yB   B  3; 1  a   13 , b  169 9 a  39 a  9b  27 b   51 51  12    xA     6 12  BF    A  1;  Ta có BA   y   12      A 2  x     D  5;  Do G trọng tâm tam giác ABC  C  3; 3  Ta có CD  BA   D   yD   Vậy tọa độ điểm cần tìm A  1;  , B  3; 1 , C  3; 3  , D  5;  ■ Bước 4: Kiểm tra lại kết tìm (biểu diễn tọa độ điểm tìm lên hệ trục Oxy) THỨ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm K , M điểm di động cạnh AB Trên cạnh AD,BC lấy điểm E,F cho AM  AE,BM  BF , phương trình EF : x   Gọi H hình chiếu vng góc kẻ từ M tới đường thẳng EF Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH x  y  x  y  15  A,H có tung độ dương Trích đề TTL6, Group Tốn thầy Mẫn Ngọc Quang, năm 2016 ■ Bước 1: Dựng hình phát tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác) Có tính chất hình học quan trọng ta cần lưu ý chứng minh là: * ABH vng H MH tia phân giác góc AHB * Khi M di động cạnh AB ta ln có EF ln qua tâm hình vng ABCD Ở đây, để chứng minh tính chất trên, tác giả xin trình bày hai cách thơng dụng sau: + Cách 1: (Thuần túy hình học) Ta có: AMHE, MBFH tứ giác nội  AEM  AHM  45o tiếp nên ta có   MFB  MHB  45 Suy AMH  MHB  900 nên ta có AH  HB  AHB vuông H đồng thời MH tia phân giác góc AHB Mặt khác, ta có : K   ABH  (do AKB  90o ) đồng thời K trung điểm EF nên giao điểm thứ hai  ABH  với đường thẳng EF + Cách 2: (sử dụng hệ trục tọa độ mới) Dựng hệ trục tọa độ Axy hình vẽ đặt AM  a  a   , MB  Khi tọa độ điểm A  0;  , B  a  1;  , F  a  1; 1 , E  0; a  , M  a;  Ta có EF qua E  0; a  , nhận EF   a  1; a  1 làm vtcp có dạng : ya x   EF :  a  1 x   a  1 y  a  a  1 a1 a1 Lại có MH  EF  MH :  a  1 x   a  1 y  m  MH qua M  a;   m  a  a  1 nên MH :  a  1 x   a  1 y  a  a  1 THỨ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO  a  1 x   a  1 y  a  a  1  a  a   a  a  1    H ; Khi tọa độ H nghiệm hệ :   a 1  a   a  1 x   a  1 y  a  a  1     a  a  1 a  a  1  a  a    AH    ;  a; 1  a2    a  a     AH BH   AH  BH Xét :   a  a  1 a  a  1   a  1     a  1 ;  1; a   BH    a 1 a  a      a  a  1 Đồng thời hình vng ABCD có tâm K  ;   EF  M di động cạnh AB, EF   ln qua tâm K ■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải  y 0 Do MH  EF  K; H   ABH   EF   K  ?; ?  , H  ?; ?   Viết phương trình đường thẳng AB  qua E la trung diem AB,  KE  A; B   ABH   AB  B H yA 0  A  ?; ?  C  ?; ?  K la trung diem AC , BD     ?; ?   D  ?; ?  ■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có tâm E  2; 1 trung điểm AB, R   x  2   y  12  20  x  2; y   Ta có tọa độ K , H thỏa mãn hệ:   x  2; y  1  x   Do yH  nên ta nhận K  2; 1 , H  2; 3 Ta có đường thẳng AB qua E  2; 1 nhận EK   4; 2    2; 1 làm vtpt có phương trình: AB :  x     y  1   AB : x  y    x  2   y  12  20  x  0; y   Khi đó, tọa độ A, B thỏa mãn hệ   x  4; y  3 2 x  y   Do yA  nên ta nhận A  0; 5 , B  4; 3 Do K tâm hình vng nên ta có C  4; 7  , D  8; 1 Vậy tọa độ điểm cần tìm A  0;  , B  4; 3  , C  4; 7  , D  8; 1 ■ Bước 4: Kiểm tra lại kết tìm (biểu diễn tọa độ điểm tìm lên hệ trục Oxy) THỨ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO Chúc em ôn tập hiệu đạt kết cao kì thi tới ! Gmail: windylamphong@gmail.com Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy Group Toán 3[K] Thầy Lâm Phong – Mr.Lafo  ... độ B thỏa mãn   12 5 5 10   FB2   BF  12 AB  18  2  1  1 80  a     b     3a  1 2   3b  1 2  80 3  3     2 2 13   3 12 5   a  13    2b   ...  18      a  3, b  1 9 a  a  9b  6b  78    Do yB   B  3; 1  a   13 , b  16 9 9 a  39 a  9b  27 b   51 51  12    xA     6 12  BF    A  1; ... PHẲNG OXY MR.LAFO  x 21x  33 y    G ;  G  FG  EG  tọa độ G thỏa mãn hệ      11 x  y    3 y    11  17 0 AB 17   AB  10 Ta có FG   ;    FG  6 12    80